Hoy os traigo un clásico, el "Three card monte" en una versión completamente automática. Es un jueguecito muy sencillo que aparece en uno de los "Impuzzibilities" de Jim Steinmeyer, una de esas personas que tiene un ingenio especial. Me llevé una grata sorpresa al estudiarlo en profundidad para entender su funcionamiento interno.


Así llegué a la conclusión que con una buena presentación, creo que se podría crear algún efecto interesante. Os explicaré mi propuesta.


Os describo el juego en la versión que llegó a mis manos:

1) Coge tres cartas cualesquiera, mira y recuerda una de ellas, y colócala en medio de las otras dos haciendo un montoncito de tres cartas boca abajo que sujetas en tus manos.

2) Ahora piensa un número, para que no se haga muy largo, entre 1 y 10.

3) Ahora pasa de arriba a abajo y de una en una, tantas cartas como el número que has pensado.

4) Repite lo anterior, con tu número pensado, otra vez más.

5) Ahora, pasa una vez más de arriba a abajo una carta por cada letra de la palabra "Magia".

6) Para perder tu carta aún más, utiliza de nuevo tu número secreto para pasar cartas de arriba a abajo igual que hiciste al principio.

7) A pesar de que la carta que miraste está perdida... ¡Te puedo decir que es la última de las tres!

Y aquí tenéis un audio de Sarah Bright donde explica el juego paso a paso para hacerlo de forma online (está en inglés):

NOTA 1: Creo que el efecto mejora mucho si en el último paso se le dice al espectador que se quede en la mano la carta que coincide con su número secreto, en lugar de pasarla también abajo; ya que esa será precisamente la carta elegida. Esta revelación me parece mucho más interesante. 

NOTA 2: Cuando se hace "deletrear" la palabra "MAGIA", obviamente se puede substituir por cualquier otra palabra de 5 letras.

NOTA 3: La posición final de la carta solamente depende de la palabra a deletrear, ya que los otros tres conteos dejan la carta en su posición original (ver explicación matemática). De manera que se puede modificar a gusto la posición final de la carta para su revelación.

Lo que hoy os cuento aquí ha sido para mí un grato descubrimiento. Creo que es una propiedad casi desconocida en el mundo mágico (o por lo menos, no muy mencionada) pero que creo puede tener una gran versatilidad debido a su sencillez. Pienso que produce, cuanto menos, sorpresa.

¡Venga! Me arriesgo a hacer una predicción:

Ahora coge una baraja completa (sin los comodines) y haz la siguiente preparación:

Debajo de la baraja prepara un set de 13 cartas en orden decreciente, es decir,

K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A

sin importar el palo de ellas. De esta manera, debe quedar como carta última (la bottom) un As. Te muestro la preparación en la siguiente imagen:

Con la baraja así preparada, disponte a realizar las siguientes acciones:

1 - Con la baraja de dorso, mezcla sin deshacer el set de 13 cartas ya preparado. 

2 - Voltea la carta que te ha quedado arriba (la top) y déjala encima de la mesa. 

3 - Ahora, encima de ella y de una en una, ve colocando de dorso tantas cartas como número indique el índice de dicha carta (es decir, si la carta es un 4 de corazones, reparte 4 cartas de dorso encima de ella).

4 - La última carta dada en mesa, voltéala de nuevo y vuelve a tomar su índice para, de nuevo, colocar de dorso tantas cartas como indique.

5 - La última carta dada, voltéala otra vez, da tantas cartas como indique el índice y ve repitiendo este proceso hasta que se te agoten las cartas y no puedas continuar. Para ejemplificar las acciones anteriores, observa la imagen: 

Cartas de cara después del reparto anterior 

6 - Las cartas que te han quedado de cara, han salido totalmente al azar. Suma sus valores.....y ahora.... ¡mira mi predicción anterior!

No es casualidad que la suma coincida con el número de cartas de la baraja. El hecho es que, gracias a la preparación inicial, el resultado siempre es el mismo independientemente de las cartas que hayan quedado de cara. Y esto es porque al hacer el proceso anterior estás sencillamente contando las cartas, aunque de una manera muy ingeniosa.

