Me gustaría con este breve post enseñaros de qué forma un sencillo concepto matemático se puede utilizar muy inteligentemente para crear verdaderos efectos de magia.

En este caso, he seleccionado tres efectos a modo de ejemplo que utilizan el concepto de Simetría.

1 - "WRONG WAY"

No os digo nada... Mirad el vídeo con el efecto. ¿Mágico verdad?

Creo que el efecto es tan sencillo como potente. Simplemente hay un cuadrado con una flecha a cada lado de esta manera:

La clave del efecto reside en cómo se gira el cuadrado. Resulta que el cuadrado tiene 3 ejes de simetría:

...y dependiendo cuál de ellos se elije para girar el cuadrado, la flecha del reverso apuntará hacia un lado u otro. No tiene más. Os dejo que los pequeños detalles de la ejecución los deduzcáis vosotros. Brillante, ¿verdad?

Pedro Alegría en su "Rincón matemágico" de Divulgamat tiene una entrada donde explica con detalle la historia de este juego, así como otras versiones con otras figuras geométricas: AQUÍ

2 - "The Math Salute"

El genial y creativo matemático James Tanton ha popularizado un saludo muy especial que tiene mucho de mágico. Solamente se necesitan las manos para poder realizarlo:

¿Os dije que era genial?
El hecho por el cual el espectador es incapaz de detectar el verdadero giro de las manos es porque siempre tendemos a girarlas de manera simétrica, es decir, de forma natural giraremos una mano hacia la izquierda y la otra hacia la derecha, lo que provoca que no podamos deshacernos del "nudo" (como se explica en el vídeo). Para poder "desligarse" se debe girar ambas manos en el mismo sentido (parece fácil, pero os aseguro que no lo es porque es anti-intuitivo). Y es que la simetría es una característica innata a los seres humanos, y la magia también se puede aprovechar de ello.

Tengo que decir que muchas veces lo tomo prestado como introducción a mis charlas y lo hago conjuntamente con todo el público, y la verdad es que funciona muy bien.


3 - "Dos mejor que una"

El original de este juego, lo leí en el libro "Self-working card tricks (1976)" del gran Karl Fulves bajo el título de "Deuces wild". Os cuento mi propia versión:

1ª FASE:

 - Elige 4 cartas de la baraja de póker que NO sean simétricas (no hay muchas). Por ejemplo, los cuatro 7.

- Colócalos todos en la misma dirección:

Todos tienen el símbolo del centro "hacia arriba"

- Ahora mezcla de dorso y da a elegir uno de ellos al espectador. Mientras mira y memoriza su carta, aprovecha para girar 180º el paquetito con los otros tres sietes .

- Dile al espectador que devuelva su carta y mezcle las cuatro cartas. Recoge el paquetito, ábrelo frente a ti y la única carta que esté en dirección contraria será la del espectador (por ejemplo, el 7C):

Observa cómo el 7C está apuntado en otro sentido

2ª FASE:

Acto seguido repite el efecto de nuevo desde la posición que quedaron las cartas en la fase anterior, exactamente igual. Ahora, cuando el espectador devuelva su carta, tendrás dos cartas giradas: la de la primera fase, y otra que será la que esta vez eligió el espectador (por ejemplo, el 7T).

7C (la de la 1ª FASE) y 7T están giradas

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NOTA 1: Cabe la posibilidad que en la 2ª FASE te encuentres con que no hay ninguna carta girada y están todas en la misma dirección. Eso querría decir que el espectador cogió la misma carta en las dos fases (y entonces se ha girado dos veces).

NOTA 2: Se podría realizar este efecto con más cartas o con todas las cartas NO simétricas de la baraja de póker, pero mi experiencia me dice que, sorprendentemente, el efecto no mejora y es más impactante con solo las cuatro cartas.

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A veces hay una tendencia con ciertos efectos a desecharlos debido a que pensamos que son demasiado simples o evidentes, pero muchas veces pueden resultar muy buenos si se presentan bien. Aunque estos efectos os parezcan "demasiado" sencillos (ya que así es su explicación), creedme si os digo que tienen un gran impacto para el espectador.

Estoy seguro que con imaginación y creatividad se puede aprovechar estas ideas para crear verdaderos milagros. Ya me diréis.

Después de una de mis charlas, al final de la actuación, se me acercó un profesor de entre el público y me hizo un pequeño efecto de magia basado en matemáticas. Me sorprendió muy gratamente ya que lo desconocía por completo.

Lo he querido incluir aquí en el blog, no ya por su impacto mágico (que es cuanto menos curioso), sino por basarse en un concepto matemático, a priori, lejos de la magia, lo que puede alejar el efecto de su verdadera explicación y producir una buena dosis de sorpresa.


Tan sólo necesitas papel y un bolígrafo para poder presentarlo.

Dile a un espectador que realice lo siguiente, en secreto, si enseñarte nada (es importante que entienda y siga muy bien las instrucciones):

1) Que dibuje (sin separar el lápiz del papel) una curva cualquiera cerrada y que se corte a sí misma las veces que quiera. Por ejemplo, algo así:

2) Que etiquete los puntos de corte como quiera. Así:

3)  Que elija un punto cualquiera (por ejemplo, el "A"), una dirección cualquiera, y vaya avanzando hasta recorrer toda la curva y volver al punto de partida, anotando los puntos por los que pasa:

En el ejemplo, la secuencia de letras por donde se pasa es la siguiente:

ABFEDACFEDBC

4) Ahora dile que elija un par de letras adyacentes (es decir, que estén juntas) y las intercambie. Por ejemplo, que coja el par "DB" y le dé la vuelta, resultando "BD". 

