Me encanta la sencillez, aunque "no hay que confundir la sencillez con la simpleza" como dijo el gran René Lavand. Me gustan los principios matemáticos que son muy sencillos (pero sumamente versátiles) lo que permite producir efectos con un gran impacto mágico. Realmente los principios más sencillos son los que más fácilmente se pueden aplicar y por ello mucho más útiles a nivel mágico.

El que os traigo es ampliamente utilizado por magos de manera implícita, pero que no he visto anteriormente enunciado como principio, así que me he permitido la libertad de generalizarlo y ponerle nombre: "Principio de la distancia fija".

Coge una baraja y realiza lo siguiente:

1) Haz dos montones (de dorso) con el mismo número de cartas en cada uno (supongamos 12 cartas cada uno). Mézclalos bien.

2) Dale la vuelta a la última carta de cada montón (la bottom) y coloca uno sobre el otro. Ahora debes tener un tan sólo un paquete de 24 cartas con dos cartas vueltas.

3) Corta y recompón las veces que quieras.

4) Ahora corta el paquete por el medio para hacer de nuevo en dos montones de 12 cartas, pero SIN intercambiar el orden de las cartas.

5) Pues bien, las cartas vueltas están las dos en la misma posición (desde top) en sus respectivos montones. Por ejemplo, si en un montón la carta vuelta está en la posición 5 desde top, la otra carta vuelta del otro montón también estará en la posición 5 desde top.

Simple y obvio, ¿verdad? 

El ejemplo anterior está extraído de un juego del genial Karl Fulves llamado "Child's play", donde son dos cartas elegidas por dos espectadores y sólo una de ellas se pone vuelta. La otra se descubre al final del efecto en la misma posición que la que está vuelta.

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Como he dicho anteriormente, he generalizado la propiedad anterior y así ha surgido el siguiente principio.

PRINCIPIO DE LA DISTANCIA FIJA

En un paquete de "2N" cartas, si dos cartas están a distancia "N" una de la otra, al separar en paquete en dos montones iguales (de "N" cartas) sin intercambiar el orden, las cartas quedan en la misma posición (altura) en sus respectivos paquetes.

En el ejemplo anterior se han colocado dos cartas a distancia 12 (=N) en un paquete de 24 (=2N) cartas

NOTA 1: Una vez situadas las cartas a la distancia requerida (N), y debido a que el paquete tiene el doble de cartas (2N), se puede cortar y recomponer las veces que se quiera, ya que la distancia entre las cartas siempre se mantiene fija (de ahí el nombre que le he dado al principio).

NOTA 2: Creo que lo más importante es pensar la forma de colocar las cartas a la distancia requerida de una manera disimulada o poco obvia para el espectador.

Para que veáis la potencia de esta propiedad, os dejo un efecto clásico donde se utiliza de una manera magistral (aquí se utiliza el principio con toda la baraja, $2N=52$ cartas, y se colocan las dos cartas a distancia $N=26$):

Y aquí os dejo un pequeño efecto de creación propia donde utilizo el principio anterior (con $2N=32$ cartas y se colocan las dos cartas a distancia $N=16$) y el principio de la "Mezcla Antifaro" en la revelación de las dos cartas:

Hay un pequeño efecto que le tengo especial cariño porque lo llevo presentando en mis charlas hace ya mucho tiempo y lo he utilizado también como recurso didáctico para explicar el concepto matemático que lo hace posible. Quiero compartirlo con vosotros, así como su generalización para ver si os puede servir de utilidad.

Aquí os dejo un par de vídeos con dos versiones del mismo juego, una con 9 cartas (realizado por mi) y otra con 7 cartas (de Fernando Blasco) para qué veáis en qué consiste, y después os explico los detalles y las consideraciones matemáticas del mismo:


      

Bien, es un juego totalmente automático y se basa simplemente en estos principios:

Principio de la potencia I:

Si tenemos $m^k + 1$ cartas y hacemos la acción de [ repartirlas una a una en "$m$" montones sobre la mesa de izquierda a derecha y recoger de izquierda a derecha ]  "$k$" veces, entonces:

- Si $k$ es par , las cartas quedarán en orden, pero invertidas respecto al orden inicial.
- Si $k$ es impar, entonces las cartas quedarán exactamente en el mismo orden inicial.
(salvo, a lo sumo, un corte).