NOTA 1: Este Principio funciona para cualquier número de cartas y la predicción será el número de cartas con las que se ejecuta (con la baraja completa, 52).

NOTA 2: El set preparado es el que asegura que se cumpla la predicción. Si se le dan a las figuras el valor 10, con preparar las cartas del 10 al As en bottom sería suficiente.

Lo que acabamos de hacer se conoce como el Principio de Kraus o Cuenta de Kraus, debido a su descubridor, Alexander Kraus. Se publicó en la revista "Ibidem" en el año 1957. Yo lo descubrí en el libro "Card Concepts" de Arthur F. MacTier, un libro recomendadísimo para todo aquel que quiera conocer más sobre principios matemáticos aplicados a la cartomagia y su aplicación a efectos mágicos. Es un libro lleno de ideas.

Por lo que sé, pocos efectos se han creado basados en este principio. A parte de remitiros al libro "Card Concepts" ya citado, un efecto de mentalismo basado en el Principio de Kraus es "Swindled" del libro "World of super-mentalism" de Larry Becker.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Miremos con más detenimiento lo que está ocurriendo aquí. Esta es de esas demostraciones "sin palabras" que tienen una belleza singular.

Extendemos la baraja para ver la disposición que nos ha quedado después de hacer la cuenta:

Si ahora separamos los "grupitos" de cartas que hay entre las que están de cara, descubriremos lo que está pasando en realidad al realizar la cuenta de Kraus. Tendríamos lo siguiente:

Y fíjate cómo en cada grupo de cartas, hay tantas cartas como indica el índice de la que está de cara (incluyendo ésta, por supuesto). De esta manera, es evidente que el número total de cartas coincide con la suma de los índices de las cartas de cara.

El problema lo tendríamos para hacer "cuadrar" el grupito de cartas después de la última carta de cara, ya que debe haber una carta menos que el índice que muestre para que funcione el principio.

Esto lo soluciona la preparación que hicimos inicialmente, puesto que llegues a la carta que llegues al final, debido al orden de las 13 cartas, la cantidad de cartas que quedan es una menos que el índice de la última carta (en la imagen anterior, fíjate como siendo un 5 la carta de cara, al final quedan 4 cartas). Esta idea se debe al mago Tom Ransom. Sencillamente genial.

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Este principio, "primo-hermano" de la Cuenta de Kruskal al que ya dediqué un post en este mismo blog, ha sido muy poco utilizado por magos y, a mi juicio, quizás infravalorado.

Creo que la sencillez del principio y la poca preparación que exige, permite sacarle mucho más provecho. Lo traigo aquí con el afán de darle un poco de eco y con el deseo expreso de que ingeniéis efectos a los que aplicarlo.

La primera vez que me topé con este curioso principio fue leyendo un artículo de Venancio Álvarez, Pablo Fernández y M. Auxiliadora Márquez, "Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos" publicado en "La gaceta de la RSME". Aparece en un efecto que ellos llaman "La carta del día" y me pareció realmente mágico.

Os paso a detallar la realización del principio:

1- Coge de una baraja mezclada, dos paquetes de 13 cartas cada uno. Y deja el resto del mazo aparte.

2- De ese mazo restante, mira y recuerda la carta situada la segunda desde dorsos (la top-2).

3- Ahora coge el primer paquete de 13 cartas, y con el paquete de dorso, realiza una cuenta atrás del 13 al 1 con las cartas, volteándolas una a una sobre la mesa. En el momento en el que el índice de la carta coincida con el número que cuentas (para ello, J = 11, Q = 12 y K = 13), detente y deja las cartas que sobran encima del mazo aparte . Supongamos que te paras en el 8. En el caso que no haya coincidencia, coge las 13 cartas, mézclalas y vuelve a hacer la cuenta atrás.....así hasta que haya una coincidencia. No desesperes, no tendrás que realizarlo más de 2 o 3 veces (*).

3- Realiza del mismo modo la cuenta atrás con el otro paquete de 13 cartas. Supongamos que ahora te paras en la J = 11. Devuelve las cartas que sobran encima del mazo aparte.