5)  Hasta aquí el espectador lo ha hecho todo en secreto. Por último, dile que te enseñe la secuencia de letras que le ha quedado. En nuestro ejemplo quedaría:

ABFEDACFEBDC

6) Sin más información que esa, anuncia que serás capaz de adivinar qué dos letras ha intercambiado. Para ello realiza (en secreto) lo siguiente:

Separa la secuencia de letras en dos sub-secuencias, separando las posiciones impares de las pares, de esta forma:

- Letras en posiciones Impares:    A_F_D_C_E_D_

- Letras en posiciones Pares:         _B_E_A_F_B_C

Pues resulta que las únicas letras que se repiten en cada sub-secuencia, son exactamente las que intercambió el espectador. En nuestro ejemplo, la D y la B. ¿No es sorprendente?

NOTA 1: Es muy importante que el espectador no se equivoque en la secuencia, así que es deseable comentarle que se asegure que lo hace bien y que entiende las instrucciones ya que tú no puedes controlar lo que va haciendo. Quizás poner un pequeño ejemplo como explicación de lo que debe hacer sea buena idea.

NOTA 2: El espectador debe seguir la curva tal cual se dibujó, sin cambios "extraños" de direcciones.

NOTA 3: En el caso en que la curva dibujada haya un "bucle" en un punto, cuando el espectador recorra la curva aparecerá dos veces la misma letra, por ejemplo, ...DD... (que corresponde al punto donde esté el bucle). Y en el caso extremo que el espectador decida "intercambiar" esa pareja, evidentemente no aparecería repetida en las sub-secuencias, que sería la pista definitiva para adivinar que ha intercambiado la misma letra y que además hay un bucle... y tendríamos una ¡doble adivinación!

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Tengo que decir que gracias a un lector he podido encontrar la fuente para esta propiedad y resulta que no me sorprende que sea el gran Martin Gardner (quién si no) en su libro "New mathematical diversions". Así pues, creo que con una buena presentación se puede tener un efecto de mentalismo muy original y bastante desconocido, que puede llegar a ser muy desconcertante.

*                            *                         *

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

En cualquier curva cerrada que se dibuje, si os fijáis, los puntos de intersección tienen dos líneas de entrada y dos de salida (se dice que tienen grado 4). Así pues al recorrer toda la curva, siempre se pasará por cada punto exactamente 2 veces.

Lo curioso (y lo que hace que el efecto funcione) es que siempre se pasa por los puntos en paridad diferente. Es decir, si por un punto se pasa en posición par, la siguiente vez que se pase por él será en posición impar o viceversa.

Tomando el ejemplo anterior, por el punto "F" se pasa en 3er lugar (impar), y depués en 8º lugar (par). Sus posiciones tienen diferente paridad. Y esto ocurre con todos los puntos (letras).

Con lo cual, en la secuencia inicial, separando las posiciones pares e impares de las letras, nunca se repetirá ninguna y aparecerán todas las letras en las dos sub-secuencias una sola vez:

ABFEDACFEDBC

Letras en posiciones Impares:    A_F_D_C_E_B_

Letras en posiciones Pares:         _B_E_A_F_D_C

De esta manera, cuando el espectador intercambie dos letras adyacentes, éstas serán las únicas que se repetirán en cada sub-secuencia.

Tan sencillo como genial, ¿no os parece?

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

Realmente en el efecto, lo que le pedimos al espectador, es que dibuje un "ciclo euleriano" en la curva, es decir, recorrer todo el dibujo sin pasar dos veces por el mismo sitio y sin separar el lápiz del papel. Y gracias a como está dibujado, siempre se puede realizar. Supongo que todos recordáis algún pasatiempo de este tipo, ¿verdad?

Si miramos una curva cerrada como un grafo, entonces sería un grafo cerrado, conexo y plano 4-regular (cada vértice tiene grado 4, es decir, 4 aristas), y para este grafo, se cumpliría la Fórmula de Euler:

Regiones + Intersecciones - Segmentos  = 2

En nuestro ejemplo tenemos:

Regiones (azul) = 8
Intersecciones (rojo) = 6
Segmentos (verde) = 12


...que también es un poco mágico, ¿no?

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P.D.: Quiero dedicar este post al profesor Antonio José, professor del Instituto Montserrat Miró de Montcada i Reixac en Barcelona, el cual me enseño este efecto, y agradecer públicamente su generosidad. Espero que lo valoréis y lo podáis disfrutar tanto como yo.

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Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima octava edición, también denominada 11.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Juego original Rough&Ready

Todo surgió a raíz de una consulta que me hicieron sobre el tapete de la imagen que tenéis aquí.
Alguien me dijo que era un efecto llamado "Rough and Ready" de un mago llamado Dick Zimmerman y que era un juego matemático.
Me puse a investigar un poco y a partir de las instrucciones del juego original, pude deducir su funcionamiento y explicación.

A continuación lo modifiqué y generalicé basándome en una idea que había visto de mis amigos de Divermates.

Me pareció interesante el concepto matemático que subyace, ya que no había aparecido en este blog con antelación, y sobre todo, me pareció muy original la forma de utilizar ese concepto para elaborar un efecto de magia. De ahí que os lo traiga en este post.

