Leyendo la obra maestra "Verbimagia" del gran Juan Tamariz, donde el mago realiza, tan sólo con su voz, efectos realmente mágicos; me encontré al final del libro con unas cuantas ideas que Juan Tamariz nos regala para utilizar en nuestros efectos.

Os cuento una que me llamó especialmente la atención, debido a que es una aplicación práctica de una entrada de este blog: Mezclas en espejo

Juan da esta idea para forzar a un espectador la elección del número 13:

Si tienes 12 cartas ordenadas del As a la Q (Dama), se pide a un espectador que reparta cartas, de una en una, en 2, 3, 4 ó 6 montones y que recoja de derecha a izquierda o al contrario (se puede hacer este reparto tantas veces se desee).
Ahora las parejas formadas por la carta de encima y la de abajo (la Top y Bottom), es decir, 6 parejas, suman todas 13. El espectador puede elegir la pareja que quiera y sumar sus valores. Forzamos así el número 13.

Juan comenta que también se pueden hacer mezclas faro o antifaro y las parejas seguirán sumando 13.

La explicación de este hecho es sencilla si se entiende que las 12 cartas ordenadas están en espejo, ya que la suma entre dos cartas equidistantes respecto del centro, es 13 y esta propiedad (como ya se explicó en la entrada Mezclas en espejo de este blog) se mantiene para mezclas faro, antifaro o repartición en montones.

Me gustaría aportar mi granito de arena a la idea de Juan (¡cuánta osadía la mía!) y generalizarla. Ahí va:

No sólo podemos utilizar éste método para forzar el número 13, sino que, entendido ya porqué funciona, podemos partir de un paquete cuyas parejas equidistantes sumen el número que queramos, y así forzar ese número.

Por ejemplo, si quisiéramos forzar el número 10, podemos coger un paquete formado por las siguientes cartas: 

3, 5, As, 2, 6, 3, 7, 4, 8, 9, 5, 7 

Observa cómo las parejas de cartas equidistantes suman 10.

Al utilizar el método de Juan anteriormente descrito, forzaríamos el número 10. 

Con esta sencilla idea, podemos forzar el número que queramos, utilizando parejas que sumen dicho número.

NOTA 1: Podemos utilizar tantas parejas como queramos (repetidas o no), ya que el número total de cartas del paquete no importa.

NOTA 2: Pásate por la entrada ya mencionada Mezclas en espejo para completar esta idea y/o inventar otras nuevas.


Como regalo, os dejo con algunos efectos del citado libro "Verbimagia", en la propia voz de Juan. Mi recomendación es que los sigáis con las cartas en la mano...y que disfrutéis del genio y el ingenio del siempre magnífico Juan Tamariz:

http://www.ivoox.com/podcast-por-arte-verbimagia_sq_f1142818_1.html

Querid@s lector@s, espero que le saquéis partido a esta genial idea, y... ¡a ingeniar malvedades!

Leyendo el fantástico libro "Magical Mathematics" de Persi Diaconis y Ron Graham, me llamó la atención un jueguecito que se llama "A mind-reading computer" (algo así como, "Un ordenador que lee la mente"). Este juego ha sido versionado por grandes de la magia como Alex Emsley, Ed Marlo o el mismísimo Dai Vernon.
En él se pone de manifiesto una propiedad que me resulta interesante comentar aquí, y es el hecho de que hay algunas mezclas que conservan ciertas propiedades de la baraja, lo cual se puede aprovechar eso para algún efecto interesante. Por ello os animo a que no desestiméis esta "joyita".

Os explico con un ejemplo a lo que me refiero:

1 - Coge las cartas del 1 al 6 de diamantes y del 1 al 6 de tréboles, y prepáralas, como se ve en la imagen:

Esta ordenación se llama "en espejo" o "en simetría", ya que las cartas del mismo número están a la misma distancia del centro.

2 - Ahora realiza cualquiera de estas mezclas las veces que quieras:
a) Hacer una mezcla faro.
b) Hacer una mezcla antifaro.
c) Repartir las cartas de una en una en la mesa en 2, 3 ó 4 pilas y recoger en orden (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda).

3 - Después de las acciones anteriores, la baraja sigue quedando "en espejo". Es decir, siempre hay dos números iguales a la misma distancia del centro.

NOTA 1: Esto es válido para cualquier número de cartas, teniendo en cuenta que en la acción 2 c) se debe elegir un número de pilas que sea divisor del número total de cartas (en nuestro caso hemos puesto 12 cartas y se pueden hacer 2, 3, 4, 6 ó 12 pilas).
También se puede hacer cualquier número de pilas y luego buscar el orden de recogida adecuado para que vuelvan a quedar en espejo, pero se debe estudiar para cada caso particular.

