En muchas ocasiones, nos encontramos con que la sencillez (que no la simpleza) es el camino más directo hacia lo bello.

Creo que con ésta propiedad nos encontramos en una de esas ocasiones, ya que el concepto matemático que subyace aquí es tan básico como potente.

Debía ser yo muy jovencito cuando David Copperfield hacía sus efectos mágicos con los espectadores a través de la pantalla del televisor. Debo decir que me impresionaban mucho tanto a mí como a mis padres. Era realmente increíble.

Os dejo aquí dos de esos efectos que impresionaron a toda una generación:

     


Era obvio que se basaba en algún principio matemático, pero estaba tan bien ejecutado el efecto que la matemática se disolvía entre la magia. Ese principio es la Paridad.

*                    *                 *

Se han desarrollado multitud de efectos basados en este sencillo principio que contienen todos aquellos elementos que tienen dos estados: par-impar, negro-rojo, cara-dorso, sí-no, blanco-negro, etc. La sencilla propiedad es la siguiente:

Si un elemento está en un estado y se cambia su estado un número par de veces, el elemento no cambia su estado. Si se cambia un número impar de veces, entonces cambiará su estado.

Para que se entienda, pongo un par de ejemplos (y a la vez doy una pista del funcionamiento de los efectos de los vídeos anteriores de D. Copperfield):

- Si una moneda está de cara y la volteo un número impar de veces, quedará de cruz. Si la volteo un número par de veces, quedará de cara.

- Si de una hilera de cartas te encuentras situado en una carta que está en posición par, y te mueves un número impar de veces de forma contigua, irás a parar a una carta que está situada en un lugar impar.

                              *                    *                 *

Creo de nuevo que la sencillez de esta propiedad hace que se pueda aplicar en infinidad de situaciones diferentes, con resultados verdaderamente mágicos. Os enumero algunos:

1) Un principio muy potente basado a su vez en la paridad, es el principio de Hummer, al que ya dediqué una entrada en el blog AQUÍ.

2) Otra aplicación interesante del principio de paridad, es el clásico efecto de "La alfombra del Rey Kalí". Os dejo un par de vídeos (perdón, pero no he podido encontrar algo mejor) para que os hagáis una idea de qué va. Son dos versiones del mismo juego. En el segundo vídeo podéis encontrar una ligera variación del juego:

       


3) ...y AQUÍ os dejo un divertido juego conocido como "El juego de las tres copas" para reírte un rato con/de tus amiguetes.

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Finalmente os dejo un par de estudios al respecto, con algunos efectos y aplicaciones para que podáis sacarle provecho:

http://www.socylem.es/sitio/estalmat/Materiales/I-Seminario-EstalmatCyL/Paridad.pdf

http://www.automagia.com/paridad.html

Espero que este sencillo, pero interesante principio, os lleve a montar algún efecto memorable.

"La ciencia moderna debe estimular en todos una profunda humildad ante lo inexplorado."

Martin Gardner

Un tal día como hoy, 21 de octubre, pero de 1914, hace exactamente 100 años, nació uno de los exponentes más grandes de la divulgación matemática que ha habido: Martin Gardner.

Magos, matemáticos y amantes de las matemáticas en general le homenajeamos en un día como hoy.

Desde aquí mi humilde homenaje al hombre que mejor supo combinar el arte de las matemáticas y la magia, y acercar estas dos maravillosas disciplinas a la gente de a pie.

Centenares de ideas, juegos y puzzles fueron creados por él, y son miles de magos, profesores y divulgadores los que los utilizan a diario en sus disciplinas.

A modo de ejemplo, os dejo aquí un pequeño juego elaborado por el gran Richard Wiseman basado en una idea de Martin Gardner:

Miles de referencias podéis encontrar en la web al respecto a este genio y su extensísima obra.

Os dejo aquí con su página web, donde aparecen también todos los eventos programados para éste año.

http://www.martin-gardner.org/

Desde aquí...GRACIAS

Te recomiendo que cojas ahora mismo 13 cartas cualesquiera y pruebes lo siguiente (vas realizar una adivinación realmente imposible...).

Vas a decir a un espectador que elija una carta de la siguiente forma:

1- De ese paquete de 13, el espectador mezcla, corta un paquetito (menos de la mitad) y cuenta en secreto el número de cartas que ha cortado. Que retire las cartas que cortó (ya no se usarán) y recuerde ese número.

2 – Ahora, de las cartas restantes, que mire y recuerde la carta situada (desde top) en la misma posición que el número que contó, y que la deje en su misma posición. Ahora el espectador tiene una carta elegida. Un ejemplo lo tienes en la siguiente imagen:

Carta elegida

(Es importante remarcar que el mago no sabe ni cuántas cartas retiró el espectador y, por ende, tampoco sabe la carta elegida ni en qué posición se encuentra)

3 – Muy bien, ahora cógele las cartas al espectador y pasa de arriba abajo y de una a una 12 cartas.

4 - Mira la carta que te ha quedado encima del paquete...¡¡es la carta elegida por el espectador!!

Así como os he contado, lo cuenta Steve Beam en su libro “Semiautomatic card tricks, vol. 3” en un juego creado por Marty Kane. Eso sí, aquí os he explicado solamente el método, y no el juego.

Cuando lo leí, me gustó mucho la idea y estuve investigando y dándole vueltas, hasta que vi que se podía generalizar muy fácilmente para realizarlo, no sólo con 13, sino con cualquier número de cartas. Tengo que decir que además le he sacado mucho partido.

Ya que no he encontrado esta propiedad en ningún otro sitio publicado, me he permitido la licencia de ponerle nombre, eso sí, poco elaborado pero muy explícito a mi juicio.

Aquí os dejo el resultado de mi trabajo al respecto:

PRINCIPIO N-1:

Si de un número "N" de cartas, se retiran “x” cartas, con $x \leq \frac{N}{2}$, y se elige la carta situada (desde top) en la posición “x” del paquete restante, entonces:

1) Si se pasan “(N-1)” cartas de arriba a abajo y de una en una, la carta que queda en top es la elegida.