Ok, sin más realiza lo siguiente:

1 - Saca las siguientes ocho cartas de la baraja:

3P, 6P, AC, 4C, AT, 5T, 2D, 4D

2 - Pon las cartas de dorso y mezcla bien. Elige una o dos cartas cualesquiera de entre esas ocho cartas (sin mirarla/s) y déjalas a parte.  

3 - Ahora, con el dedo, sitúate en el "ORIGEN" de la siguiente cuadrícula:
4 - De las cartas no elegidas, toma una, dale la vuelta y muévete en la cuadrícula en la dirección del palo de la carta y tantos cuadraditos como indica su índice (por ejemplo, si la carta es el 4C, irás hacia abajo cuatro cuadraditos).  

5 - A continuación, y desde el cuadradito en el que estás, toma otra carta y vuelve a hacer lo mismo.  

6 - Debes ir girando todas las cartas y moviéndote por la cuadrícula.  

7 - Al finalizar habrás acabado en un cuadradito. Mira qué carta/s aparecen en él...exactamente las que elegiste al inicio!

NOTA 1: El espectador en cualquier momento puede decidir si quiere cambiar alguna carta de las que eligió, por alguna de las que le quedan todavía en el paquetito, lo que mejora y potencia muchísimo la predicción final.

NOTA 2: Creo que es importante para la predicción final que las cartas estén en todo momento de dorso, ya que el final, cuando se desvelan las cartas que aparecen en la cuadrícula, el final ya es intuido por el espectador y produce un momento "me la corto" (Tamariz dixit).

NOTA 3: En el juego original de Zimmerman (que es ligeramente diferente), también se hacía con 8 cartas, pero el espectador debía elegir dos cartas de diferente color para que funcionara el juego y se debía hacer con las cartas vistas en todo momento. Esta extensión que yo os ofrezco, creo sinceramente que mejora el efecto original ya que permite la libre elección del espectador y que éste cambie su predicción en cualquier momento.

Estudiantes de la Facultad de Matemáticas de la UB (Universitat de Barcelona) han creado este applet en Geogebra donde se puede hacer el efecto virtualmente:

https://www.geogebra.org/m/qrsqfsjj

Este efecto es un poco diferente a los que venía presentando y es por eso que quería traerlo al blog para ponerlo en vuestro conocimiento. Estoy convencido que con una buena presentación se le puede sacar mucho partido.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

El efecto se basa en mirar las cartas como vectores o números complejos, ya que se utilizan para moverse en una cuadrícula, que no es otra cosa que un sistema de coordenadas.

De esta manera, si miramos la cuadrícula como un sistema de coordenadas donde el "ORIGEN" es el (0,0), las cartas serán los vectores (o números complejos):

Ahora bien, en total tengo 36 posibilidades de elección de una o dos cartas (dejo al lector que piense esto por sí solo), con lo cual lo que hago es coger cada posibilidad y situarla en las coordenadas que resulten de sumar las otras cartas.

Con un ejemplo se entiende mejor:

Pongamos que el espectador elige el 3P y el AC, la suma (vectorial) de las otras cartas será:

$$\vec{5T}+\vec{6P}+\vec{AT}+\vec{4D}+\vec{4C}+\vec{2D}=$$

$$=(5,0)+(-6,0)+(1,0)+(0,4)+(0,-4)+(0,2)=(0,2)$$

(en números complejos sería: $5-6+1+4i-4i+2i=2i$)

Y eso me dice que el 3P y el AC, deben estar en las coordenadas (0,2); que si miras en la cuadrícula es exactamente donde están situadas. Y gracias a la propiedad commutativa de la suma de vectores (o números complejos), independientemente del orden de la suma, siempre se irá a parar al mismo lugar.

Pues lo mismo hago con todas las posibilidades. No hace falta decir que el resto de cuadraditos los relleno con cartas cualesquiera porque nunca se llegará a ellos.

GENERALIZACIÓN

Seguro que la pregunta que os estáis haciendo es si este grupo de cartas es el único con el que se puede hacer el efecto. 

No, pero lo único que debemos asegurar es que todas las posibilidades de elección, al hacer la suma del resto de cartas, nos dan todos resultados diferentes (en mi caso las 36 sumas dan diferente resultado).

Teniendo esto en cuenta, podéis buscar otros conjunto de cartas (no necesariamente de 8) para producir vuestra propia cuadrícula y efecto.

NOTA para el profesorado: He probado este efecto con alumn@s y me ha dado muy buen resultado como introducción al concepto de vector y/o número complejo, y para comenzar con operaciones sencillas.

(Para poder seguir bien las explicaciones, es necesario haber leído primero el post anterior)

Después de encontrar una maravillosa fórmula para la repartición de cartas (AQUÍ), me planteé si se puede saber qué cartas no cambian su posición después de repartir (si hubiese alguna, claro), ya que puede tener una mayor repercusión mágica.

Y obtuve el resultado siguiente:

Si hacemos una Repartición de orden k, entonces las cartas que no cambian su posición serán las que forman el grupo de "k" cartas del centro. En caso de que no exista tal grupo, entonces ninguna carta mantiene su posición.

A ver si con un par de ejemplos os puedo aclarar la situación:

EJEMPLOS:

a) Supongamos que damos 20 cartas de 4 en 4.
En este caso repartiríamos (20:4) = 5 grupos de 4 cartas, y las cartas del grupo número 3  (el que queda en el centro) son las que no cambia de posición. Es decir, las cartas en posición 9, 10, 11, 12.

b) Supongamos ahora que repartimos 16 cartas de 2 en 2.
En este caso repartiríamos (16:2) = 8 grupos de cartas; con lo cual, no hay ningún grupo que esté en el centro y ninguna carta mantendrá su posición al repartir.

