Estudio matemático de la repartición de cartas (2ª parte)

(Para poder seguir bien las explicaciones, es necesario haber leído primero el post anterior)

Después de encontrar una maravillosa fórmula para la repartición de cartas (AQUÍ), me planteé si se puede saber qué cartas no cambian su posición después de repartir (si hubiese alguna, claro), ya que puede tener una mayor repercusión mágica.

Y obtuve el resultado siguiente:

Si hacemos una Repartición de orden k, entonces las cartas que no cambian su posición serán las que forman el grupo de "k" cartas del centro. En caso de que no exista tal grupo, entonces ninguna carta mantiene su posición.

A ver si con un par de ejemplos os puedo aclarar la situación:

EJEMPLOS:

a) Supongamos que damos 20 cartas de 4 en 4.
En este caso repartiríamos (20:4) = 5 grupos de 4 cartas, y las cartas del grupo número 3  (el que queda en el centro) son las que no cambia de posición. Es decir, las cartas en posición 9, 10, 11, 12.

b) Supongamos ahora que repartimos 16 cartas de 2 en 2.
En este caso repartiríamos (16:2) = 8 grupos de cartas; con lo cual, no hay ningún grupo que esté en el centro y ninguna carta mantendrá su posición al repartir.

NOTA: En una repartición de orden 1, tan sólo hay una carta que no cambia de posición si tenemos un número impar de cartas, y en este caso, será la que está en el centro. Si tenemos un número par de cartas, ninguna mantiene su posición. Obviedad de sobras conocida en la comunidad mágica.

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También os quiero comentar la cuestión de cuántas cartas repartir de forma que una carta en concreto (la que te interese) no cambie de posición. Os pongo un ejemplo:

Si quiero que la carta situada en la posición 14 no cambie de posición al repartir cartas de 3 en 3, ¿cuántas deberemos repartir?

Si se ha entendido la cuestión anterior, se trata de pensar un poco para deducir la respuesta. Os explico:
Sabiendo que la carta número 14 debe estar en el grupo del centro para que no cambie su posición, deducimos que estará en el grupo formado por las posiciones 13, 14, 15. Así pues, se deberán repartir 9 grupos de 3 cartas, es decir, un total de 27 cartas.

Y aquí el vídeo con el resultado:

¿Y si quiero repartir cartas de 2 en 2 y deseo que la carta en posición 8 no cambie?

De nuevo, no es difícil deducir que habrá que repartir un total de 14 cartas, puesto que las que quedarían en el centro ocupan las posiciones 7, 8.

...dejo los detalles a los lectores para no extenderme en las explicaciones.

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Entiendo que los razonamientos anteriores no son extremadamente difíciles, pero sí suficientemente complejos como para que no se puedan realizar de manera "improntu".

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UNA VISIÓN MÁS MATEMÁTICA...

Fruto de mi manejo con fórmulas matemáticas, os traigo a modo de curiosidad un par de fórmulas que resuelven las cuestiones anteriores directamente:

1) Si hacemos una Repartición de orden k de "N" cartas, entonces habrá cartas que no cambian de posición si y sólo si $(N:k)$ es impar.

En tal caso, habrá exactamente "k" cartas que no cambian de posición y que se obtienen de la siguiente manera:

$\frac{N-k}{2}+r$ ,  dando a r los valores $r=1,2,3 \ldots k$

2) Si al hacer una Repartición de orden k queremos que la carta situada en posición "x"  no cambie su posición, debemos repartir exactamente el número de cartas dado por la fórmula:

$N=2·(x-r)+k$, donde r = resto de la división $(x:k)$

NOTA: Os quiero comentar que si la división $(x:k)$ es exacta, para que funcione la fórmula anterior, no se pone $r=0$, sino $r=k$

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...PARA MAGOS:

Trabajando con las fórmulas anteriores, se deducen algunas curiosidades de las reparticiones que os pueden resultar útiles:

1) Las cartas en posiciones simétricas (misma distancia una del top que la otra del bottom), se mantienen simétricas después de una repartición de orden k.

2) Si las cartas están alternadas por colores, después de cualquier repartición de orden k, se mantienen alternadas por colores (consecuencia de 1) ).

3) Si las cartas están ordenadas "en espejo", después de cualquier repartición que pueda realizarse, vuelven a quedar "en espejo" - leer ESTE POST - (consecuencia de 1) ).

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Mi reflexión final es que creo que este estudio tiene más interés matemático que mágico, pero he considerado interesante e incluso relevante publicar aquí los resultados obtenidos al respecto, ya que uno nunca sabe quién o cuándo puede necesitarlos. Celebraré cualquier aportación que podáis tener a este estudio, tanto a nivel mágico como matemático.