2) Si se pasan “k” cartas de arriba a abajo y de una en una, la carta elegida queda la “(N-k)” contando desde top y circularmente (es decir, después de la última carta se sigue contando por la primera)

NOTA 1: El hecho de que el espectador deba retirar la mitad o menos cartas, es debido al hecho de que luego tiene que elegir la carta situada en esa posición, y obviamente, deben quedar más cartas de las que retiró.

NOTA 2: Lo que hace inexplicable este principio es que NO depende del número de cartas cortadas por el espectador y el mago no tiene ningún dato sobre la carta elegida. Sólo se debe conocer el número inicial de cartas que contenía el paquete ("N").

NOTA 3: Como consecuencia directa, si quieres que la carta del espectador quede en la posición “p” desde top, habrá que pasar “(N-p)” cartas de arriba a abajo.

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Creo sinceramente que es una herramienta muy potente y a la vez desconocida para elaborar nuestros efectos. Sin duda, es uno de los principios que más me ha alegrado investigar y descubrir, por su facilidad de aplicación y versatilidad. No me equivoco si digo que es tan sorprendente, como simple y, lo mejor, totalmente insospechable.

Tengo que decir que ya tengo un efecto basado en este principio con una cuidada presentación que hace invisible dicho principio, y ha sorprendido por igual a magos y a profanos.

Espero que le deis el valor que creo se merece.

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Su belleza radica en la sencillez del principio.

Pongamos que hay "N" cartas y el espectador retira "x" cartas y, como se indica, mira y recuerda la carta situada en posición “x” del paquete restante:

Entonces, si pasamos de arriba a abajo "(x-1)" cartas, la carta del espectador quedará en top.

Si ahora pasamos de arriba a abajo todas las cartas de ese paquete, que son "(N-x)", la carta del espectador vuelve a quedar en top, porque el paquete queda tal cual está.

De este modo, en total hemos pasado de arriba a abajo $x-1+N-x = N-1$ cartas para que la del espectador vaya a top (independientemente del número "x").

El punto 2) del principio es consecuencia inmediata del punto 1) si se ha entendido la demostración anterior.

*                      *                     *

Leyendo el magnífico libro "Self-working card tricks" de Karl Fulves publicado en 1976, descubrí un efecto que llamó mi atención muy gratamente, se llamaba "The magic 13". No es de su propia creación, sino que el mismo Fulves comenta que este juego está basado en una creación de Sam Schwartz. El juego era automático y se basaba en un hecho que no había visto antes en ningún efecto.

Mi espíritu matemático me llevó a investigar este juego para ver cuándo, cómo y porqué funcionaba. Así descubrí este principio nuevo; una propiedad - a mi juicio-  muy interesante y con mucho potencial para preparar nuestros efectos.

No lo he visto publicado como tal y me he permitido la libertad de ponerle nombre. Con la esperanza y la ilusión de que le podáis sacar partido, ahí va.

Primero os pongo un ejemplo concreto (os remito aquí al juego "The magic 13" antes citado para ver una buena presentación), así que coge una baraja de cartas y prueba lo siguiente:

1) Coge un grupito de 13 cartas mezcladas.

2) Dile a un espectador A que corte unas cuantas cartas de ese grupito y se las quede. Un espectador B coge el resto.

3) Ambos espectadores cuentan en secreto cuántas cartas contienen sus respectivos paquetitos y los devuelven para recomponer el grupito inicial de 13 cartas.

4) Mezcla bien ese grupito y haz que cada espectador recuerde la carta situada (desde dorsos) en la posición que coincide con el número de cartas que contó.

5) Ahora, reparte de una en una el grupo de 13 cartas en dos montontes de forma alternativa (al modo de jugada de póquer que algunos llaman "reverse dealing") siempre de dorso. Quedará un montón con 6 cartas y otro con 7 cartas.

6) Voltea el montón donde situaste la última carta (el montón de 7 cartas).

7) Ahora ve quitando cartas a la vez de ambos montones hasta que uno de los dos espectadores vea su carta. Párate y voltea la carta que está en ese momento en el otro montón...¡es exactamente la carta del otro espectador!

Después de entender el proceso, podemos generalizarlo del siguiente modo:

PRINCIPIO DE LAS POSICIONES SIMÉTRICAS

De un grupo impar de "N" cartas, un espectador A elige un número "x" y un espectador B el número complementario "(N-x)". Cada espectador mira y recuerda la carta situada en la posición del número que eligió. Se reparte el grupo de cartas una a una en dos montones de forma alternativa ("reverse dealing"). Entonces:

Versión I

Si ahora se voltea el montón que contiene más cartas, las cartas de los dos espectadores quedan situadas en la misma posición en sus respectivos montones, contando desde top.

Versión II

Si después de hacer la "reverse dealing", se recompone el paquete inicial poniendo el montón menor sobre el mayor, entonces las cartas de los espectadores quedan situadas de forma simétrica, es decir, están a la misma distancia una de top, que la otra de bottom.

*                            *                            *

NOTAS

1- La Versión II del principio es la que le da su nombre.

2- Este principio no depende del número inicial "N" de cartas, siempre que sea impar. Este hecho ofrece mucha libertad para elaborar efectos.

3- El hecho de que el número de cartas deba ser impar, es para asegurarnos de que las cartas de los espectadores vayan a parar al final una a cada montón.

4- Cuando el espectador A elige la carta en posición "x", el espectador B estará eligiendo la carta situada en posición "x+1" desde bottom. Es decir, si el espectador A elige la 5ª carta desde top, el espectador B estará eligiendo la 6ª desde bottom.

5- No se puede decir, a priori, en qué posición exacta acabarán las cartas de los espectadores en sus respectivos paquetes. Para ello se debería conocer el número de cartas del paquete inicial y el número pensado por los espectadores.

*                            *                            *

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

La demostración de este principio se basa en las fórmulas de la "Eliminación por Repartición" publicadas en este mismo blog AQUÍ.

AQUÍ os dejo la demostración matemática del principio y aclaraciones sobre las notas.