NOTA 2: Para cualquier espectador, después de repetir las acciones del paso 2), el paquete queda bien mezclado.

NOTA 3: En matemáticas, decimos que la propiedad de "espejo" es invariante para las mezclas anteriores.

Y para ver cómo se aplica esto a algún efecto, os describo el citado efecto "A mind-reading computer" en su versión original:

1 - Prepara el paquetito de 12 cartas (1 a 6 de diamantes, 1 a 6 de tréboles) como en la imagen de arriba y realiza las acciones descritas anteriormente para "mezclar" ese paquetito. Deja que el espectador también mezcle a su gusto siguiendo una de las acciones a), b) o c) las veces que quiera.

2 - Ahora realiza una "Mezcla Monge", y dale al espectador el paquetito para que corte y recomponga las veces que quiera.

3 - Cuando haya acabado de cortar, dile que coja, mire y recuerde la carta que ha quedado encima del paquete (la "top") y que te devuelva las once cartas restantes.

4 - Realiza la "Cuenta Australiana" pero empezando con la primera carta en la mesa. La última carta que te queda en la mano es la homóloga del espectador (su mismo número).

Evidentemente este juego gana si se utilizan otras cartas en lugar del 1 al 6 de diamantes y tréboles. Además, si se le añade una buena presentación, como en las versiones de Ed Marlo o Dai Vernon, puede convertirse en una verdadera joya.

APÉNDICE FINAL

Si queréis profundizar en este efecto, las versiones citadas y demás detalles, os emplazo al libro "Magical Mathematics" que os he comentado al inicio del post. Seguro que os dará varias ideas fantásticas para montar un efecto propio.

Este principio (o fórmula) es sin duda uno de los que más ganas tenía de escribir, ya que no lo he encontrado en ningún estudio anterior; di con esta interesante propiedad de la mezcla antifaro a partir de un efecto de Gabi Pareras ("Localización binaria"), que después descubrí también en un efecto del gran Pit Hartling ("The Core").


Para aquellos que no sepan de qué va, les aclaro que una mezcla antifaro consiste en, con la baraja de dorso, avanzar una carta y retroceder la siguiente (o viceversa) y así con todo el paquete. Al final se extirpa la mitad de la baraja que sobresale y se coloca encima. El efecto que produce es el inverso a la mezcla faro, de ahí su nombre.

Pues bien, en el caso que se realice la mezcla antifaro y se retire la mitad del paquete sobresaliente, podemos saber perfectamente cómo varía la posición inicial de una carta de la siguiente forma:

PRINCIPIO DE LA MEZCLA ANTIFARO

Si una carta está en la posición N (desde dorsos), después de una mezcla antifaro y descartar la mitad del paquete (donde no esté la carta), se puede saber cuál será la posición de la carta en el paquete que me queda en la mano, con la sencilla fórmula:

Si N es par → $\frac{N}{2}$
Si N es impar → $\frac{N+1}{2}$

Veamos un ejemplo:

1) Coge una baraja y coloca, pongamos, el 5 de Trébol en la posición N = 31 (impar) (desde dorsos).

2) Realiza la mezcla antifaro con la primera carta hacia abajo.

3) Retira la mitad superior de la baraja (la que queda sobresaliendo después de la antifaro). Así, me quedo en la mano con la mitad de la baraja donde está el 5 de Trébol.

4) El 5 de Trébol habrá quedado en la posición $\frac{31+1}{2}=16$ del paquete que me queda en la mano. 

A tener en cuenta:

- En el ejemplo anterior se podría haber empezado la antifaro con la primera carta hacia arriba y retirar la mitad inferior de la baraja, pero este movimiento es mucho menos "natural", y siempre queda mejor retirar la mitad superior de la baraja.

- Es interesante destacar que esta "fórmula" no depende del número de cartas del paquete inicial, solamente de la posición inicial de la carta.

*     *     *

Quizás por sí misma esta "propiedad" no parezca muy interesante o aplicable, pero teniendo en cuenta que podemos repetir el proceso de "realizar antifaros y descartar la mitad" hasta que me quede una sola carta en la mano (la del espectador), se tiene una potente herramienta para realizar algún efecto (como mucho realizaré 6 antifaros y cada vez con menos cartas).