4- Ahora tienes en la mesa dos montoncitos de cartas: uno tiene un 8 en la cara y el otro una J. Suma esos valores, que surgieron del azar (8 + 11 = 19).

5- Del mazo que tienes aparte, cuenta 19 cartas (desde dorsos). La carta que hace la 19 será la carta que memorizaste al comienzo. ¡Increíble!

NOTA: El proceso anterior NO depende del número de cartas que contengan los paquetes iniciales: siempre "forzamos" a coger la top-2 del mazo que apartamos.

En el ejemplo está hecho con dos paquetes de 13 cartas, ya que hay 13 dígitos en la baraja de póker (del "A" al "K"), y así se aumentan las probabilidades de coincidencia al hacer la cuenta atrás. Es obvio que no tiene sentido hacerlo con paquetes de más de 13 cartas...

La carta que forzamos depende del número de paquetes que hagamos, así podemos generalizar el principio para cualquier número de paquetes:

PRINCIPIO DE LA CUENTA ATRÁS

1- De una baraja cogemos "n" paquetes de "x" cartas cada uno. Dejamos el mazo restante aparte.

2- Hacemos el proceso de cuenta atrás descrito anteriormente para cada paquete, devolviendo las cartas sobrantes de cada paquete al mazo restante.

3- Sumamos los índices de las cartas donde nos hemos detenido de cada paquete. La suma será "S"

Entonces, la carta situada en posición "S" desde dorsos del mazo actual, es la que inicialmente estaba en posición "n" desde dorsos (top-n) del mazo que apartamos inicialmente.

ASÍ:
Con un solo paquete, estaríamos forzando la carta top del mazo restante.
Con dos paquetes, forzamos la top-2
Con tres paquetes, forzamos la top-3
Con cuatro paquetes, forzamos la top-4.
Etc...

Para disfrutar la potencia de este principio os remito al juego "La cuenta atrás" del archiconocido "Cartomagia fundamental" del gran Vicente Canuto, aunque personalmente me encanta la versión del genial Gabi Pareras de "La carta del día" citado anteriormente .

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Aquí os dejo un efecto donde se utiliza este polivalente principio. No hay presentación, sólo el efecto; pero a modo de ejemplo me ha parecido oportuno incluirlo aquí. El vídeo corresponde al juego "La cuenta atrás" que os he comentado anteriormente de V. Canuto.

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Os dejo que caviléis nuevas maneras de utilizar este fantástico y utilísmo principio matemágico. Espero que lo disfrutéis.


EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Demostraremos el ejemplo inicial con 2 paquetes, y de forma trivial, se amplía para un número "n" de paquetes:

- Si en el primer paquete nos detenemos en el número $a$  $\rightarrow$ Devolvemos $(a-1)$ cartas al mazo.

- Si en el segundo paquete nos detenemos en el número $b$  $\rightarrow$ Devolvemos $(b-1)$ cartas al mazo.

En total, devolvemos al mazo $(a-1)+(b-1)=a+b-2$  cartas.

Así, de forma evidente, la carta situada en la posición $(a+b)$ (suma de los índices) del mazo actual, es la que estaba en la top-2 del mazo que dejamos aparte inicialmente; porque contaremos 2 cartas más de las que hemos devuelto al mazo.



APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

(*) Se observa que cuando el número de cartas de cada paquete ("x") aumenta, la probabilidad de coincidencia al hacer la cuenta atrás también aumenta, pero no hasta 1. De hecho, se puede demostrar (tiene relación con el problema de los desbarajustes) que cuando "x" es suficientemente grande, la probabilidad de coincidencia se acerca a $1-e^{-1} \simeq  0,6321$. Así pues, con 13 cartas, más de 1 de cada 2 veces, habrá coincidencia.

Para más detalles sobre este hecho, ver Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos "Truco 1: La carta del día".