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A parte del citado juego de Karl Fulves, no he encontrado de momento ningún otro efecto, aunque creo sinceramente que a este principio se le podría sacar mucho provecho, ¿os animáis?

A todos los matemáticos les fascinan los números primos. Yo no soy una excepción, y tengo que reconocer que cuando me encontré con este principio, me provocó una gran emoción. Creo recordar que la primera vez que yo lo leí fue en el recomendadísimo libro "Verbimagia" de Juan Tamariz. Pero, según parece, el origen se le atribuye a George Sands, ya que aparece en un juego publicado en la revista "The Pallbearers Review" (1975) que dirigía el ingenioso Karl Fulves.

Me gustaría compartir con vosotros dicho principio y recoger en esta entrada aquella emoción de entonces.

Coge una baraja y realiza las siguientes acciones:

PRINCIPIO DEL NÚMERO PRIMO

 1- Elige 13 cartas cualesquiera, y colócalas de dorso formando un círculo en la mesa.

2- Elige una carta, mírala, recuérdala y vuelve a dejarla de dorso en su lugar. 

3- Ahora piensa un número cualquiera menor que el 13 (por ejemplo, el 8). 

4- Empezando por la carta siguiente a la que miraste, cuenta en sentido a la agujas del reloj, 8 cartas. 

5- Voltea la carta a la cual has llegado. 

6- A partir de ahí, repite el proceso de contar 8 cartas y voltear a la que se llegue (contando también las que están cara arriba). 

7- Al final te ha quedado una sola carta de dorso... ¡es la carta que elegiste al inicio!

Este principio puede ser muy útil en efectos que requieran forzar una carta, dada la libertad de la elección del número por parte del espectador.

NOTA 1: Este efecto funciona con cualquier número primo de cartas (5, 7, 11, 13, 17 etc...), de ahí el nombre del principio.

NOTA 2: El número pensado para contar no tiene porqué ser menor que el número de cartas, puede ser mayor, tan sólo basta con que el número pensado no sea múltiplo del número de cartas.

Además, conociendo el mecanismo que subyace en el principio, se puede generalizar con la siguiente observación:

La única condición para poder aplicar el principio es que el número de cartas utilizado y el número pensado para contar, deben ser primos entre sí (coprimos), es decir, su Máximo Común Divisor es 1.
De ahí que si el número de cartas es primo, el espectador pueda elegir el número que desee para contar y voltear. Por ejemplo, se podría también realizar el ejemplo anterior con 12 cartas y contando de 5 en 5, ya que MCD(12, 5) = 1, pero no con 14 cartas y contando de 6 en 6.

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Pedro Alegría en su fantástica sección "El rincón matemágico" de la web del Divulgamat nos enseña otra manera de ejecutar este mismo principio con un jueguecito: Prime time

Y aquí otra ligera variación del mismo principio de la página web de "Automagia" del mismo Pedro Alegría y Juan Carlos Ruíz de Arcaute: Con trece cartas

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

...tan sólo hay que aplicar un poquito de aritmética modular, ya que las cartas están en círculo...

Supongamos que:

$n=$número de cartas
$p=$número elegido para contar
$MCD(n, p) = 1$

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la carta elegida por nosotros está situada en la posición $0$. A partir de ella empezaremos a contar.

Al contar $p$ cartas, vamos a parar a la carta número $p$ y la ponemos de cara, si volvemos a contar otras $p$ cartas, vamos a parar a la carta $2p$ y la ponemos de cara, si seguimos contando $p$ cartas, nos vamos parando en las cartas situadas en las posiciones $3p$, $4p$, $5p$, ... Así iríamos dando la vuelta a las cartas situadas en posiciones $p, 2p, 3p, 4p$, etc... . siempre módulo $(n)$ porque las cartas están en círculo.

Como $MCD(n, p) = 1$, si $k<n$, ningún $k·p$ será múltiplo de $n$, por lo tanto, la carta elegida quedará la última de dorso, puesto que le daremos la vuelta sólo cuando hayamos realizado la cuenta $n$ veces, que iremos a parar a la carta $n·p$ que es la posición $0$ en modulo $(n)$, que sería la carta elegida.

*             *             *

Espero, como siempre, que este sencillo, pero potente principio os traiga más de una alegría y os haya apreciar aún más si cabe a los números primos.

Leyendo la obra maestra "Verbimagia" del gran Juan Tamariz, donde el mago realiza, tan sólo con su voz, efectos realmente mágicos; me encontré al final del libro con unas cuantas ideas que Juan Tamariz nos regala para utilizar en nuestros efectos.

Os cuento una que me llamó especialmente la atención, debido a que es una aplicación práctica de una entrada de este blog: Mezclas en espejo

Juan da esta idea para forzar a un espectador la elección del número 13:

Si tienes 12 cartas ordenadas del As a la Q (Dama), se pide a un espectador que reparta cartas, de una en una, en 2, 3, 4 ó 6 montones y que recoja de derecha a izquierda o al contrario (se puede hacer este reparto tantas veces se desee).
Ahora las parejas formadas por la carta de encima y la de abajo (la Top y Bottom), es decir, 6 parejas, suman todas 13. El espectador puede elegir la pareja que quiera y sumar sus valores. Forzamos así el número 13.

Juan comenta que también se pueden hacer mezclas faro o antifaro y las parejas seguirán sumando 13.

La explicación de este hecho es sencilla si se entiende que las 12 cartas ordenadas están en espejo, ya que la suma entre dos cartas equidistantes respecto del centro, es 13 y esta propiedad (como ya se explicó en la entrada Mezclas en espejo de este blog) se mantiene para mezclas faro, antifaro o repartición en montones.

Me gustaría aportar mi granito de arena a la idea de Juan (¡cuánta osadía la mía!) y generalizarla. Ahí va:

No sólo podemos utilizar éste método para forzar el número 13, sino que, entendido ya porqué funciona, podemos partir de un paquete cuyas parejas equidistantes sumen el número que queramos, y así forzar ese número.