Para convenceros de la potencia de esto a la hora de elaborar efectos, observad el maravilloso juego "The Core" que Pit Hartling realiza utilizando lo anterior:

En cada paso que se hace, se tiene controlada la posición de la carta gracias a la fórmula anterior. Lo único que se debe vigilar es quedarnos siempre con el paquete que contiene la carta en cuestión.

Os pongo un pequeño ejemplo para que veáis de qué hablo:

Cojamos un paquete y pongamos el 2 de Corazones en posición N = 27 (impar).

1) Realizamos la 1ª antifaro empezando con la primera carta hacia atrás y descartamos la mitad superior del paquete. Entonces la carta quedará en la posición $\frac{27+1}{2}=14$ (par) del paquete que me queda.

2) La 2ª antifaro debo empezarla con la primera carta hacia delante (ya que ahora la carta está en una posición par). Retiro la mitad superior que sobresale y la carta quedará en posición $\frac{14}{2}=7$ (impar) del paquete que me queda.

3) La 3ª antifaro la empezaré con la primera carta hacia atrás (porque está en posición 7 = impar). Después de descartar la mitad superior, la carta quedará en posición $\frac{7+1}{2}=4$.

4) Siguiendo este procedimiento al final nos quedaremos con una sola carta en la mano: el 2 de corazones.

5) Esquemáticamente el proceso sería algo así:

Posición (inicial): 27 (impar → Antifaro empieza hacia atrás → Descarto la mitad superior)
Posición: 14 (par → Antifaro empieza hacia delante → Descarto la mitad superior)
Posición: 7 (impar → Antifaro empieza hacia atrás → Descarto la mitad superior)
Posición: 4 (par → Antifaro empieza hacia delante → Descarto la mitad superior)
Posición: 2 (par → Antifaro empieza hacia delante → Descarto la mitad superior)
Posición: 1 (impar → Antifaro empieza hacia atrás → Descarto la mitad superior)

NOTAS

- Lo único que necesitamos saber es en qué posición está la carta del espectador inicialmente. A partir de ahí las operaciones que hay que hacer son extraordinariamente fáciles, lo único que tenemos que recordar es en qué posición está la carta en cada paso.

- Este método tiene la ventaja extra de que en todo momento el mago sabe exactamente donde está la carta del espectador, por si se quiere resolver de cualquier otra manera (con deletreos, por ejemplo).

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

También se puede realizar el proceso anterior de "realizar antifaro y descartar la mitad" pasando la posición inicial de la carta a sistema binario y determinando qué potencias de 2 lo forman, para así decidir hacer las antifaros hacia atrás o hacia delante en cada paso según convenga. Así es como inicialmente lo aprendí, pero es realmente mucho más complicado.


Espero que lo disfrutéis y que lo utilicéis.

El genial Lennart Green nos enseñó una forma muy sencilla de mezclar a la americana una baraja de cartas, incluso para aquellos (espectadores) que no sepan. Se le conoce como "Rosette Shuffle" (Mezcla Roseta) y aquí os dejo una explicación muy gráfica de cómo sería:

Pero lo que quiero comentar hoy es qué pasa si se hace esta mezcla con tres montones en lugar de dos. Es decir, sería hacer esto:

Quiero hacer notar que en este caso, no es lo mismo esta mezcla Roseta, que mezclar dos paquetes a la americana y el resultado mezclarlo con el tercero.

Pues bien, Colm Mulcahy, en su fantástico blog Card Colm nos descubre una curiosa propiedad de esta mezcla, que es la siguiente:

Si el paquete inicial está ordenado en series de tres (por ejemplo Trébol, Pica, Corazón, Trébol, Pica, Corazón, Trébol, Pica, Corazón, Trébol, Pica, Corazón....y así) y al hacer los tres montones la carta top no es del mismo tipo en los tres (por ejemplo, no son tres Tréboles), entonces al mezclar al estilo "Roseta", si sacamos tríos de cartas, no habrá ningún trío con las tres cartas del mismo tipo (no habrá ni 3 Tréboles, ni 3 Picas, ni 3 Corazones).

Ocurre lo mismo si ordenamos en series de 4 cartas (por ejemplo, Pica, Corazón, Trébol, Diamante) y mezclamos en roseta 4 montones donde las cartas top no son todas del mismo tipo (palo). Si al final cogemos cartas de 4 en 4, no hay ningún grupo de 4 cartas con todas del mismo tipo (palo).