NOTA: En una repartición de orden 1, tan sólo hay una carta que no cambia de posición si tenemos un número impar de cartas, y en este caso, será la que está en el centro. Si tenemos un número par de cartas, ninguna mantiene su posición. Obviedad de sobras conocida en la comunidad mágica.

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También os quiero comentar la cuestión de cuántas cartas repartir de forma que una carta en concreto (la que te interese) no cambie de posición. Os pongo un ejemplo:

Si quiero que la carta situada en la posición 14 no cambie de posición al repartir cartas de 3 en 3, ¿cuántas deberemos repartir?

Si se ha entendido la cuestión anterior, se trata de pensar un poco para deducir la respuesta. Os explico:
Sabiendo que la carta número 14 debe estar en el grupo del centro para que no cambie su posición, deducimos que estará en el grupo formado por las posiciones 13, 14, 15. Así pues, se deberán repartir 9 grupos de 3 cartas, es decir, un total de 27 cartas.

Y aquí el vídeo con el resultado:

¿Y si quiero repartir cartas de 2 en 2 y deseo que la carta en posición 8 no cambie?

De nuevo, no es difícil deducir que habrá que repartir un total de 14 cartas, puesto que las que quedarían en el centro ocupan las posiciones 7, 8.

...dejo los detalles a los lectores para no extenderme en las explicaciones.

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Entiendo que los razonamientos anteriores no son extremadamente difíciles, pero sí suficientemente complejos como para que no se puedan realizar de manera "improntu".

*                    *                     *

UNA VISIÓN MÁS MATEMÁTICA...

Fruto de mi manejo con fórmulas matemáticas, os traigo a modo de curiosidad un par de fórmulas que resuelven las cuestiones anteriores directamente:

1) Si hacemos una Repartición de orden k de "N" cartas, entonces habrá cartas que no cambian de posición si y sólo si $(N:k)$ es impar.

En tal caso, habrá exactamente "k" cartas que no cambian de posición y que se obtienen de la siguiente manera:

$\frac{N-k}{2}+r$ ,  dando a r los valores $r=1,2,3 \ldots k$

2) Si al hacer una Repartición de orden k queremos que la carta situada en posición "x"  no cambie su posición, debemos repartir exactamente el número de cartas dado por la fórmula:

$N=2·(x-r)+k$, donde r = resto de la división $(x:k)$

NOTA: Os quiero comentar que si la división $(x:k)$ es exacta, para que funcione la fórmula anterior, no se pone $r=0$, sino $r=k$

*              *               *

...PARA MAGOS:

Trabajando con las fórmulas anteriores, se deducen algunas curiosidades de las reparticiones que os pueden resultar útiles:

1) Las cartas en posiciones simétricas (misma distancia una del top que la otra del bottom), se mantienen simétricas después de una repartición de orden k.

2) Si las cartas están alternadas por colores, después de cualquier repartición de orden k, se mantienen alternadas por colores (consecuencia de 1) ).

3) Si las cartas están ordenadas "en espejo", después de cualquier repartición que pueda realizarse, vuelven a quedar "en espejo" - leer ESTE POST - (consecuencia de 1) ).

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Mi reflexión final es que creo que este estudio tiene más interés matemático que mágico, pero he considerado interesante e incluso relevante publicar aquí los resultados obtenidos al respecto, ya que uno nunca sabe quién o cuándo puede necesitarlos. Celebraré cualquier aportación que podáis tener a este estudio, tanto a nivel mágico como matemático.

Después de estudiar el "Movimiento Fulves", se me vino a la mente de forma natural estudiar en profundidad la acción de repartir cartas. Quiero traeros aquí los resultados de mi investigación, pues creo que puede tener alguna utilidad mágica y un claro interés matemático. No tengo conocimiento de un estudio semejante al respecto, así que considero este estudio como una primicia que tengo el placer de compartir con vosotros.

Lo que me propuse investigar es a qué posición va a parar cada carta después de repartirlas de cualquier forma en un montón.

Os pongo un ejemplo clarificador:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, ¿en qué posición acabará la carta situada inicialmente en la posición 8 (contando siempre desde dorsos)?

...y obtuve una bella fórmula que permite calcularlo.

Os tengo que comentar que los detalles matemáticos exceden en mucho el propósito de este blog, así pues me los reservo para una posterior publicación en alguna revista especializada.

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Bien, voy a definir una "Repartición de orden k" a la acción de repartir cartas de "k" en "k" en un montón sobre la mesa.

La acción de repartir cartas sobre la mesa de una en una, sería una repartición de orden 1. Así pues, esto generaliza la repartición de cartas.

Aquí os muestro unos ejemplos:

Repartición de orden 1

Repartición de orden 2

Repartición de orden 3

Y obtuve el siguiente resultado:

Si se hace una Repartición de orden k de "N" cartas, la carta situada en posición "x" desde dorsos, irá a parar a la posición:

1) $N-x+k$ ,   si "x" és múltiplo de k

2) $N-x-k+2r$ ,   si "x" no és múltiplo de k

donde "r" es el resto de la división de $(x:k)$

NOTA: Se puede utilizar solo la fórmula 2) siempre que se tenga en cuenta que si "x" es múltiplo de "k", en lugar de coger de resto r = 0, se debe poner resto r = k.