Por ejemplo, si quisiéramos forzar el número 10, podemos coger un paquete formado por las siguientes cartas: 

3, 5, As, 2, 6, 3, 7, 4, 8, 9, 5, 7 

Observa cómo las parejas de cartas equidistantes suman 10.

Al utilizar el método de Juan anteriormente descrito, forzaríamos el número 10. 

Con esta sencilla idea, podemos forzar el número que queramos, utilizando parejas que sumen dicho número.

NOTA 1: Podemos utilizar tantas parejas como queramos (repetidas o no), ya que el número total de cartas del paquete no importa.

NOTA 2: Pásate por la entrada ya mencionada Mezclas en espejo para completar esta idea y/o inventar otras nuevas.


Como regalo, os dejo con algunos efectos del citado libro "Verbimagia", en la propia voz de Juan. Mi recomendación es que los sigáis con las cartas en la mano...y que disfrutéis del genio y el ingenio del siempre magnífico Juan Tamariz:

http://www.ivoox.com/podcast-por-arte-verbimagia_sq_f1142818_1.html

Querid@s lector@s, espero que le saquéis partido a esta genial idea, y... ¡a ingeniar malvedades!

En la imagen os dejo, quizás, el cuadrado mágico más famoso de la historia. Es el que aparece en el cuadro de Alberto Durero "Melancolía" pintado en 1514. No menos conocido es el que Salvador Dalí dejó plasmado en la fachada de la Sagrada Familia (ver aquí)

Para los más perdidos, decir que un cuadrado mágico es aquel en que la suma de los números situados en cualquier línea (horizontal, vertical o diagonal) da siempre el mismo resultado, conocido como constante mágica del cuadrado. En el caso del cuadro de Durero, la constante mágica es 34.

Para despertar interés en vosotros al respecto, aquí tenéis un par de efectos fantásticos, donde se utilizan los cuadrados mágicos de una forma verdaderamente mágica y original. A mi juicio dos obras de arte.

"The Grid" del genial Richard Wiseman y "Midoku" de Jandro.

  

(The Grid)

*            *          *

Pero también os quiero traer en este artículo un cuadrado mágico de un carácter diferente y quizás no tan conocido en el mundo mágico (Pedro Alegría lo llama "cuadrado mágico reversible").

Observa el siguiente cuadrado:

6	9	7	11
3	6	4	8
4	7	5	9
7	10	8	12

1 - Elige un número cualquiera. 

2 - Elimina todos los números que estén en su misma fila (horizontal) y columna (vertical). 

3 - De los números que quedan, elige otro número cualquiera. 

4 - Vuelve a eliminar todos los que estén en su misma fila y columna. 

5 - De los números restantes, elige otro. 

6 - Elimina los de su misma fila y columna. 

7 - Te ha quedado sin eliminar un único número. Elígelo también. 

8 - Si sumas los cuatro números que has elegido voluntariamente, el resultado es ... ¡29!

NOTA: El resultado no depende de los números elegidos, lo cual resulta sorprendente y mágico, ¿no?

*          *          *

A continuación os explico cómo montar un cuadrado como el anterior, del tamaño que se quiera y de forma que los números elegidos por el espectador sumen lo que nosotros queramos:

Supongamos que queremos que la suma sea 29 y queremos montar, como en el ejemplo anterior, un cuadrado 4x4 (4 filas y 4 columnas). Entonces debemos hacer lo siguiente:

1 - Descomponemos el número 29 en 8 sumandos porque queremos 4 filas y 4 columnas, que pueden ser repetidos o no: 29 = (2+5+3+7) + (4+1+2+5) 

2 - Ponemos los cuatro primeros sumandos en fila y los siguientes cuatro en columna. Así:

29	2	5	3	7
4
1
2
5

3 - Vamos rellenando cada celda sumando el correspondiente número de su fila y su columna, hasta completar el cuadrado. Así:

29	2	5	3	7
4				11
1		6
2
5	7

NOTA: Si se quiere adaptar a un efecto de cartomagia, se puede formar el cuadrado utilizando cartas en lugar de escribir los números, para luego seguir con el proceso de elección (en este caso de cartas).

Espero, con este pequeño aporte, generar en vosotros nuevas ideas para montar efectos nuevos.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Si cogemos el ejemplo del cuadrado (matriz) 4x4, y quisiéramos obtener la suma
$$S=(a+b+c+d)+(e+f+g+h)$$ el cuadrado quedaría de la siguiente forma:

	a	b	c	d
e	a+e	b+e	c+e	d+e
f	a+f	b+f	c+f	d+f
g	a+g	b+g	c+g	d+g
h	a+h	b+h	c+h	d+h

Al elegir un elemento de cada fila y columna, tenemos cada sumando una sola vez y la Propiedad Conmutativa de la suma hace el resto. Así elijamos las casillas que elijamos, siempre sumarán $a+b+c+d+e+f+g+h=S$

NOTA para profes: He utilizado este tipo de cuadrado para montar efectos de predicción con alumnos y explicar la propiedad conmutativa, tanto con la suma como con la multiplicación de números enteros y/o racionales. Tengo que decir que ha tenido muy buena acogida y es un buen tipo de ejercicio.

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

Para un trato mucho más extenso y riguroso sobre los cuadrados mágicos, os remito al estudio de Pedro Alegría publicado en 2009 en la revista SIGMA: AQUÍ.

También hay una interesante entrada respecto a los cuadrados mágicos del mismo Pedro Alegría en su blog: AQUÍ

Pero sin duda, si os interesa el tema y queréis ver todas las posibilidades que ofrecen los cuadrados mágicos, os remito a un especialista: Mark S. Farrar. En el siguiente enlace podréis encontrar prácticamente todo lo relacionado con los cuadrados mágicos:

http://markfarrar.co.uk/msfmsq01.htm

La primera vez que me topé con este curioso principio fue leyendo un artículo de Venancio Álvarez, Pablo Fernández y M. Auxiliadora Márquez, "Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos" publicado en "La gaceta de la RSME". Aparece en un efecto que ellos llaman "La carta del día" y me pareció realmente mágico.

Os paso a detallar la realización del principio:

1- Coge de una baraja mezclada, dos paquetes de 13 cartas cada uno. Y deja el resto del mazo aparte.