Esta curiosa propiedad se extrapola a series de cualquier cantidad de cartas, es decir:

"Si una baraja está ordenada en series de "s" cartas, se hacen "s" montones (sin que la carta de top sea del mismo tipo en todos) y se mezclan en roseta; entonces, si sacamos series de "s" cartas, en cada serie las cartas no serán todas del mismo tipo"

Los dos casos que he explicado anteriormente, son para s = 3 y s = 4.
Si ponemos  s = 2 y ordenamos las cartas en series de 2 cartas (por ejemplo Negra, Roja, Negra, Roja, etc...), al hacer 2 montones en los que las cartas top no sean del mismo color, la propiedad anterior nos dice que al sacar cartas de dos en dos, no habrá ningún par del mismo color (siempre habrá una de cada).....¿no os suena?...¡Exactamente, es el primer Principio de Gilbreath!

Quiero mostrar con esto, que esta propiedad, generaliza, en cierto modo, el primer principio de Gilbreath, y de ahí el título del post y mi interés por incluirlo en el blog.

El mismo Colm Mulcahy nos invita a echarle un vistazo a su reciente libro Mathematical Card Magic: Fifty-Two New Effects para más detalles y algún efecto basado en esta propiedad.

Espero que se despierte en vosotros (como en mi) el interés y penséis algún efecto aprovechando esta propiedad de la mezcla roseta, puede ser muy interesante. Y ahora....¡manos a la obra!

Esta cuenta fue descubierta por el físico y matemático Martin David Kruskal, pero fue Martin Gadner el que la difundió entre el mundo mágico, haciéndola aparecer en "Games Magazine" en un puzzle con las primeras frases de la "Declaración de independencia de los EEUU".

El puzzle lo tenéis aquí (en inglés, claro)

La cuenta se realiza de la siguiente forma:

1) Un espectador piensa un número entre 1 y 10.
2) El mago, con el paquete de cartas de dorso, va mostrando las cartas una a una al espectador.
3) El espectador se fija en la carta que ocupa la posición del número que pensó, y, a partir de ella, cuenta tantas cartas como indique su índice.
4) Llegará a otra carta, donde se procede de igual manera, se fija en el índice de la nueva carta y cuenta tantas cartas como indique éste.
5) Así se sigue hasta agotar el paquete de 52 cartas y no se puede seguir contando. El espectador ha llegado, al final, a una carta.
6) Independientemente del número inicial pensado, siempre se llega a la misma carta (con una probabilidad muy alta). 

Como idea os digo que si varios espectadores hicieran el proceso, acabarían en la misma carta o si previamente el mago ha hecho la cuenta, ya tendrá una predicción...

NOTA 1: El valor que se le da a las figuras para la cuenta es un factor clave en la probabilidad de esta cuenta. Cuanto menor sea ese valor, más probabilidad de acertar tendremos.
Algunos ejemplos son (para un paquete de 52 cartas y empezando a contar desde una de las diez primeras cartas):

J=11, Q=12, K=13 $\rightarrow$ La probabilidad es del 70% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K = 10  $\rightarrow$ La probabilidad es del 74% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =5  $\rightarrow$ La probabilidad es del 85% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =1  $\rightarrow$ La probabilidad es prácticamente del 100% de efectividad en la coincidencia

NOTA 2: Otra versión consistiría en deletrear cada carta en lugar de elegir su valor para contar (esto asciende la probabilidad de coincidencia al 95%)

NOTA 3: También influye el número de cartas del paquete. Es evidente que a más cartas, más probabilidad de coincidencia.

Para que compruebes esta cuenta, puedes hacer una prueba de la cuenta online en este enlace (a las figuras se les ha dado el valor 5):

http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal.html

El hecho es que es un lema probabilístico, es decir, no funciona absolutamente siempre, pero, como hemos visto, con alguna pequeña variación podemos conseguir una altísima probabilidad, e incluso llegar a que funcione siempre si utilizamos una baraja previamente preparada o mnemónica (como maravilloso ejemplo os remito al juego de Juan Tamariz, "Predicción a lo Kruskal", que aparece en su libro "Sinfonía en mnemónica mayor" pág. 93).