Principio de la potencia II:

Si tenemos $m^k - 1$ cartas y hacemos la acción de [ repartirlas una a una en "$m$" montones sobre la mesa de izquierda a derecha y recoger de derecha a izquierda ]  "$k$" veces, entonces:

- Si $k$ es par , entonces las cartas quedarán exactamente en el mismo orden inicial.
- Si $k$ es impar, las cartas quedarán en orden, pero invertidas respecto al orden inicial.
(salvo, a lo sumo, un corte).

NOTA 1: Antes de cada repartición, se puede realizar los cortes que se quiera al paquetito de cartas, pues esto no las desordena.

NOTA 2: Si $m=2$, se puede repartir y recoger los dos montones en el orden que se quiera (de izquierda a derecha o viceversa); no así en otros casos.

NOTA 3: El paquete inicial de cartas quedará al final con un corte que habrá que deshacer para volver al orden original.

Me gustaría con este breve post enseñaros de qué forma un sencillo concepto matemático se puede utilizar muy inteligentemente para crear verdaderos efectos de magia.

En este caso, he seleccionado tres efectos a modo de ejemplo que utilizan el concepto de Simetría.

1 - "WRONG WAY"

No os digo nada... Mirad el vídeo con el efecto. ¿Mágico verdad?

Creo que el efecto es tan sencillo como potente. Simplemente hay un cuadrado con una flecha a cada lado de esta manera:

La clave del efecto reside en cómo se gira el cuadrado. Resulta que el cuadrado tiene 3 ejes de simetría:

...y dependiendo cuál de ellos se elije para girar el cuadrado, la flecha del reverso apuntará hacia un lado u otro. No tiene más. Os dejo que los pequeños detalles de la ejecución los deduzcáis vosotros. Brillante, ¿verdad?

Pedro Alegría en su "Rincón matemágico" de Divulgamat tiene una entrada donde explica con detalle la historia de este juego, así como otras versiones con otras figuras geométricas: AQUÍ

2 - "The Math Salute"

El genial y creativo matemático James Tanton ha popularizado un saludo muy especial que tiene mucho de mágico. Solamente se necesitan las manos para poder realizarlo:

¿Os dije que era genial?
El hecho por el cual el espectador es incapaz de detectar el verdadero giro de las manos es porque siempre tendemos a girarlas de manera simétrica, es decir, de forma natural giraremos una mano hacia la izquierda y la otra hacia la derecha, lo que provoca que no podamos deshacernos del "nudo" (como se explica en el vídeo). Para poder "desligarse" se debe girar ambas manos en el mismo sentido (parece fácil, pero os aseguro que no lo es porque es anti-intuitivo). Y es que la simetría es una característica innata a los seres humanos, y la magia también se puede aprovechar de ello.

Tengo que decir que muchas veces lo tomo prestado como introducción a mis charlas y lo hago conjuntamente con todo el público, y la verdad es que funciona muy bien.


3 - "Dos mejor que una"

El original de este juego, lo leí en el libro "Self-working card tricks (1976)" del gran Karl Fulves bajo el título de "Deuces wild". Os cuento mi propia versión:

1ª FASE:

 - Elige 4 cartas de la baraja de póker que NO sean simétricas (no hay muchas). Por ejemplo, los cuatro 7.

- Colócalos todos en la misma dirección:

Todos tienen el símbolo del centro "hacia arriba"

- Ahora mezcla de dorso y da a elegir uno de ellos al espectador. Mientras mira y memoriza su carta, aprovecha para girar 180º el paquetito con los otros tres sietes .

- Dile al espectador que devuelva su carta y mezcle las cuatro cartas. Recoge el paquetito, ábrelo frente a ti y la única carta que esté en dirección contraria será la del espectador (por ejemplo, el 7C):

Observa cómo el 7C está apuntado en otro sentido

2ª FASE:

Acto seguido repite el efecto de nuevo desde la posición que quedaron las cartas en la fase anterior, exactamente igual. Ahora, cuando el espectador devuelva su carta, tendrás dos cartas giradas: la de la primera fase, y otra que será la que esta vez eligió el espectador (por ejemplo, el 7T).

7C (la de la 1ª FASE) y 7T están giradas

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NOTA 1: Cabe la posibilidad que en la 2ª FASE te encuentres con que no hay ninguna carta girada y están todas en la misma dirección. Eso querría decir que el espectador cogió la misma carta en las dos fases (y entonces se ha girado dos veces).

NOTA 2: Se podría realizar este efecto con más cartas o con todas las cartas NO simétricas de la baraja de póker, pero mi experiencia me dice que, sorprendentemente, el efecto no mejora y es más impactante con solo las cuatro cartas.