2- De ese mazo restante, mira y recuerda la carta situada la segunda desde dorsos (la top-2).

3- Ahora coge el primer paquete de 13 cartas, y con el paquete de dorso, realiza una cuenta atrás del 13 al 1 con las cartas, volteándolas una a una sobre la mesa. En el momento en el que el índice de la carta coincida con el número que cuentas (para ello, J = 11, Q = 12 y K = 13), detente y deja las cartas que sobran encima del mazo aparte . Supongamos que te paras en el 8. En el caso que no haya coincidencia, coge las 13 cartas, mézclalas y vuelve a hacer la cuenta atrás.....así hasta que haya una coincidencia. No desesperes, no tendrás que realizarlo más de 2 o 3 veces (*).

3- Realiza del mismo modo la cuenta atrás con el otro paquete de 13 cartas. Supongamos que ahora te paras en la J = 11. Devuelve las cartas que sobran encima del mazo aparte.

4- Ahora tienes en la mesa dos montoncitos de cartas: uno tiene un 8 en la cara y el otro una J. Suma esos valores, que surgieron del azar (8 + 11 = 19).

5- Del mazo que tienes aparte, cuenta 19 cartas (desde dorsos). La carta que hace la 19 será la carta que memorizaste al comienzo. ¡Increíble!

NOTA: El proceso anterior NO depende del número de cartas que contengan los paquetes iniciales: siempre "forzamos" a coger la top-2 del mazo que apartamos.

En el ejemplo está hecho con dos paquetes de 13 cartas, ya que hay 13 dígitos en la baraja de póker (del "A" al "K"), y así se aumentan las probabilidades de coincidencia al hacer la cuenta atrás. Es obvio que no tiene sentido hacerlo con paquetes de más de 13 cartas...

La carta que forzamos depende del número de paquetes que hagamos, así podemos generalizar el principio para cualquier número de paquetes:

PRINCIPIO DE LA CUENTA ATRÁS

1- De una baraja cogemos "n" paquetes de "x" cartas cada uno. Dejamos el mazo restante aparte.

2- Hacemos el proceso de cuenta atrás descrito anteriormente para cada paquete, devolviendo las cartas sobrantes de cada paquete al mazo restante.

3- Sumamos los índices de las cartas donde nos hemos detenido de cada paquete. La suma será "S"

Entonces, la carta situada en posición "S" desde dorsos del mazo actual, es la que inicialmente estaba en posición "n" desde dorsos (top-n) del mazo que apartamos inicialmente.

ASÍ:
Con un solo paquete, estaríamos forzando la carta top del mazo restante.
Con dos paquetes, forzamos la top-2
Con tres paquetes, forzamos la top-3
Con cuatro paquetes, forzamos la top-4.
Etc...

Para disfrutar la potencia de este principio os remito al juego "La cuenta atrás" del archiconocido "Cartomagia fundamental" del gran Vicente Canuto, aunque personalmente me encanta la versión del genial Gabi Pareras de "La carta del día" citado anteriormente .

*         *          *

Aquí os dejo un efecto donde se utiliza este polivalente principio. No hay presentación, sólo el efecto; pero a modo de ejemplo me ha parecido oportuno incluirlo aquí. El vídeo corresponde al juego "La cuenta atrás" que os he comentado anteriormente de V. Canuto.

                                           *         *          *

Os dejo que caviléis nuevas maneras de utilizar este fantástico y utilísmo principio matemágico. Espero que lo disfrutéis.


EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Demostraremos el ejemplo inicial con 2 paquetes, y de forma trivial, se amplía para un número "n" de paquetes:

- Si en el primer paquete nos detenemos en el número $a$  $\rightarrow$ Devolvemos $(a-1)$ cartas al mazo.

- Si en el segundo paquete nos detenemos en el número $b$  $\rightarrow$ Devolvemos $(b-1)$ cartas al mazo.

En total, devolvemos al mazo $(a-1)+(b-1)=a+b-2$  cartas.

Así, de forma evidente, la carta situada en la posición $(a+b)$ (suma de los índices) del mazo actual, es la que estaba en la top-2 del mazo que dejamos aparte inicialmente; porque contaremos 2 cartas más de las que hemos devuelto al mazo.



APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

(*) Se observa que cuando el número de cartas de cada paquete ("x") aumenta, la probabilidad de coincidencia al hacer la cuenta atrás también aumenta, pero no hasta 1. De hecho, se puede demostrar (tiene relación con el problema de los desbarajustes) que cuando "x" es suficientemente grande, la probabilidad de coincidencia se acerca a $1-e^{-1} \simeq  0,6321$. Así pues, con 13 cartas, más de 1 de cada 2 veces, habrá coincidencia.

Para más detalles sobre este hecho, ver Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos "Truco 1: La carta del día".

Las cartas "ESP" (siglas que corresponden a extrasensory perception), están formadas por un mazo de 25 cartas en grupos de 5 símbolos, tal y como se ve en la imagen adjunta.

Allá por el año 1920 el psicólogo Karl Zener y el parapsicólogo J.B. Rhine utilizaron este tipo de cartas para medir las capacidades extrasensoriales de algunos sujetos. A partir de su aparición, se han utilizado a menudo para crear multitud de efectos cartomágicos, la mayoría de ellos de carácter automático debido a las propiedades matemáticas que ofrece la configuración del mazo en 5 grupos de 5 cartas.

Cabe decir, que estos símbolos corresponden a los cinco primeros números naturales:

Los 5 símbolos de las cartas ESP

Círculo: 1

Cruz: 2

Ondas: 3

Cuadrado: 4

Estrella: 5

Magos de la talla de Nick Trost, Aldo Colombini o Howard Adams han desarrollado multitud de efectos con estas cartas y he querido hacerle un hueco en este blog, debido al ingenio de muchos de los efectos al explotar sus propiedades matemáticas.