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Puede parecer a priori una fórmula un poco compleja, pero veamos cómo funciona esta fórmula con un par de ejemplos que os mostrarán que no es difícil en absoluto. Sería buena idea que cogieras la baraja y los comprobaras:

EJEMPLOS:

a) Volviendo a la pregunta inicial, si repartimos 21 cartas de 3 en 3, vamos a calcular a qué posición irá a parar la carta en posición 8:

N=21

k=3

x=8

Si dividimos 8:3, tenemos resto r = 2

Aplicamos la fórmula 2) $\rightarrow 21-8-3+2·2 = 14$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 14 contando desde dorsos.

b) Si repartimos 12 cartas de 2 en 2, la carta número 6 irá a parar a la posición:

N=12

k=2

x=6

Al dividir 6:2, tenemos resto r = 0

Aplicamos la fórmula 1) $\rightarrow 12-6+2 = 8$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 8 contando desde dorsos.

Aquí un vídeo del ejemplo anterior:

*                  *                 *

DÁNDOLE LA VUELTA A LA FÓRMULA...

Una observación interesante que se deduce de la misma fórmula, es que al hacer una repartición, las cartas intercambian sus posiciones de dos en dos. Me explico:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, hemos visto que la carta en posición 8, acaba en posición 14. Pues bien, la carta inicialmente en posición 14, acabará en la posición 8. Es decir, las dos cartas intercambian sus posiciones. Esto ocurre con todas las cartas.

Este hecho nos permite saber de una manera fácil dónde colocar una carta inicialmente si se quiere que acabe en una posición determinada, que quizás pueda tener más utilidad para montar efectos de magia.

Por ejemplo, si se reparten 16 cartas de 4 en 4, y quiero que la carta del espectador acabe en la posición 5, ¿dónde la deberé colocar inicialmente?

Aplicamos la fórmula anterior y nos queda:

N = 16
k = 4
x = 5
r = 1 (resto de dividir 5:4)

$y=16-5-4+2·1=7+2·1=9$.

Así pues, deberíamos colocar la carta del espectador en el lugar 9 para que acabara en la posición 5 después de repartir (ya que, como hemos dicho, intercambian sus posiciones).

¡Es genial! ¿No creéis?

NOTA: Como consecuencia inmediata se obtiene que al hacer una repartición de orden k dos veces, todas las cartas vuelven a su posición original.

....y no se vayan todavía, ¡aún hay más!... La segunda parte de este estudio: AQUÍ

Es archiconocido en un dado que los puntos de las caras opuestas, siempre suman 7. Así, la cara opuesta del 6 es el 1, la del 5 es el 2 y la del 4 es el 3.

Pero quizás no es tan conocida la propiedad del dado que os traigo hoy, y eso es precisamente lo que se puede aprovechar para poder utilizarla en algún efecto mágico.

Con un dado normal, realizamos lo siguiente:

1) Nos fijamos en un vértice del dado y sumamos los puntos de las tres caras que lo forman. 

2) Ahora rotamos el dado 90º en cualquier dirección. Nos habrá quedado un nuevo vértice en el lugar del anterior.

3) Sumamos los puntos de esas tres caras que forman el nuevo vértice.

4) Pues resulta que la suma inicial y la suma final siempre tienen diferente paridad, independientemente de cómo se haya hecho el giro. Es decir, si la primera suma era par, después de rotar quedará impar y viceversa.


Por poner un ejemplo:

Me fijo en el vértice que forman las caras 2, 3, 6 cuya suma es 11 (IMPAR). Ahora hago una rotación de 90º en el dado y me queda un nuevo vértice cuyas caras son ahora 3, 5, 6, cuya suma es 14 (PAR).

*                       *                      *

Lo interesante de esta propiedad es que, junto con el Principio de Paridad (que ya os expliqué en otra entrada del blog), hace que si se rota el dado un número par de veces, se mantenga la paridad de la suma; y si se rota un número impar de veces, cambie la paridad de la suma de las tres caras.

Es decir, si en un vértice la suma es impar y se hacen 5 rotaciones de 90º en el dado, la suma de las caras del nuevo vértice será par.

Como idea, se podría hacer un pequeño efecto de magia de la siguiente forma:

1) Decimos a un espectador que tire el dado. 

2) Nosotros nos fijamos en un vértice en concreto y sumamos en secreto las tres caras que lo forman (supongamos que dicha suma es par). En este momento nos giramos para no ver. 

3) Decimos al espectador que realice, por ejemplo, 5 rotaciones de 90º en el dado. 

4) Sin volver todavía a mirar, le pedimos al espectador que decida si rotar una vez más el dado o que lo deje cómo está, pero que no nos diga nada.

5) Al volvernos, podemos saber perfectamente si ha decidido rotar el dado una última vez dependiendo de si la suma de las caras en el vértice en el que nos fijamos es par o impar respectivamente.

6) Para potenciar el impacto mágico, se puede repetir varias veces con diferente número de rotaciones. 

 

Lo anterior no pretende, en absoluto, ser un efecto de magia en sí mismo, sino una pequeña idea para fomentar vuestra imaginación y poder aplicar esta sencilla y desconocida propiedad de los dados. Así que, ¡al ataque!

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Creo que la mejor manera de entender la propiedad anterior es utilizando la Teoría de grafos. Un grafo no es más que una representación gràfica de una situación.