Leyendo el fantástico libro "Magical Mathematics" de Persi Diaconis y Ron Graham, me llamó la atención un jueguecito que se llama "A mind-reading computer" (algo así como, "Un ordenador que lee la mente"). Este juego ha sido versionado por grandes de la magia como Alex Emsley, Ed Marlo o el mismísimo Dai Vernon.
En él se pone de manifiesto una propiedad que me resulta interesante comentar aquí, y es el hecho de que hay algunas mezclas que conservan ciertas propiedades de la baraja, lo cual se puede aprovechar eso para algún efecto interesante. Por ello os animo a que no desestiméis esta "joyita".

Os explico con un ejemplo a lo que me refiero:

1 - Coge las cartas del 1 al 6 de diamantes y del 1 al 6 de tréboles, y prepáralas, como se ve en la imagen:

Esta ordenación se llama "en espejo" o "en simetría", ya que las cartas del mismo número están a la misma distancia del centro.

2 - Ahora realiza cualquiera de estas mezclas las veces que quieras:
a) Hacer una mezcla faro.
b) Hacer una mezcla antifaro.
c) Repartir las cartas de una en una en la mesa en 2, 3 ó 4 pilas y recoger en orden (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda).

3 - Después de las acciones anteriores, la baraja sigue quedando "en espejo". Es decir, siempre hay dos números iguales a la misma distancia del centro.

NOTA 1: Esto es válido para cualquier número de cartas, teniendo en cuenta que en la acción 2 c) se debe elegir un número de pilas que sea divisor del número total de cartas (en nuestro caso hemos puesto 12 cartas y se pueden hacer 2, 3, 4, 6 ó 12 pilas).
También se puede hacer cualquier número de pilas y luego buscar el orden de recogida adecuado para que vuelvan a quedar en espejo, pero se debe estudiar para cada caso particular.

NOTA 2: Para cualquier espectador, después de repetir las acciones del paso 2), el paquete queda bien mezclado.

NOTA 3: En matemáticas, decimos que la propiedad de "espejo" es invariante para las mezclas anteriores.

Y para ver cómo se aplica esto a algún efecto, os describo el citado efecto "A mind-reading computer" en su versión original:

1 - Prepara el paquetito de 12 cartas (1 a 6 de diamantes, 1 a 6 de tréboles) como en la imagen de arriba y realiza las acciones descritas anteriormente para "mezclar" ese paquetito. Deja que el espectador también mezcle a su gusto siguiendo una de las acciones a), b) o c) las veces que quiera.

2 - Ahora realiza una "Mezcla Monge", y dale al espectador el paquetito para que corte y recomponga las veces que quiera.

3 - Cuando haya acabado de cortar, dile que coja, mire y recuerde la carta que ha quedado encima del paquete (la "top") y que te devuelva las once cartas restantes.

4 - Realiza la "Cuenta Australiana" pero empezando con la primera carta en la mesa. La última carta que te queda en la mano es la homóloga del espectador (su mismo número).

Evidentemente este juego gana si se utilizan otras cartas en lugar del 1 al 6 de diamantes y tréboles. Además, si se le añade una buena presentación, como en las versiones de Ed Marlo o Dai Vernon, puede convertirse en una verdadera joya.

APÉNDICE FINAL

Si queréis profundizar en este efecto, las versiones citadas y demás detalles, os emplazo al libro "Magical Mathematics" que os he comentado al inicio del post. Seguro que os dará varias ideas fantásticas para montar un efecto propio.

Esta cuenta fue descubierta por el físico y matemático Martin David Kruskal, pero fue Martin Gadner el que la difundió entre el mundo mágico, haciéndola aparecer en "Games Magazine" en un puzzle con las primeras frases de la "Declaración de independencia de los EEUU".

El puzzle lo tenéis aquí (en inglés, claro)

La cuenta se realiza de la siguiente forma:

1) Un espectador piensa un número entre 1 y 10.
2) El mago, con el paquete de cartas de dorso, va mostrando las cartas una a una al espectador.
3) El espectador se fija en la carta que ocupa la posición del número que pensó, y, a partir de ella, cuenta tantas cartas como indique su índice.
4) Llegará a otra carta, donde se procede de igual manera, se fija en el índice de la nueva carta y cuenta tantas cartas como indique éste.
5) Así se sigue hasta agotar el paquete de 52 cartas y no se puede seguir contando. El espectador ha llegado, al final, a una carta.
6) Independientemente del número inicial pensado, siempre se llega a la misma carta (con una probabilidad muy alta). 