*     *     *

Aquí os dejo un vídeo con unos cuantos juegos, a modo de ejemplo, ejecutados por el citado Aldo Colombini. Es un buen ejercicio (mágico y matemático) descubrir la "vida interna" (Ascanio dixit) de los juegos presentados a continuación:

Y aprovechando el simbolismo y la estética que encarnan estas cartas, aquí va un juego muy sencillo de Gustavo Otero (con su explicación) utilizando las ESP.

...y también os dejo en ESTE enlace una pequeña joya de la cartomagia: un juego creado por Howard Adams en 1984 de su libreto "OICUFESP" (viene de "Oh! I see you have ESP"). Está explicado con cartas cualesquiera, pero utilizando el set de las 5 cartas ESP gana mucho. Es un juego donde se utiliza de manera brillante la aritmética modular (esto para los matemáticos). Eso sí, está en inglés.

*     *     *

Espero que con esta breve reseña, os hagáis una idea de las posibilidades que ofrecen estas cartas, tanto por su simbología intrínseca, como por sus propiedades matemáticas.


APÉNDICE

Para quien le pueda interesar, os comento que AQUI podéis conseguir una serie de DVDs grabados por Aldo Colombini con multitud de efectos especialmente creados y diseñados para este tipo de baraja.

Royal Vale Heath

Sabemos que la relación entre las matemáticas y la magia viene de muy lejos. Ya os comenté en la primera entrada del blog, que el primer texto escrito conocido sobre magia y matemáticas ("The viribus quantitatis", Luca Pacioli) data del año 1508 (aprox); pero he querido investigar de dónde viene el término "matemagia" que hoy en día es comúnmente conocido y utilizado para referirse a la magia que utiliza propiedades matemáticas para producir efectos.

Portada del libro "Mathemagic"

Pues bien, descubrí que la primera vez que se utilizó el término matemagia fue en el libro "Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers" publicado en 1933 por Royal Vale Heath.

Es un libro donde aparecen muchos efectos basados en propiedades numéricas (fundamentalmente del tipo "acertar el resultado" o "acertar el número pensado"), diversos juegos con cuadrados y triángulos mágicos, y algunos trucos para hacer operaciones de forma rápida con números grandes. Este libro es considerado ya un clásico de la bibliografía matemágica.

Os dejo AQUÍ a la vista previa de este libro por cortesía de GoogleBooks, por si tenéis curiosidad por saber qué pinta tiene (obviamente está en inglés):

Hoy os quiero traer un sencillo principio, muy poco conocido y utilizado en el mundo cartomágico. Seguramente ha sido más usado en efectos de mentalismo debido a la base puramente numérica que tiene y que es difícil de disfrazar con las cartas. Quisiera darle un poco de eco a través de este blog y que pueda servir a alguien para montar algún efecto.

Este principio se llama "Principio de la matriz". Lo leí en un facsímil de Bruce Bernstein llamado "On number predictions" y me llamó gratamente la atención.


Os pongo un caso práctico para ejemplificar el principio:

1) Escribe dos números cualesquiera de 3 cifras. Por ejemplo 391 y 784. 

2) Suma las cifras de cada número: 

    $391 \rightarrow 3+9+1=13$
    $784 \rightarrow 7+8+4=19$ 

3) Ahora multiplica el primer resultado por 10 y suma el segundo. Así:   $13·10+19=130+19=149$ . Recuerda este resultado.

4) - Ahora coge una cifra cualquiera del primer número y otra del segundo número, para formar un número de dos cifras, por ejemplo, 97
  - Vuelve a hacer lo mismo con las cifras que quedan, para formar, por ejemplo, 18
  - Vuelve a hacer lo mismo con las cifras que quedan, para formar en este ejemplo, 34 

5) Pues bien, si sumas estos tres números  $97+18+34=149$ ...da el mismo resultado que en el paso 3) (independientemente de las cifras elegidas para formar los tres números de dos cifras).

NOTA: Al formar los números de dos cifras, es importante mantener el patrón: la primera cifra debe provenir del primer número y la segunda cifra debe provenir del segundo número.

*              *             *

Supongo que os estáis preguntando cómo se puede aplicar este principio (aparentemente irrelevante) a un juego de cartas. El mismo Bruce Bernstein nos lo explica en un efecto que él llama "Number prediction" y que cuyo método os detallo aquí:

1) Extrae de la baraja nueve cartas, con los dígitos del 1 al 9 (no importa el palo). 

2) Ordena estas nueve cartas de la siguiente manera (desde dorsos): 1, 7, 4, 9, 2, 3, 5, 6, 8 

3) Corta y recompón este paquetito tantas veces como quieras. 

4) Reparte las cartas en mesa una a una formando tres paquetes (de tres cartas cada uno), como si  repartieses cartas para jugar al póquer. 

5) Desestima un paquete de los tres. 

6) Coge una carta cualquiera de cada uno de los dos paquetes restantes, y con esas dos cartas (números) formarás un número de dos cifras (la primera cifra debe ser la carta del primer paquete y la segunda, la carta del segundo paquete). 

7) Vuelve a hacer lo mismo para formar un segundo número de dos cifras. Y con las dos cartas que quedan vuelve a formar un tercer número de dos cifras. 

8) Ahora suma esos tres números que tú has formado (y que nadie más sabe).....el resultado debe ser... ¡Mira la foto del inicio del post!

Este efecto se presenta, inicialmente, como un juego de predicción, pero creo que con una buena presentación se le puede sacar mucho partido.

NOTA: La ordenación inicial de las nueve cartas del paso 2) no es única. Si os fijáis la clave del efecto radica en que al hacer los tres paquetes, los números (cartas) que los componen siempre suman 15:

Paquete1 = 1+5+9
Paquete2 = 2+6+7
Paquete3 = 3+4+8

De esta forma, para ordenar las cartas inicialmente, vamos poniendo una carta de cada paquete (otra ordenación válida sería 5, 2, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 4). Esto nos da bastante libertad para poder ordenar las cartas de manera "impromptu".