Buscando algún efecto mágico donde poder aplicar esta cuenta, me encontré con esta "joya" de David Copperfield que seguro que recordáis y disfrutaréis:

EXPLICACIÓN Y CONSIDERACIONES MATEMÁTICAS

El hecho fundamental radica en que, independientemente de la carta de partida, llegará un punto en el que se coincide en la misma carta, y a partir de ahí, ya siempre se coincide. Quizás con un dibujo se entienda mejor (aquí a las figuras se les ha dado el valor 1):



Como curiosidad  matemática, se tiene que la probabilidad de coincidencia se puede calcular (muy aproximadamente) con la fórmula:
$$P(coincidencia)=1-\left( \frac{x^2-1}{x^2} \right)^N$$
...donde
x = La media de los valores de las cartas que forman el paquete
N = Número de cartas que forman el paquete

Os pongo a continuación un vídeo donde se ejemplifica y se explica de forma muy didáctica esta curiosa cuenta:

Aquí os dejo con un estudio muy exhaustivo, matemáticamente hablando, de esta cuenta (está en inglés):

http://ijpam.eu/contents/2013-85-6/1/1.pdf

Más información, estudio, demostraciones y detalles varios en:

• http://www.singingbanana.com/Kruskal.pdf
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen.html
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen-ii.html
• http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/09/kruskal-con-mnemonicas-como-no.html?q=kruskal

La mezcla Alfa, mezcla Klondike o "milk shuffle" en inglés (que alguien me debería explicar el porqué de la traducción) es un tipo de mezcla matemático poco utilizada por magos en sus juegos. Muy poca información hay al respecto, que supongo deriva del poco interés que suscita en la comunidad mágica. De todas formas, he querido darle un poco de eco, por si en el futuro alguien descubre alguna aplicación interesante de la misma.


 Para los que no sepan en qué consiste, aquí la explicación:

1 - Con la baraja de dorso en la mano izquierda, se pelan la carta de arriba (top) y de abajo (bottom), para juntarlas y depositarlas en la mesa de dorso.

2 - Del resto de cartas, se vuelve a pelar la top y bottom, y se depositan juntas sobre las que ya están en la mesa, siempre de dorso.

3 - Se sigue el proceso hasta que no queda ninguna carta en la mano izquierda, y todas están sobre la mesa.

De un paquete (dorso arriba) de 10 cartas en orden (A,2,3,4,5,6,7,8,9,10), después de una mezcla alfa quedarían así: (5,6,4,7,3,8,2,9,A,10)
Se puede observar que no se puede considerar estrictamente una mezcla, ya que lo único que hacemos es reposicionar las cartas.

Cabe decir que el término "mezcla alfa" se utiliza para el hecho de pelar la top y bottom en una mezcla en las manos, para depositar toda el resto de baraja encima y seguir mezclando por arrastre normalmente. De esta manera, se mantiene la bottom y pasamos la top a bottom-2. En este sentido la nombra Juan Tamariz en su fantástico "Sinfonía en mnemónica mayor". Esta es la razón principal por la que he decidido hacerle un hueco a esta mezcla en este blog.

Persi Diaconis hace alguna indagación más sobre esta mezcla en su libro "Mathematics of perfect shuffles", y explica alguna conexión entre esta mezcla y la mezcla faro exterior (faro-out).
También Pedro Alegría la estudia en su libro "Magia por principios".

Quizás el hecho más remarcable es que esta mezcla Alfa y la mezcla Monge-down (situando la segunda carta debajo de la primera) son inversas. Quiere decir, que realizando una mezcla seguida de la otra se vuelve al orden inicial.

Os muestro aquí un vídeo con una aplicación realmente ingeniosa de esta mezcla para crear un efecto, que a primera vista resulta muy impactante:

Y aquí os dejo un efecto original de Karl Fulves, publicado en el blog de Pedro Alegría "Magia por principios":

Se necesitan nueve cartas de dorso azul y una carta de dorso rojo. Además, una de las cartas de dorso azul es roja, digamos el cinco de rombos. La carta de dorso rojo es negra, por ejemplo el tres de picas. El resto son cartas negras de puntos (no figuras).
Ordena estas diez cartas, caras abajo, con el 5R en la parte superior, seguido por las ocho cartas negras de dorso azul y debajo el 3P de dorso rojo. En una hoja de papel escribe la predicción: “Elegirás la única carta roja”. A continuación, procede como sigue.

1. Con el paquete caras arriba, deja sobre la mesa, una a una y contando en voz alta, las cinco cartas superiores, formando un montón. Gira caras abajo las cinco cartas restantes y las colocas en la mesa sobre las anteriores, también contando una a una invirtiendo así su orden. 

2. Recoge el paquete y realiza una mezcla Klondike. Recuerda: arrastras la carta superior y la inferior juntas y las dejas sobre la mesa, vuelves a repetir la operación con las nuevas cartas superior e inferior y las dejas sobre las anteriores, y así sucesivamente hasta que hayas repartido todas las cartas. De este modo, las dos cartas rojas (la de cara y la de dorso) están en los extremos del paquete. 

