Estudio matemático de la repartición de cartas (1ª parte)

Después de estudiar el "Movimiento Fulves", se me vino a la mente de forma natural estudiar en profundidad la acción de repartir cartas. Quiero traeros aquí los resultados de mi investigación, pues creo que puede tener alguna utilidad mágica y un claro interés matemático. No tengo conocimiento de un estudio semejante al respecto, así que considero este estudio como una primicia que tengo el placer de compartir con vosotros.

Lo que me propuse investigar es a qué posición va a parar cada carta después de repartirlas de cualquier forma en un montón.

Os pongo un ejemplo clarificador:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, ¿en qué posición acabará la carta situada inicialmente en la posición 8 (contando siempre desde dorsos)?

...y obtuve una bella fórmula que permite calcularlo.

Os tengo que comentar que los detalles matemáticos exceden en mucho el propósito de este blog, así pues me los reservo para una posterior publicación en alguna revista especializada.

*                  *                 *

Bien, voy a definir una "Repartición de orden k" a la acción de repartir cartas de "k" en "k" en un montón sobre la mesa.

La acción de repartir cartas sobre la mesa de una en una, sería una repartición de orden 1. Así pues, esto generaliza la repartición de cartas.

Aquí os muestro unos ejemplos:

Repartición de orden 1

Repartición de orden 2

Repartición de orden 3

Y obtuve el siguiente resultado:

Si se hace una Repartición de orden k de "N" cartas, la carta situada en posición "x" desde dorsos, irá a parar a la posición:

1) $N-x+k$ ,   si "x" és múltiplo de k

2) $N-x-k+2r$ ,   si "x" no és múltiplo de k

donde "r" es el resto de la división de $(x:k)$

NOTA: Se puede utilizar solo la fórmula 2) siempre que se tenga en cuenta que si "x" es múltiplo de "k", en lugar de coger de resto r = 0, se debe poner resto r = k.

*                  *                 *

Puede parecer a priori una fórmula un poco compleja, pero veamos cómo funciona esta fórmula con un par de ejemplos que os mostrarán que no es difícil en absoluto. Sería buena idea que cogieras la baraja y los comprobaras:

EJEMPLOS:

a) Volviendo a la pregunta inicial, si repartimos 21 cartas de 3 en 3, vamos a calcular a qué posición irá a parar la carta en posición 8:

N=21

k=3

x=8

Si dividimos 8:3, tenemos resto r = 2

Aplicamos la fórmula 2) $\rightarrow 21-8-3+2·2 = 14$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 14 contando desde dorsos.

b) Si repartimos 12 cartas de 2 en 2, la carta número 6 irá a parar a la posición:

N=12

k=2

x=6

Al dividir 6:2, tenemos resto r = 0

Aplicamos la fórmula 1) $\rightarrow 12-6+2 = 8$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 8 contando desde dorsos.

Aquí un vídeo del ejemplo anterior:

*                  *                 *

DÁNDOLE LA VUELTA A LA FÓRMULA...

Una observación interesante que se deduce de la misma fórmula, es que al hacer una repartición, las cartas intercambian sus posiciones de dos en dos. Me explico:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, hemos visto que la carta en posición 8, acaba en posición 14. Pues bien, la carta inicialmente en posición 14, acabará en la posición 8. Es decir, las dos cartas intercambian sus posiciones. Esto ocurre con todas las cartas.

Este hecho nos permite saber de una manera fácil dónde colocar una carta inicialmente si se quiere que acabe en una posición determinada, que quizás pueda tener más utilidad para montar efectos de magia.

Por ejemplo, si se reparten 16 cartas de 4 en 4, y quiero que la carta del espectador acabe en la posición 5, ¿dónde la deberé colocar inicialmente?

Aplicamos la fórmula anterior y nos queda:

N = 16
k = 4
x = 5
r = 1 (resto de dividir 5:4)

$y=16-5-4+2·1=7+2·1=9$.

Así pues, deberíamos colocar la carta del espectador en el lugar 9 para que acabara en la posición 5 después de repartir (ya que, como hemos dicho, intercambian sus posiciones).

¡Es genial! ¿No creéis?

NOTA: Como consecuencia inmediata se obtiene que al hacer una repartición de orden k dos veces, todas las cartas vuelven a su posición original.

....y no se vayan todavía, ¡aún hay más!... La segunda parte de este estudio: AQUÍ