Aquí os dejo el grafo que representa un dado, donde cada nodo representa un vértice del dado, cada línea es una arista y el número que aparece en cada nodo representa la suma de las tres caras que forman ese vértice:

Grafo que representa un dado

Pues bien, pensando un poco deducimos que si elegimos un vértice, hacer cualquier giro de 90º en el dado representa ir a un vértice de los tres que estan unidos por una línea (arista). De esta manera vemos claramente en el grafo que si elegimos cualquier nodo, los otros tres que estan unidos con él son de paridad diferente. Y ya está.

Creo que es una demostración sencilla y elegante de la propiedad que os he comentado en este post.

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Y para otros juegos con dados (utilizando sus propiedades numéricas) que se pueden aprovechar para crear algún efecto mágico, no dejéis de leer este fantástico artículo en Divulgamat de José Muñoz Santonja: 

http://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=18418:julio-2020-juego-de-magia-con-dados&catid=77:juegos-matemcos&directory=67

Os quiero hablar de hoy sobre un efecto mágico muy sencillo que leí en el fantástico libro de Xuxo Ruíz "Educando con Magia", pero que ya aparace en el libro "Smart Science Tricks" de Martin Gardner. El efecto se hace llamar "Linking clips" que se ha traducido como "Los clips enamorados".

Lo curioso es que es un efecto totalmente automático, pero que resulta enormemente sorprendente para el que no lo conoce. En general, tiene un gran impacto mágico para los niños y produce, cuanto menos, curiosidad en los mayores.

Os dejo aquí con el vídeo del efecto presentado por Iván Santacruz:

Bonito, ¿verdad? Pues bien, lo que casi seguro no es tan conocido es la extensión mágico-matemática que ha hecho el imaginativo matemático japonés Tadashi Tokieda de este clásico efecto. Ha generalizado el efecto y profundizado en las consecuencias matemáticas que éste tiene.

Os traigo aquí el vídeo donde explica sus extensiones al efecto (está en inglés). Es un poco largo, pero creo sin duda que son 24 minutos que merecen mucho la pena:

*                   *                 *

Quería haceros partícipes de este vídeo porque me llamó mucho la atención cuando lo vi y pensé que es posible que podáis sacarle partido mágico o, si más no, os aporte alguna idea para vuestros efectos y rutinas.


LA MATEMÁTICA QUE HAY DENTRO

Este efecto (y sus extensiones) se explica gracias a una rama de la matemática llamada "Topología" que estudia las propiedades fundamentales de los objetos sin prestar atención a la forma del objeto en sí (dicho muy burdamente).

Gracias a la topología es posible hacer cosas tan imposibles como unir dos clips sin tocarlos o hacer nudos extraños, como el "Nudo Borromeo" como se comenta en el vídeo de Tadashi.

En definitva, aquellos que os interese la Topología, seguro que encontráis un divertimento magnífico en este efecto clásico de magia y seguro que os abre un abanico de cuestiones e investigaciones muy interesante.

Espero que lo disfrutéis.

El post de hoy quiero dedicarlo al tratado sobre magia recreativa más antiguo publicado en lengua castellana. Se trata de los "Diálogos de Aritmética práctica y especulativa" del Bachiller Juan Pérez de Moya, que vio la luz allá por el año, nada más y nada menos, de 1562. En concreto, me refiero al tomo noveno de la colección, que, escrito en forma de diálogo, contiene numerosas curiosidades matemáticas y en consecuencia, efectos de magia matemática.

En la primera parte del libro, el Bachiller Juan Pérez de Moya defiende la utilización de la matemática en la vida cotidiana, impresionando con sus razonamientos a varios estudiantes.

En la segunda parte es donde el autor de libro "juega" con la matemática, y así ofrece a sus estudiantes algunos enigmas y adivinaciones de números pensados, para producir en sus estudiantes la sensación de verdadera magia.

Es por este motivo que he decidido incluir un artículo como éste en mi blog, ya que es el primer tratado en castellano donde se puede decir que aparecen juegos de magia matemática.

Os dejo aquí, gracias a GoogleBooks, una vista previa de la colección. A partir de la página 193 de la colección podréis encontrar el "Libro Nono" al cual hace referencia este post:

A modo de ejemplo os traigo un par de curiosidades del libro:

1- En la página 207 se puede encontrar una versión de "La Cuenta Australiana" en su versión generalizada (en este caso se hace con 30 elementos y eliminando uno cada 9 pasos).

2- También hay un efecto de adivinación con dados. Os pongo aquí la traducción del efecto por Rafael Rodríguez Vidal en la edición revisada que publicó en 1987:

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Estamos ante un libro que durante más de doscientos años estuvo siendo publicado en sucesivas ediciones y he querido hacerle un poco de publicidad desde este blog. 

Deletreo del 2 de Picas

¿Quién no ha visto ejecutar alguna vez un efecto mágico de deletreo? ¿Quién de entre los magos no ha hecho algún juego de deletreos? Creo que no me equivoco si digo que el deletreo de cartas es una de las técnicas más explotadas en cartomagia.

Para los más despistados, comentar que el concepto de "deletrear" en cartomagia se refiere a ir contando cartas una a una, tantas como letras contenga la palabra que queramos deletrear. Me explico, si se quiere deletrear la palabra "magia", debemos contar una carta por cada letra, es decir, contar cinco cartas una a una.

Tengo que decir que el deletreo es una técnica genial para "esconder" el hecho de contar cartas y no hacerlo tan evidente.