3. Recoge de nuevo las cartas de la mesa y pide a un espectador que elija un número entre 1 y 10. Supongamos que dice el cuatro: cuenta las tres cartas superiores y las dejas sobre la mesa, sin invertir su orden, formando un montón; coloca un clip en la cuarta carta y la dejas sobre las cartas de la mesa; deja el resto de cartas sobre las anteriores. 

4. Recoge otra vez las cartas de la mesa y reparte dos columnas de cinco cartas, alternativamente a la izquierda y a la derecha. Explica que la carta que tiene el clip nos indicará la carta seleccionada: será la que esté en su misma fila. Si dicha carta está cara arriba, vuelve cara abajo todas las demás para comprobar que es la única que tiene dorso rojo; si está cara abajo, vuelve cara arriba todas las demás para comprobar que es la única de valor rojo. 

5. Deja leer lo escrito en el papel para mostrar tu predicción.

En el mismo citado blog de Pedro Alegría, describe otro efecto que utiliza esta mezcla:
http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/01/deletreo-lo-klondike.html

Me encontré esta mezcla estudiando unos apuntes de Pedro Alegría, y me he llevado una grata sorpresa al profundizar en ella y ver sus propiedades. Esta mezcla fue estudiada por el matemático Gaspard Monge allá por 1773, pero realmente no conozco muchas aplicaciones en efectos de cartomagia.



La mezcla Monge consiste en lo siguiente:

1) Con el paquete de cartas en la mano izquierda, empujar la primera carta a la mano derecha.
2) La segunda carta del paquete de cartas de la mano izquierda, empujarla a la mano derecha para colocarla encima de la que ya tiene.
3) La tercera carta del paquete de la mano izquierda, se empuja y se coloca debajo de las cartas de la mano derecha.
4) La siguiente carta del paquete de la mano izquierda, se empuja y se coloca encima de las cartas de la mano derecha.
5) Así se sigue el proceso, alternando "encima y debajo" hasta acabar con todo el paquete de cartas de la mano izquierda.

Como una imagen vale más que mil palabras, aquí tenéis un vídeo demostrativo:

Como veis, es bien sencillo de realizar, y muy engañosa para el espectador.
Esta mezcla es ideal para pocas cartas (menos de 20), ya que con más, se hace muy pesada.

Pero pasemos a sus propiedades, que es lo interesante.

(1) Lo primero que miraremos es ¿cuántas mezclas deben hacerse para restaurar el orden inicial de las cartas? En el siguiente cuadro se muestra:

Núm. de cartas	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	26	32	52
Núm. mezclas	2	3	6	4	6	10	14	5	18	10	26	6	12

En la tabla solamente aparecen los resultados para un número par de cartas del paquete, y eso es por la siguiente propiedad:

(2) Sea "n" = número de cartas que contiene el paquete que se quiere mezclar

Si "n" es impar, la mezcla Monge deja la carta de abajo (bottom) en su lugar. Esto indica que para estudiar la mezcla, podemos prescindir de la carta de abajo y la mismas propiedades que tiene para un número par de cartas, servirán para un número impar.
Es decir, si tenemos un paquete de 9 cartas, necesitamos mezclar 4 veces para volver al orden inicial (igual que si tuviéramos 8 cartas, ya que la bottom no se mueve), y así con cualquier número impar de cartas.

(3) Otras propiedades interesantes son las siguientes ("n" par):

- La carta de abajo (bottom) pasa a arriba (top).
- La carta de arriba (top) pasa a la posición "la mitad más uno".
- La penúltima carta (bottom-2) pasa a abajo (bottom).
Esquemáticamente sería:
$$n \rightarrow 1 \\
1 \rightarrow \frac{n}{2}+1 \\
n-1 \rightarrow n$$

En general, se puede demostrar que para un número par de cartas, la mezcla Monge mueve las cartas de la siguiente manera:
$$ x_{0}=posición \ inicial \ de \ la \ carta \\ x_{1}=posición \ final \ de \ la \ carta $$
entonces
$$x_{1}=\frac{n+x_{0}+1}{2} \ Si \ x_{0}=par \\
x_{1}=\frac{n-x_{0}+2}{2} \ Si \ x_{0}=impar$$

Esto nos confirma, que la mezcla Monge, no mezcla las cartas al azar, sino que las cambia de lugar siguiendo un patrón (en matemáticas se llama "permutación").