Como idea os digo que si varios espectadores hicieran el proceso, acabarían en la misma carta o si previamente el mago ha hecho la cuenta, ya tendrá una predicción...

NOTA 1: El valor que se le da a las figuras para la cuenta es un factor clave en la probabilidad de esta cuenta. Cuanto menor sea ese valor, más probabilidad de acertar tendremos.
Algunos ejemplos son (para un paquete de 52 cartas y empezando a contar desde una de las diez primeras cartas):

J=11, Q=12, K=13 $\rightarrow$ La probabilidad es del 70% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K = 10  $\rightarrow$ La probabilidad es del 74% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =5  $\rightarrow$ La probabilidad es del 85% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =1  $\rightarrow$ La probabilidad es prácticamente del 100% de efectividad en la coincidencia

NOTA 2: Otra versión consistiría en deletrear cada carta en lugar de elegir su valor para contar (esto asciende la probabilidad de coincidencia al 95%)

NOTA 3: También influye el número de cartas del paquete. Es evidente que a más cartas, más probabilidad de coincidencia.

Para que compruebes esta cuenta, puedes hacer una prueba de la cuenta online en este enlace (a las figuras se les ha dado el valor 5):

http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal.html

El hecho es que es un lema probabilístico, es decir, no funciona absolutamente siempre, pero, como hemos visto, con alguna pequeña variación podemos conseguir una altísima probabilidad, e incluso llegar a que funcione siempre si utilizamos una baraja previamente preparada o mnemónica (como maravilloso ejemplo os remito al juego de Juan Tamariz, "Predicción a lo Kruskal", que aparece en su libro "Sinfonía en mnemónica mayor" pág. 93).

Buscando algún efecto mágico donde poder aplicar esta cuenta, me encontré con esta "joya" de David Copperfield que seguro que recordáis y disfrutaréis:

EXPLICACIÓN Y CONSIDERACIONES MATEMÁTICAS

El hecho fundamental radica en que, independientemente de la carta de partida, llegará un punto en el que se coincide en la misma carta, y a partir de ahí, ya siempre se coincide. Quizás con un dibujo se entienda mejor (aquí a las figuras se les ha dado el valor 1):



Como curiosidad  matemática, se tiene que la probabilidad de coincidencia se puede calcular (muy aproximadamente) con la fórmula:
$$P(coincidencia)=1-\left( \frac{x^2-1}{x^2} \right)^N$$
...donde
x = La media de los valores de las cartas que forman el paquete
N = Número de cartas que forman el paquete

Os pongo a continuación un vídeo donde se ejemplifica y se explica de forma muy didáctica esta curiosa cuenta:

Aquí os dejo con un estudio muy exhaustivo, matemáticamente hablando, de esta cuenta (está en inglés):

http://ijpam.eu/contents/2013-85-6/1/1.pdf

Más información, estudio, demostraciones y detalles varios en:

• http://www.singingbanana.com/Kruskal.pdf
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen.html
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen-ii.html
• http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/09/kruskal-con-mnemonicas-como-no.html?q=kruskal

Mucho ya se ha escrito y estudiado sobre la cuenta Australiana ("Down Under Deal" en inglés). Para los más despistados, recordar que la mezcla australiana consiste en, de un mazo de cartas, coger la primera carta y ponerla debajo, la segunda a la mesa, la tercera debajo, la cuarta a la mesa, y así sucesivamente hasta que se quede una en la mano. La pregunta a continuación es obvia: "¿Se puede saber qué carta me quedará en la mano?". La respuesta es que SÍ y depende del número de cartas que tenga el mazo inicial.

De esta manera, saber con antelación qué carta quedará en la mano nos proporciona una fuerte herramienta para nuestros juegos y rutinas de magia.