Primero os quiero traer un famoso efecto clásico de Jim Steinmeyer. Lo llamó "The Nine Card Problem" y apareció publicado en la revista Magic Magazine (1993) y después en su libro Impuzzibilities (2002). Os paso a detallar este sencillo y potente efecto tal cual se describe en el libro:

1) - Coge 9 cartas cualquiera de la baraja que no sean Ases. Mézclalas bien y haz con ellas tres paquetitos de tres cartas cada uno (de dorsos). 

2) - Elige uno de los tres paquetitos y mira y recuerda la carta de abajo (la bottom). Esta será la carta elegida por el espectador.

3) - Coloca ese paquetito encima de uno de los otros dos, y esos dos paquetitos juntos, encima del restante para recomponer el paquete de 9 cartas. 

4) - Ahora, con el paquete de 9 cartas de dorso, deletrea en la mesa el valor de la carta que miraste y deja el resto de cartas encima (por ejemplo, si miraste el 2 de picas, deletrea "D-O-S" y deja el resto de cartas encima). 

5) - Deletrea "D-E" y deja el resto encima. 

6) - Por último, deletrea el palo de la carta elegida (por ejemplo, "P-I-C-A-S") y vuelve a dejar el resto de cartas encima. 

7) - Ahora, la carta elegida, debería estar perdida entre las 9 cartas. Pues bien, deletrea la palabra "M-A-G-I-A" girando la última carta de esta palabra...¡es la carta elegida!

NOTA 1: En inglés, el efecto anterior funciona con cualquier carta elegida. En español el efecto anterior NO funciona si la carta elegida es un AS (dejo al lector que descubra porqué). Por ello en el paso 1) se pide que no hayan ases en las 9 cartas que se escogen.

NOTA 2: La finalidad de los movimientos descritos en los pasos 1), 2) y 3) es solamente colocar la carta elegida en tercera posición desde dorsos.

NOTA 3: Evidentemente, al final se puede deletrear la palabra "MAGIA" o cualquier otra que contenga 5 letras.

...y a continuación, para que lo veáis en acción, os dejo el efecto anterior ejecutado por Justin Flom (está en inglés, pero se sigue muy bien):

La explicación del porqué funciona este potente efecto es muy sencilla y dejaré que el lector que lo desee lo pueda descubrir por sí mismo.

Pero de todos los efectos mágicos que conozco basados en deletreos, quisiera traeros uno que me resultó especialmente impactante. Es esta rutina del genial Woody Aragón donde eleva a su máxima expresión esta técnica del deletreo:

Si, como a mi, os gustan los juegos con deletreos, aquí os dejo un enlace con algunos juegos que creó al respecto el gran Martin Gardner (está en inglés):

https://digitalcommons.butler.edu/wordways/vol42/iss3/17/

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Debido a la utilidad entre los magos de esta técnica he querido recoger en una tabla de uso fácil el deletreo de todas las cartas de la baraja de póker, es decir, el número de letras que contiene cada carta (incluyendo la preposición "DE"):

Tabla de deletreos

Como ejemplo, podéis observar en la tabla que el "6 de corazones" tiene 15 letras.

NOTAS:

1- He incluido tanto los deletreos con "Diamantes" como "Rombos" por el uso indistinto que se utiliza en el nombre de estas cartas.

2- Los deletreos anteriores incluyen la preposición "de". Obviamente si se quiere prescindir de esta preposición al deletrear las cartas, tan solo hay que restar 2 a cada casilla.

3- El As de los Tréboles está deletreado como "As de Tréboles" y no como "As de Trébol" por coherencia con el plural de los otros ases (As de picas, As de corazones, As de diamantes o As de rombos)

4- El deletreo depende del idioma. Huelga decir que esta tabla solamente es válida para el idioma español.

Reconozco que me encantan los efectos basados en deletreos y como no he encontrado esta tabla por otro lugar, aquí os la dejo por si os resultara de utilidad.

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APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

A partir de la tabla anterior, he aprovechado para hacer un poco de estadística con ella y extraer la parte matemática de esta técnica mágica.

Si utilizamos la palabra "Diamantes", tenemos la siguiente tabla de frecuencias y diagrama de barras:

Estadística con Diamantes

Notar que hay 15 cartas que se deletrean con 15 cartas y que prácticamente la mitad de las cartas (un 48,08%) se deletrean con 14 ó con 15 cartas. Para quién le interese la media es de 13,83 cartas con una desviación típica de 1,92.

Si utilizamos la palabra "Rombos", tenemos los siguientes resultados:

Estadística con Rombos

Notar que el deletreo queda más repartido y no creo que haya nada que destacar. Aquí la media es de 13,08 cartas con una desviación de 1,87.

En conclusión, creo que probabilísticamente hablando, sería mejor hacer los deletreos utilizando la palabra "Diamantes" que "Rombos".

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Para los profesores de matemáticas:

La tabla anterior se puede utilizar en clase para hacer ejercicios de estadística y probabilidad, ya que, además de las estadísticas anteriores, se pueden hacer otras, así como cálculos de probabilidad, como por ejemplo ¿cuál es la probabilidad que al elegir una carta se deletree con 11 letras? o ¿cuál es la probabilidad que una carta que se deletree con 15 letras quede situada en la posición 15 después de mezclar la baraja?