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A veces hay una tendencia con ciertos efectos a desecharlos debido a que pensamos que son demasiado simples o evidentes, pero muchas veces pueden resultar muy buenos si se presentan bien. Aunque estos efectos os parezcan "demasiado" sencillos (ya que así es su explicación), creedme si os digo que tienen un gran impacto para el espectador.

Estoy seguro que con imaginación y creatividad se puede aprovechar estas ideas para crear verdaderos milagros. Ya me diréis.

Después de una de mis charlas, al final de la actuación, se me acercó un profesor de entre el público y me hizo un pequeño efecto de magia basado en matemáticas. Me sorprendió muy gratamente ya que lo desconocía por completo.

Lo he querido incluir aquí en el blog, no ya por su impacto mágico (que es cuanto menos curioso), sino por basarse en un concepto matemático, a priori, lejos de la magia, lo que puede alejar el efecto de su verdadera explicación y producir una buena dosis de sorpresa.


Tan sólo necesitas papel y un bolígrafo para poder presentarlo.

Dile a un espectador que realice lo siguiente, en secreto, si enseñarte nada (es importante que entienda y siga muy bien las instrucciones):

1) Que dibuje (sin separar el lápiz del papel) una curva cualquiera cerrada y que se corte a sí misma las veces que quiera. Por ejemplo, algo así:

2) Que etiquete los puntos de corte como quiera. Así:

3)  Que elija un punto cualquiera (por ejemplo, el "A"), una dirección cualquiera, y vaya avanzando hasta recorrer toda la curva y volver al punto de partida, anotando los puntos por los que pasa:

En el ejemplo, la secuencia de letras por donde se pasa es la siguiente:

ABFEDACFEDBC

4) Ahora dile que elija un par de letras adyacentes (es decir, que estén juntas) y las intercambie. Por ejemplo, que coja el par "DB" y le dé la vuelta, resultando "BD". 

5)  Hasta aquí el espectador lo ha hecho todo en secreto. Por último, dile que te enseñe la secuencia de letras que le ha quedado. En nuestro ejemplo quedaría:

ABFEDACFEBDC

6) Sin más información que esa, anuncia que serás capaz de adivinar qué dos letras ha intercambiado. Para ello realiza (en secreto) lo siguiente:

Separa la secuencia de letras en dos sub-secuencias, separando las posiciones impares de las pares, de esta forma:

- Letras en posiciones Impares:    A_F_D_C_E_D_

- Letras en posiciones Pares:         _B_E_A_F_B_C

Pues resulta que las únicas letras que se repiten en cada sub-secuencia, son exactamente las que intercambió el espectador. En nuestro ejemplo, la D y la B. ¿No es sorprendente?

NOTA 1: Es muy importante que el espectador no se equivoque en la secuencia, así que es deseable comentarle que se asegure que lo hace bien y que entiende las instrucciones ya que tú no puedes controlar lo que va haciendo. Quizás poner un pequeño ejemplo como explicación de lo que debe hacer sea buena idea.

NOTA 2: El espectador debe seguir la curva tal cual se dibujó, sin cambios "extraños" de direcciones.

NOTA 3: En el caso en que la curva dibujada haya un "bucle" en un punto, cuando el espectador recorra la curva aparecerá dos veces la misma letra, por ejemplo, ...DD... (que corresponde al punto donde esté el bucle). Y en el caso extremo que el espectador decida "intercambiar" esa pareja, evidentemente no aparecería repetida en las sub-secuencias, que sería la pista definitiva para adivinar que ha intercambiado la misma letra y que además hay un bucle... y tendríamos una ¡doble adivinación!

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Tengo que decir que gracias a un lector he podido encontrar la fuente para esta propiedad y resulta que no me sorprende que sea el gran Martin Gardner (quién si no) en su libro "New mathematical diversions". Así pues, creo que con una buena presentación se puede tener un efecto de mentalismo muy original y bastante desconocido, que puede llegar a ser muy desconcertante.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

En cualquier curva cerrada que se dibuje, si os fijáis, los puntos de intersección tienen dos líneas de entrada y dos de salida (se dice que tienen grado 4). Así pues al recorrer toda la curva, siempre se pasará por cada punto exactamente 2 veces.

Lo curioso (y lo que hace que el efecto funcione) es que siempre se pasa por los puntos en paridad diferente. Es decir, si por un punto se pasa en posición par, la siguiente vez que se pase por él será en posición impar o viceversa.