¡Y ahora viene lo más interesante! En el siguiente cuadro se muestra información sobre la mezcla Monge de pocas cartas:

NÚM. CARTAS	PERIODO	MOVIMIENTO DE LAS CARTAS	CARTA QUE  NO SE MUEVE
2	2	(1 2)	-
3	2	(1 2)	3
4	3	(1 3 4)	2
5	3	(1 3 4)	2, 5
6	6	(1 4 2 3 5 6)	-
7	6	(1 4 2 3 5 6)	7
8	4	(1 5 7 8) (2 4 3 6)	-
9	4	(1 5 7 8) (2 4 3 6)	9
10	6	(1 6 3 7 9 10) (2 5 8)	4
11	6	(1 6 3 7 9 10) (2 5 8)	4, 11
12	10	(1 7 10 2 6 4 5 9 11 12) (3 8)	-
13	10	(1 7 10 2 6 4 5 9 11 12) (3 8)	13

"PERIODO" es el número de mezclas que devuelven el orden inicial del paquete de cartas.

"CARTA QUE NO SE MUEVE" son las cartas que no mueven su posición tras realizar la mezcla Monge.

"MOVIMIENTO DE LAS CARTAS" explica cómo varían su posición las cartas tras realizar la mezcla, y se lee de la siguiente forma:

Para un paquete de 10 cartas,

(1 6 3 7 9 10) nos indica que la carta en la posición 1 pasa a la 6, la 6 a la 3, la 3 a la 7, la 7 a la 9, la 9 a la 10 y la 10 a la 1.

(2 5 8) nos indica que la carta en la posición 2 pasa a la 5, la 5 a la 8 y la 8 a la 2.

La carta número 4 no se mueve.

Es decir, en este caso las cartas 2,5,8 sólo se "mezclan" entre sí y no con las otras.

Esta fantástica propiedad de la mezcla, permite tener "controladas" algunas cartas, con lo que se puede montar efectos muy buenos, como, por ejemplo, el siguiente:

1) De un paquete de 10 cartas, colocar primero en las posiciones 2, 4, 5 y 8 (desde los dorsos), cuatro cartas rojas y las seis restantes de color negro.
2) Realizar la mezcla Monge tantas veces como se desee, incluso, dejar que el espectador lo haga.
3) Con el paquetito de dorso en manos del espectador, anuncia que vas a tratar de adivinar el color de cada carta antes de que el espectador la muestre. Dado que sigue siendo cierto que la segunda, la cuarta, quinta y octava son rojas, puedes adivinar la carta antes que el espectador la voltee encima de la mesa. Es divertido dejar que el espectador intente adivinar también, ya que al fallar se demuestra la dificultad de las predicciones.
Este efecto mejora mucho si las cuatro cartas rojas utilizadas corresponden a figuras y se le añade una historia adecuada.

Espero que con este pequeño efecto y las propiedades de esta fantástica mezcla, tengáis un instrumento más para montar vuestros juegos.

Aquí os dejo algunos juegos más:

http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/01/mezcla-el-monje-o-monge.html

...y un efecto de Aldo Colombini donde utiliza esta mezcla:
http://www.youtube.com/watch?v=VBKRJfGK0Do

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

El matemático belga Maurice Kraitchik, demostró que para un paquete de "2p" cartas, se puede establecer una fórmula que determine la posición final de una carta, después de realizar "m" mezclas Monge. Es la siguiente:

$$x_{0}=posición \ inicial \ de \ la \ carta \\ x_{m}=posición \ final \ de \ la \ carta \ después \ de \ "m" \ mezclas$$

$$ 2^{m+1}·x_{m}=(4p+1)·[2^{m-1}+(-1)^{m-1}·(2^{m-2}+ \ldots +2+1)]+ \\ (-1)^{m-1}·2·x_{0}+2^{m}+(-1)^{m-1}$$

Si queréis profundizar más (matemáticamente) en esta mezcla, os recomiendo los siguientes enlaces:

http://documat.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=4210390 (a partir de la pág. 8 del texto)

"The matematics of perfect shuffles" (Persi Diaconis, JL. Graham and W. Kantor)

Mucho ya se ha escrito y estudiado sobre la cuenta Australiana ("Down Under Deal" en inglés). Para los más despistados, recordar que la mezcla australiana consiste en, de un mazo de cartas, coger la primera carta y ponerla debajo, la segunda a la mesa, la tercera debajo, la cuarta a la mesa, y así sucesivamente hasta que se quede una en la mano. La pregunta a continuación es obvia: "¿Se puede saber qué carta me quedará en la mano?". La respuesta es que SÍ y depende del número de cartas que tenga el mazo inicial.

