La cuenta Australiana (Down Under Deal)

Mucho ya se ha escrito y estudiado sobre la cuenta Australiana ("Down Under Deal" en inglés). Para los más despistados, recordar que la mezcla australiana consiste en, de un mazo de cartas, coger la primera carta y ponerla debajo, la segunda a la mesa, la tercera debajo, la cuarta a la mesa, y así sucesivamente hasta que se quede una en la mano. La pregunta a continuación es obvia: "¿Se puede saber qué carta me quedará en la mano?". La respuesta es que SÍ y depende del número de cartas que tenga el mazo inicial.

De esta manera, saber con antelación qué carta quedará en la mano nos proporciona una fuerte herramienta para nuestros juegos y rutinas de magia.

A continuación os pongo una tabla con la carta que queda en mano tras la mezcla dependiendo del número de cartas del mazo inicial:

n= número de cartas mazo inicial    J(n)= carta que te queda en mano

Lo primero que se observa es que si el número de cartas es una potencia de 2, entonces siempre me quedo al final con la primera carta (la de "top").

A partir de aquí, se puede deducir una fórmula matemática para calcular rápidamente la carta que me quedará en mano:

Si $$NúmCartas=2^m+k \rightarrow CartaEnMano=2k+1$$

Pero con un ejemplo siempre va mejor...

Si nuestro mazo de cartas tiene 19 cartas, entonces

$$NúmCartas=19=16+3=2^4+3 \rightarrow CartaEnMano=2·3+1=7$$
Si esta fórmula resulta muy compleja, se puede utilizar una regla mnemotécnica un poco más sencilla (versión improntu de la fórmula):

Del número de cartas del mazo, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble y sumar 1, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble más uno = 2·3+1=7

OBSERVACIÓN: También puede empezarse esta cuenta con la primera carta en la mesa, la segunda debajo, la tercera en la mesa, etc, es decir, a la inversa de lo anteriormente explicado. Esta cuenta se le denomina "Under Down Deal".
La fórmula que permite calcular la carta que queda al final del proceso es exactamente igual, pero sin sumar "1". Por ejemplo, si tengo 19 cartas, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble = 2·3=6

Por lo tanto si hacemos la cuenta a la inversa, en el cuadro resumen anterior, la carta que queda en la mano -J(n)- se obtiene restando "1", salvo en las potencias de dos, que quedará la "bottom" en lugar de la "top". Por ejemplo, para n = 14, será J(n) = 12, y para n = 16, J(n) = 16

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Muchos juegos han sido creados a partir de esta mezcla por grandes magos. A modo de ejemplo os traigo un juego ideado por el gran Alex Emsley de la mano del fantástico Gustavo Otero:

Aquí tenéis otro juego ideado por Roberto Giobbi: Juego de Einstein
...y aquí un estupendo estudio y generalización del juego anterior: Destejiendo el Juego de Einstein

APÉNDICES PARA MATEMÁTICOS:

1) Hay otra forma de encontrar "rápidamente" la carta que me queda en la mano al final de la cuenta, utilizando el sistema binario (descubierto por Mel Stover). Es así:

Si el número de cartas del paquete es, por ejemplo, 26, en sistema binario sería, 11010. Pues bien, si cogemos el primer 1 y lo colocamos al final, quedaría 10101, que es el número 21...¡justo la carta que nos quedará en la mano!

Con lo cual, para saber qué carta queda en la mano, debemos poner el número de cartas en sistema binario, coger el primer 1, colocarlo al final, y volver a transformar el número a sistema decimal para descubrir qué carta es la que me queda en la mano. ¡Realmente Magnífico!

2) Esta mezcla es conocida por la comunidad matemática como el "Problema de Josefo":

Resolución para N=12

Flavio Josefo fue un historiador judío que vivió en el siglo I. Según cuenta Josefo, él y cuarenta soldados camaradas fueron capturados por los romanos después de la caída de Jotapata. Antes que rendirse, decidieron acabar ellos mismos con sus vidas. Para hacerlo, se dispusieron en un círculo y acordaron que irían contando de tres en tres, de forma que cada tercer soldado sería ejecutado por la persona de su izquierda. El último hombre que quedara con vida tendría que suicidarse. Según cuenta la leyenda, Josefo calculó rápidamente cuál sería la posición del último hombre en morir para colocarse allí, y una vez hubieron muerto sus compatriotas, se entregó a los romanos.

Si queréis algún detalle más de esta leyenda tan matemática, aquí os dejo un artículo divulgativo de Clara Grima al respecto: AQUÍ

Simuladores del problema:
1: http://www.cut-the-knot.org/recurrence/flavius.shtml
2: http://webspace.ship.edu/deensley/mathdl/Joseph.html

La generalización y explicaciones matemáticas las podéis encontrar:
1) A partir de la pág. 6 de este texto fantástico de Carlos Vinuesa: AQUÍ
2) En este artículo de Pedro Alegría: AQUÍ