Tomando el ejemplo anterior, por el punto "F" se pasa en 3er lugar (impar), y depués en 8º lugar (par). Sus posiciones tienen diferente paridad. Y esto ocurre con todos los puntos (letras).

Con lo cual, en la secuencia inicial, separando las posiciones pares e impares de las letras, nunca se repetirá ninguna y aparecerán todas las letras en las dos sub-secuencias una sola vez:

ABFEDACFEDBC

Letras en posiciones Impares:    A_F_D_C_E_B_

Letras en posiciones Pares:         _B_E_A_F_D_C

De esta manera, cuando el espectador intercambie dos letras adyacentes, éstas serán las únicas que se repetirán en cada sub-secuencia.

Tan sencillo como genial, ¿no os parece?

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

Realmente en el efecto, lo que le pedimos al espectador, es que dibuje un "ciclo euleriano" en la curva, es decir, recorrer todo el dibujo sin pasar dos veces por el mismo sitio y sin separar el lápiz del papel. Y gracias a como está dibujado, siempre se puede realizar. Supongo que todos recordáis algún pasatiempo de este tipo, ¿verdad?

Si miramos una curva cerrada como un grafo, entonces sería un grafo cerrado, conexo y plano 4-regular (cada vértice tiene grado 4, es decir, 4 aristas), y para este grafo, se cumpliría la Fórmula de Euler:

Regiones + Intersecciones - Segmentos  = 2

En nuestro ejemplo tenemos:

Regiones (azul) = 8
Intersecciones (rojo) = 6
Segmentos (verde) = 12


...que también es un poco mágico, ¿no?

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P.D.: Quiero dedicar este post al profesor Antonio José, professor del Instituto Montserrat Miró de Montcada i Reixac en Barcelona, el cual me enseño este efecto, y agradecer públicamente su generosidad. Espero que lo valoréis y lo podáis disfrutar tanto como yo.

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Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima octava edición, también denominada 11.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Juego original Rough&Ready

Todo surgió a raíz de una consulta que me hicieron sobre el tapete de la imagen que tenéis aquí.
Alguien me dijo que era un efecto llamado "Rough and Ready" de un mago llamado Dick Zimmerman y que era un juego matemático.
Me puse a investigar un poco y a partir de las instrucciones del juego original, pude deducir su funcionamiento y explicación.

A continuación lo modifiqué y generalicé basándome en una idea que había visto de mis amigos de Divermates.

Me pareció interesante el concepto matemático que subyace, ya que no había aparecido en este blog con antelación, y sobre todo, me pareció muy original la forma de utilizar ese concepto para elaborar un efecto de magia. De ahí que os lo traiga en este post.

Ok, sin más realiza lo siguiente:

1 - Saca las siguientes ocho cartas de la baraja:

3P, 6P, AC, 4C, AT, 5T, 2D, 4D

2 - Pon las cartas de dorso y mezcla bien. Elige una o dos cartas cualesquiera de entre esas ocho cartas (sin mirarla/s) y déjalas a parte.  

3 - Ahora, con el dedo, sitúate en el "ORIGEN" de la siguiente cuadrícula:
4 - De las cartas no elegidas, toma una, dale la vuelta y muévete en la cuadrícula en la dirección del palo de la carta y tantos cuadraditos como indica su índice (por ejemplo, si la carta es el 4C, irás hacia abajo cuatro cuadraditos).  

5 - A continuación, y desde el cuadradito en el que estás, toma otra carta y vuelve a hacer lo mismo.  

6 - Debes ir girando todas las cartas y moviéndote por la cuadrícula.  

7 - Al finalizar habrás acabado en un cuadradito. Mira qué carta/s aparecen en él...exactamente las que elegiste al inicio!

NOTA 1: El espectador en cualquier momento puede decidir si quiere cambiar alguna carta de las que eligió, por alguna de las que le quedan todavía en el paquetito, lo que mejora y potencia muchísimo la predicción final.

NOTA 2: Creo que es importante para la predicción final que las cartas estén en todo momento de dorso, ya que el final, cuando se desvelan las cartas que aparecen en la cuadrícula, el final ya es intuido por el espectador y produce un momento "me la corto" (Tamariz dixit).