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

1r número de 3 cifras: $abc \rightarrow$ Suma cifras: $(a+b+c)$
2º número de 3 cifras: $cdf \rightarrow$ Suma cifras: $(d+e+f)$

Si hacemos la operación descrita anteriormente: $10·(a+b+c)+(d+e+f)$ (*)

Ahora se elige una cifra de cada número, para formar tres números de 2 cifras. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que los tres números son:

$ad=10a+d$
$be=10b+e$
$cf=10c+f$

Así, si sumamos estos tres números, obtenemos...
$(10a+d)+(10b+e)+(10c+f)=10·(a+b+c)+(d+e+f)$
...que es el mismo resultado que en (*). Gracias a la propiedad conmutativa de la suma, no importará cómo se hayan elegido las cifras.

Se llama "Principio de la matriz" porque si escribimos las cifras de los números formando una matriz:
$$A= \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
\end{pmatrix}$$
y la transponemos:
$$A^T = \begin{pmatrix}
a & d \\
b & e \\
c & f \\
\end{pmatrix}$$
vemos claramente que la suma por filas, es exactamente igual que la suma por columnas de la matriz transpuesta.

Es sencillo generalizar el principio para realizarlo con más números y/o con más cifras, pero en mi opinión no tiene más interés a nivel mágico. Dejo al lector que quisiere los detalles de la generalización de este principio.

*           *            *

Espero haber puesto en vuestro conocimiento un principio poco conocido y que os pueda ser de utilidad en algún momento para crear algún efecto mágico que merezca la pena.

Vaya por delante que no soy fan, ni mucho menos, de los vídeos de magia que corren por los canales de internet. Tampoco niego que de vez en cuando encuentro algo interesante y que vale la pena.

Con la intención original para la cual creé este blog, que es recoger todo lo relacionado con la magia y las matemáticas, os quiero traer hoy una página web dedicada exclusivamente a cartomagia, donde se ejecutan (y por desgracia, muchos se explican) efectos mágicos.

Lo que me ha llamado la atención de esta página - y que es el motivo de que la traiga al blog - es que hay una sección exclusivamente para "Juegos Matemáticos".

El enlace es http://www.thecardtrickteacher.com/mathematical-card-videos.php. Os informo de que está íntegramente en inglés (vídeos incluídos).

Quiero decir que algunos merecen la pena y pueden darnos interesantes ideas para montar efectos, aunque adolece mucho de buenas presentaciones (siempre bajo mi punto de vista, claro está).

También encontraréis la revelación de bastantes efectos, cosa de la que no soy muy partidario; pero que si algún efecto nos "hace gracia" quizás sea interesante aprovecharlo y saber cómo se hizo. Lo que no se explica en absoluto son los principios matemáticos en los cuales se basan los efectos, simplemente se explica el método.

En fin, os dejo que valoréis vosotros mismos la utilidad de esta página y la calidad de los juegos que allí aparecen, pero creo que es interesante, al menos, saber que existe y tener una herramienta más para poder elaborar nuestros efectos mágico-matemáticos.

Espero que os sea de, al menos, cierta utilidad.

No podía faltar en este blog, una referencia al gran maestro que fue Alfredo Florensa. Está lleno su material cartomágico de referencias a las matemáticas. En sus dos volúmenes imprescindibles de "Cartomagia Fácil", hay una innumerable cantidad de efectos basados en principios matemáticos realmente impactantes.

Os quiero traer hoy un principio que él llamó "Principio de Completar Valores", que se utiliza de muchas y originales formas en infinidad de efectos.


Probad lo siguiente:

1) De una baraja completa (52 cartas) y mezclada, fíjate en la carta que ocupa la posición 44 contando desde dorsos y recuérdala. 

2) Ahora extrae 4 cartas cualesquiera (de entre las de encima de la elegida) y ponlas de cara en hilera sobre la mesa. 

3) Con las cartas del mazo, completa el valor de cada una de las cuatro cartas hasta llegar a 10. Es decir, si el valor de la primera carta es un 3, coloca encima de ella 7 cartas procedentes del mazo (de dorso). Si la segunda es un 8, coloca 2 cartas de dorso sobre ella, y así con las otras dos. Ten en cuenta que los dieces y las figuras cuentan con valor 10, y no es necesario agregar ninguna carta. 

4) Ahora suma los valores de las 4 cartas que inicialmente pusiste de cara en la mesa. 

5) Del mazo de cartas restante, elige la carta situada exactamente en la posición que indica la suma anterior....¡es la carta que miraste al principio!

NOTA: Los pasos 1) y 2) también se pueden hacer extrayendo primero 4 cartas, y después memorizar la carta en la posición 40 desde dorsos (que es como se realiza en la mayoría de efectos).

PRINCIPIO DE COMPLETAR VALORES

Si de un paquete de cartas, sacamos "$n$" cartas, y completamos con cartas el valor de cada una hasta llegar a 10, entonces, se cumple lo siguiente:

$n$ + Cartas puestas en mesa para completar valores + Suma de los "$n$" valores = $11n$

En el ejemplo anterior, era $n=4$, y por eso la carta memorizada quedaba situada en la posición $11·4=44$.

Por lo tanto, si se ponen en la mesa 3 cartas para realizar el proceso, el espectador llegará a la carta 33.

NOTA: Es evidente que si a la hora de contar se prescinde de las "$n$" primeras cartas, la posición de la carta del espectador será $10n$.

Aquí os dejo un efecto basado en este principio, para que veáis lo potente que puede llegar a ser. Creo que añadiendo una buena presentación al efecto, se puede crear un buen milagro:

No es necesario completar hasta llegar a 10, sino que se puede completar a cualquier número "$k$" (por ejemplo completando a 13 para no tener que dar a las figuras el valor 10), y el principio (generalizado) diría lo siguiente:

PRINCIPIO DE COMPLETAR VALORES (Generalizado)

Si de un paquete de cartas, sacamos "$n$" cartas, y completamos con cartas el valor de cada una hasta llegar a "$k$", entonces, se cumple lo siguiente:

$n$ + Cartas puestas en mesa para completar valores + Suma de los "$n$" valores = $n·(k+1)$

Los efectos basados en este principio, se ejecutan a modo de predicción, ya que el mago conoce previamente a qué carta irá a parar el espectador tras realizar el proceso (veáse "Cartomagia Fácil" del mencionado A. Florensa o el fantástico efecto "Numerología" de Gabi Pareras).