A continuación os pongo una tabla con la carta que queda en mano tras la mezcla dependiendo del número de cartas del mazo inicial:

n= número de cartas mazo inicial    J(n)= carta que te queda en mano

Lo primero que se observa es que si el número de cartas es una potencia de 2, entonces siempre me quedo al final con la primera carta (la de "top").

A partir de aquí, se puede deducir una fórmula matemática para calcular rápidamente la carta que me quedará en mano:

Si $$NúmCartas=2^m+k \rightarrow CartaEnMano=2k+1$$

Pero con un ejemplo siempre va mejor...

Si nuestro mazo de cartas tiene 19 cartas, entonces

$$NúmCartas=19=16+3=2^4+3 \rightarrow CartaEnMano=2·3+1=7$$
Si esta fórmula resulta muy compleja, se puede utilizar una regla mnemotécnica un poco más sencilla (versión improntu de la fórmula):

Del número de cartas del mazo, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble y sumar 1, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble más uno = 2·3+1=7

OBSERVACIÓN: También puede empezarse esta cuenta con la primera carta en la mesa, la segunda debajo, la tercera en la mesa, etc, es decir, a la inversa de lo anteriormente explicado. Esta cuenta se le denomina "Under Down Deal".
La fórmula que permite calcular la carta que queda al final del proceso es exactamente igual, pero sin sumar "1". Por ejemplo, si tengo 19 cartas, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble = 2·3=6

Por lo tanto si hacemos la cuenta a la inversa, en el cuadro resumen anterior, la carta que queda en la mano -J(n)- se obtiene restando "1", salvo en las potencias de dos, que quedará la "bottom" en lugar de la "top". Por ejemplo, para n = 14, será J(n) = 12, y para n = 16, J(n) = 16

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Muchos juegos han sido creados a partir de esta mezcla por grandes magos. A modo de ejemplo os traigo un juego ideado por el gran Alex Emsley de la mano del fantástico Gustavo Otero:

Aquí tenéis otro juego ideado por Roberto Giobbi: Juego de Einstein
...y aquí un estupendo estudio y generalización del juego anterior: Destejiendo el Juego de Einstein

APÉNDICES PARA MATEMÁTICOS:

1) Hay otra forma de encontrar "rápidamente" la carta que me queda en la mano al final de la cuenta, utilizando el sistema binario (descubierto por Mel Stover). Es así:

Si el número de cartas del paquete es, por ejemplo, 26, en sistema binario sería, 11010. Pues bien, si cogemos el primer 1 y lo colocamos al final, quedaría 10101, que es el número 21...¡justo la carta que nos quedará en la mano!

Con lo cual, para saber qué carta queda en la mano, debemos poner el número de cartas en sistema binario, coger el primer 1, colocarlo al final, y volver a transformar el número a sistema decimal para descubrir qué carta es la que me queda en la mano. ¡Realmente Magnífico!

2) Esta mezcla es conocida por la comunidad matemática como el "Problema de Josefo":

Resolución para N=12

Flavio Josefo fue un historiador judío que vivió en el siglo I. Según cuenta Josefo, él y cuarenta soldados camaradas fueron capturados por los romanos después de la caída de Jotapata. Antes que rendirse, decidieron acabar ellos mismos con sus vidas. Para hacerlo, se dispusieron en un círculo y acordaron que irían contando de tres en tres, de forma que cada tercer soldado sería ejecutado por la persona de su izquierda. El último hombre que quedara con vida tendría que suicidarse. Según cuenta la leyenda, Josefo calculó rápidamente cuál sería la posición del último hombre en morir para colocarse allí, y una vez hubieron muerto sus compatriotas, se entregó a los romanos.

Si queréis algún detalle más de esta leyenda tan matemática, aquí os dejo un artículo divulgativo de Clara Grima al respecto: AQUÍ

Simuladores del problema:
1: http://www.cut-the-knot.org/recurrence/flavius.shtml
2: http://webspace.ship.edu/deensley/mathdl/Joseph.html

La generalización y explicaciones matemáticas las podéis encontrar:
1) A partir de la pág. 6 de este texto fantástico de Carlos Vinuesa: AQUÍ
2) En este artículo de Pedro Alegría: AQUÍ