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Mi estimado colega Enric Llorens, me ha pasado la tabla de deletreos para el idioma catalán. Lo quiero también compartir por si a alguien le resulta útil (gràcies Enric!):

Os traigo hoy una idea diferente que tiene una base geométrica y que me llamó mucho la atención la primera vez que la vi.
Es un forzaje de un color de una manera realmente ingeniosa.
La primera vez que lo vi utilizar fue en manos de mis colegas "Magic Freaks" en un efecto de mentalismo. Me hicieron saber que basaron su efecto en uno ideado por Rachel, la mujer del gran Aldo Colombini llamado "Zodiac Code", y que presentaban en sus espectáculos conjuntamente.

Antes de nada, me gustaría mostraros el efecto original de Rachel y Aldo para que veáis el impacto que puede producir:

Maravilloso, ¿verdad?. Supongo que ya deducís que el chico tenía poca opción e iría a parar sí o sí al color verde. Pero, ¿cómo es posible?

La clave está en un concepto matemático: la "rotación". La cuadrícula utilizada en el efecto tiene, más o menos, esta pinta:

Si numeramos las casillas de la cuadrícula del 1 al 12, tendríamos lo siguiente:

En el efecto "Zodiac Code", observamos que la cuadrícula utilizada tiene el color verde en las celdas 1, 8 y 10.

El ingenio reside en que haciendo rotar la cuadrícula en el sentido de las agujas del reloj, conseguimos "cubrir" todos los números, de forma que digamos el número que digamos, solamente rotando la cuadrícula llegamos a él.

A continuación os he puesto cómo quedarían las celdas verdes al hacer rotar la cuadrícula 0º, 90º, 180º y 270º respectivamente en el sentido de las agujas del reloj. Y éste es el resultado:

En resumen, al saber el número pensado por el espectador, solamente debemos rotar la cuadrícula correspondientemente para que llegue al color verde. Así, con tres casillas que tengamos pintadas en verde y rotando la cuadrícula se cubren todas las posibilidades...¡genial! ¿no?

Tenemos un forzaje de un color realmente fantástico.

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Pero podemos ir un poco más allá y analizar con más profundidad qué está ocurriendo en esta cuadrícula. La realidad es que la cuadrícula es simétrica y se puede generar a partir de solamente 3 celdas que son las que he marcado en verde en la siguiente figura:

Observad cómo haciendo girar en el sentido de las agujas del reloj la figura formada por las celdas verdes (1, 3, 4), genero toda la cuadrícula. En definitiva, estas tres celdas son suficientes para generar toda la cuadrícula.

A continuación, os he puesto una tabla donde detallo dónde va a parar cada una de estas celdas al hacer rotaciones de 90º, 180º y 270º:

0º	90º	180º	270º
1	6	12	7
3	2	10	11
4	5	9	8

(Tabla1)

De esta manera, se podría construir la cuadrícula para forzar el color verde eligiendo una celda de cada una de las tres filas de la tabla anterior.

Así otra posible cuadrícula para forzar el color verde sería ésta (con las celdas 1, 9, 10):

Creo que este tipo de forzaje es una idea muy bonita donde se utiliza de forma magistral un concepto geométrico muy simple y potente, como son las rotaciones.

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OTRA VUELTA DE TUERCA

Siguiendo con la idea anterior se me ocurre "darle la vuelta a la tortilla" e invertir el forzaje. Quiero decir, dejar que el espectador elija un color y le forzamos tres números.

Simplemente se eligen ternas de números de la (Tabla1), uno de cada fila, y cada terna de celdas se pinta de un mismo color.

Fijaos, por ejemplo, en la siguiente cuadrícula:

Una vez que el espectador elige un color, le podríamos forzar las siguientes ternas de números, dependiendo de cómo rotemos la cuadrícula:

a) 1, 8, 10
b) 2, 7, 9
c) 3, 5, 12
d) 4, 6, 11

De esta forma, según coloquéis los colores podréis forzar otras ternas numéricas, eso sí, cada terna estará formada por un número de cada fila de la (Tabla1).

Ahí lo dejo por si se puede aprovechar para algún efecto mágico.

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GENERALIZACIÓN

Como matemático que soy, siempre intento generalizar las propiedades que voy descubriendo; y esta no es una excepción. Aunque realmente no tenga mucho interés a nivel mágico, quisiera comentarlo por si alguien le puede sacar partido.

Siguiendo la misma idea de antes, podríamos crear cualquier cuadrícula a partir de una "figura base" haciéndola rotar.

Por ejemplo, si elegimos como figura base un cuadrado formado por cuatro celdas, se puede generar la siguiente cuadrícula para forzar el color verde eligiendo ahora un número entre 1 y 16, y utilizando las rotaciones igual que antes:

Os dejo a vosotros que numeréis las celdas y hagáis una tabla como la anterior para ver dónde va a parar cada celda después de cada rotación para colorear a vuestro gusto la cuadrícula.

Otro ejemplo que se me ocurre es utilizar un hexágono para forzar el color verde eligiendo un número entre 1 y 12. La "figura base" ahora sería un triángulo equilátero y  las rotaciones deben ser de 60º en el sentido de las agujas del reloj. Aquí lo tenéis:

Lo interesante aquí es que sólo necesito dos "celdas" para cubrir todos los números ya que puedo rotar la figura a seis posiciones diferentes.

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En fin, deseo con este artículo inspirar vuestra imaginación y que podáis generar otras figuras de forzaje a vuestro gusto utilizando esta fantástica idea que os he traído hoy. Y espero haber puesto en vuestro conocimiento una herramienta que os permita crear nuevos y potentes efectos.

Quiero dar las gracias desde aquí a los ya comentados "Magic Freaks" por poner en mi conocimiento esta estupenda herramienta.