En este enlace (por la mitad más o menos) encontraréis descrito un efecto basado en este principio extraído del "Cartomagia Fácil" de A. Florensa: http://parkerito34.wordpress.com/trucos-de-magia-con-cartas/

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

La explicación matemática es sencíllisima:

Pongamos $n$ cartas en la mesa, y llamemos $x_i$ al valor de la carta i-ésima.

Si completamos hasta el valor 10, en la carta i-ésima colocamos $(10-x_i)$ cartas, y así:

- Suma de los valores de las $n$ cartas: $ S=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}$

- Total cartas en mesa: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(10-x_{i})=10n-\sum_{i=1}^{n}x_{i}=10n-S$

Por lo tanto:

$n$ + Cartas puestas en mesa para completar valores + Suma de los "$n$" valores = $n+(10n-S)+S=11n$ , de forma evidente.

Creo que la versatilidad de este principio es enorme, así que ya tenéis otra herramienta más para montar vuestros efectos.

Después de estudiar varios procesos de eliminación sistemática de cartas hasta quedarse con una (véase, por ejemplo, "Cuenta Australiana" o "Principio de la Antifaro"), he estado investigando la "eliminación por repartición", que designaré como la "EPR" (algunos autores la llaman "Reverse Dealing").
Es el típico proceso de repartir cartas de una en una en mesa haciendo dos montones y eliminar uno. Con el montón que queda se repite el proceso; y así hasta que queda una carta en la mano.

La pregunta a continuación es obvia: ¿Qué paquete habrá que eliminar en cada paso para quedarme con la carta que yo quiera?

He encontrado unas fórmulas que lo resuelven, el problema es que son demasiado complicadas para poder aplicarlas de manera "impromptu", es decir, al momento.

De todas formas, he implementado las fórmulas en una hoja excel, de manera que introduciendo el número de cartas del paquete y la posición inicial de la carta, te dice cómo hacer la EPR para quedarse con la carta en cuestión.

Aquí os lo dejo:

NUM CARTAS: número de cartas del paquete que va quedando después de cada repartición (deal).
POSIC INIC: posición que va ocupando la carta en el paquete que queda (contando desde dorsos).
REPARTO EMPIEZA POR: por dónde empezar a repartir ("O" = paquete que desestimo, "I" = paquete con el que me quedo).
POSIC FINAL: posición que ocupa la carta al acabar cada reparto (desde dorsos).

Podéis modificar los datos del recuadro amarillo y/o del rojo para ver el resultado (si tienes algún problema vuelve a cargar la página):

A modo de ejemplo:

Si la carta del espectador está la 12 en una baraja de 52 cartas, el resultado es OIIOIO.

Esto significa que en la primera repartición, el montón donde ponga la primera carta es el que se elimina, en la segunda repartición el montón donde ponga la primera carta es el que me quedo, la tercera repartición la empiezo por el montón que me quede...y así sucesivamente hasta que me quede una carta en la mano (que será la que inicialmente estaba en posición 12).

La idea general es sencilla: eliminar siempre el montón que no contiene la carta.

NOTA 1: La notación "I", "O" (del inglés "in" and "out") es homenaje a Alex Emsley, ya que esta es la notación que él utilizó al estudiar las mezclas "faro in" y "faro out".

NOTA 2: Esta repartición está íntimamente relacionada con las "mezclas faro y antifaro", y esta relación fue bien estudiada por grandes de la magia como Karl Fulves, Ed Marlo, Persi Diaconis o Juan Tamariz (entre otros).

*         *         *

Como aplicación de éste método a un efecto mágico, os remito al magnífico juego "Divide and Conquer" de Simon Aronson de su libro "Try the impossible" o también al juego "$\omega= \alpha, \alpha \rightarrow 52$" del gran Woody Aragón que aparece en su libro "A la carta" y que os dejo en este vídeo:

Aquí os dejo un vídeo donde se aplica esta eliminación a un efecto (le falta una buena presentación, pero creo que la idea es buena):



¡Espero que os sea de utilidad para montar vuestros efectos!


PD: Me gustaría proponeros un pequeño reto al respecto de esta entrada. Estuve buscando alguna relación entre la posición inicial de una carta escrita en código binario, por ejemplo 12 = 001100, y el resultado que da la EPR, que para el 12 es 011010 (donde Out = O e In = 1). No lo he conseguido. Es algo parecido a lo que descubrió Álex Emsley con la mezclar faro para situar la carta top en una posición cualquiera....por si alguien se anima...

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS: LAS FÓRMULAS DE LA EPR
(Son las fórmulas implementadas en la hoja excel anterior)

Si:
n = posición que ocupa la carta (desde dorsos)
k = número de cartas del paquete

Después de repartir en dos montones y eliminar uno, el paquete con el que me quedo (el de la carta), contiene el siguiente número de cartas:

- Si "k" es par $\rightarrow \displaystyle \frac{k}{2}$

- Si "k" es impar $\rightarrow \displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \frac{k-1}{2} &n \; par \\ \frac{k+1}{2} &n \; impar \end{array} \right.$

Además, la nueva posición de la carta en ese paquete viene dada por:

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{k-n+2}{2} &(k,n) \; misma \; paridad \\ \frac{k-n+1}{2}&(k,n) \; diferente \; paridad \end{array}\right.$$

La EPR consiste en repetir este proceso hasta que me quede solamente la carta en cuestión en la mano.

Podéis comprobar cómo intervienen dos variables en cada paso de la EPR: la posición de la carta (que puede ser par/impar) y el número de cartas del paquete que queda (que puede ser par/impar). Esto complica los cálculos lo suficiente como para no poder hacerlos de cabeza en el momento.

NOTA3: Estas fórmulas las he desarrollado yo mismo, ya que no las he encontrado publicadas en ningún lugar. No quiero decir con ello que no existan, pues me parece realmente extraño. Si algún lector las encuentra por otro lado, le pido el favor que me lo haga saber.