De esta manera, saber con antelación qué carta quedará en la mano nos proporciona una fuerte herramienta para nuestros juegos y rutinas de magia.

A continuación os pongo una tabla con la carta que queda en mano tras la mezcla dependiendo del número de cartas del mazo inicial:

n= número de cartas mazo inicial    J(n)= carta que te queda en mano

Lo primero que se observa es que si el número de cartas es una potencia de 2, entonces siempre me quedo al final con la primera carta (la de "top").

A partir de aquí, se puede deducir una fórmula matemática para calcular rápidamente la carta que me quedará en mano:

Si $$NúmCartas=2^m+k \rightarrow CartaEnMano=2k+1$$

Pero con un ejemplo siempre va mejor...

Si nuestro mazo de cartas tiene 19 cartas, entonces

$$NúmCartas=19=16+3=2^4+3 \rightarrow CartaEnMano=2·3+1=7$$
Si esta fórmula resulta muy compleja, se puede utilizar una regla mnemotécnica un poco más sencilla (versión improntu de la fórmula):

Del número de cartas del mazo, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble y sumar 1, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble más uno = 2·3+1=7

OBSERVACIÓN: También puede empezarse esta cuenta con la primera carta en la mesa, la segunda debajo, la tercera en la mesa, etc, es decir, a la inversa de lo anteriormente explicado. Esta cuenta se le denomina "Under Down Deal".
La fórmula que permite calcular la carta que queda al final del proceso es exactamente igual, pero sin sumar "1". Por ejemplo, si tengo 19 cartas, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble = 2·3=6

Por lo tanto si hacemos la cuenta a la inversa, en el cuadro resumen anterior, la carta que queda en la mano -J(n)- se obtiene restando "1", salvo en las potencias de dos, que quedará la "bottom" en lugar de la "top". Por ejemplo, para n = 14, será J(n) = 12, y para n = 16, J(n) = 16

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Muchos juegos han sido creados a partir de esta mezcla por grandes magos. A modo de ejemplo os traigo un juego ideado por el gran Alex Emsley de la mano del fantástico Gustavo Otero:

Aquí tenéis otro juego ideado por Roberto Giobbi: Juego de Einstein
...y aquí un estupendo estudio y generalización del juego anterior: Destejiendo el Juego de Einstein

APÉNDICES PARA MATEMÁTICOS:

1) Hay otra forma de encontrar "rápidamente" la carta que me queda en la mano al final de la cuenta, utilizando el sistema binario (descubierto por Mel Stover). Es así:

Si el número de cartas del paquete es, por ejemplo, 26, en sistema binario sería, 11010. Pues bien, si cogemos el primer 1 y lo colocamos al final, quedaría 10101, que es el número 21...¡justo la carta que nos quedará en la mano!

Con lo cual, para saber qué carta queda en la mano, debemos poner el número de cartas en sistema binario, coger el primer 1, colocarlo al final, y volver a transformar el número a sistema decimal para descubrir qué carta es la que me queda en la mano. ¡Realmente Magnífico!

2) Esta mezcla es conocida por la comunidad matemática como el "Problema de Josefo":

Resolución para N=12

Flavio Josefo fue un historiador judío que vivió en el siglo I. Según cuenta Josefo, él y cuarenta soldados camaradas fueron capturados por los romanos después de la caída de Jotapata. Antes que rendirse, decidieron acabar ellos mismos con sus vidas. Para hacerlo, se dispusieron en un círculo y acordaron que irían contando de tres en tres, de forma que cada tercer soldado sería ejecutado por la persona de su izquierda. El último hombre que quedara con vida tendría que suicidarse. Según cuenta la leyenda, Josefo calculó rápidamente cuál sería la posición del último hombre en morir para colocarse allí, y una vez hubieron muerto sus compatriotas, se entregó a los romanos.

Si queréis algún detalle más de esta leyenda tan matemática, aquí os dejo un artículo divulgativo de Clara Grima al respecto: AQUÍ

Simuladores del problema:
1: http://www.cut-the-knot.org/recurrence/flavius.shtml
2: http://webspace.ship.edu/deensley/mathdl/Joseph.html

La generalización y explicaciones matemáticas las podéis encontrar:
1) A partir de la pág. 6 de este texto fantástico de Carlos Vinuesa: AQUÍ
2) En este artículo de Pedro Alegría: AQUÍ