NOTA 3: En el juego original de Zimmerman (que es ligeramente diferente), también se hacía con 8 cartas, pero el espectador debía elegir dos cartas de diferente color para que funcionara el juego y se debía hacer con las cartas vistas en todo momento. Esta extensión que yo os ofrezco, creo sinceramente que mejora el efecto original ya que permite la libre elección del espectador y que éste cambie su predicción en cualquier momento.

Estudiantes de la Facultad de Matemáticas de la UB (Universitat de Barcelona) han creado este applet en Geogebra donde se puede hacer el efecto virtualmente:

https://www.geogebra.org/m/qrsqfsjj

Este efecto es un poco diferente a los que venía presentando y es por eso que quería traerlo al blog para ponerlo en vuestro conocimiento. Estoy convencido que con una buena presentación se le puede sacar mucho partido.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

El efecto se basa en mirar las cartas como vectores o números complejos, ya que se utilizan para moverse en una cuadrícula, que no es otra cosa que un sistema de coordenadas.

De esta manera, si miramos la cuadrícula como un sistema de coordenadas donde el "ORIGEN" es el (0,0), las cartas serán los vectores (o números complejos):

Ahora bien, en total tengo 36 posibilidades de elección de una o dos cartas (dejo al lector que piense esto por sí solo), con lo cual lo que hago es coger cada posibilidad y situarla en las coordenadas que resulten de sumar las otras cartas.

Con un ejemplo se entiende mejor:

Pongamos que el espectador elige el 3P y el AC, la suma (vectorial) de las otras cartas será:

$$\vec{5T}+\vec{6P}+\vec{AT}+\vec{4D}+\vec{4C}+\vec{2D}=$$

$$=(5,0)+(-6,0)+(1,0)+(0,4)+(0,-4)+(0,2)=(0,2)$$

(en números complejos sería: $5-6+1+4i-4i+2i=2i$)

Y eso me dice que el 3P y el AC, deben estar en las coordenadas (0,2); que si miras en la cuadrícula es exactamente donde están situadas. Y gracias a la propiedad commutativa de la suma de vectores (o números complejos), independientemente del orden de la suma, siempre se irá a parar al mismo lugar.

Pues lo mismo hago con todas las posibilidades. No hace falta decir que el resto de cuadraditos los relleno con cartas cualesquiera porque nunca se llegará a ellos.

GENERALIZACIÓN

Seguro que la pregunta que os estáis haciendo es si este grupo de cartas es el único con el que se puede hacer el efecto. 

No, pero lo único que debemos asegurar es que todas las posibilidades de elección, al hacer la suma del resto de cartas, nos dan todos resultados diferentes (en mi caso las 36 sumas dan diferente resultado).

Teniendo esto en cuenta, podéis buscar otros conjunto de cartas (no necesariamente de 8) para producir vuestra propia cuadrícula y efecto.

NOTA para el profesorado: He probado este efecto con alumn@s y me ha dado muy buen resultado como introducción al concepto de vector y/o número complejo, y para comenzar con operaciones sencillas.

Portada del libro
"Fantasías Mágicas"

En ocasiones te encuentras con alguna cosa interesante entre las páginas olvidadas de algún libro que ya nadie lee. Este es el caso que os traigo en este artículo. Leyendo el libro "Fantasías Mágicas" de un tal Sir T. Rasid, y cuando ya estaba a punto de abandonarlo, descubrí un efecto que el autor titulaba "Cuarenta sobre vuelta". Estaba ejecutado con baraja española, mal explicado y además no surgía como allí se decía. Aún así, y tras una investigación minuciosa, descubrí que se basaba en una ordenación matemática de la baraja que yo desconocía. Lo conseguí adaptar a la baraja de póker, generalizar y sacarle un poco de jugo.

Dentro del mundo mágico, hay ordenaciones muy estudiadas y archiconocidas: Mnemónicas de Tamariz, de Dani DaOrtiz, de Woody Aragón, ordenación Si Stebbins, el Nikola System, por citar algunas; pero no son muy conocidas las ordenaciones que se rigen por una fórmula matemática. Es por ello que he querido incluir este artículo en mi blog y eso es lo que aquí os quiero comentar.

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LA FÓRMULA

La idea es que cada carta está situada en una posición que sigue una sencilla fórmula:

$$posición=4n+p$$
donde:
$n =$ índice de la carta (J=11, Q=12, K=13)
$p=$ número asociado a cada palo: Picas = 0, Corazones = 11, Tréboles = 22, Diamantes = 33.

NOTA 1: Si al aplicar la fórmula la posición pasa de 52, al resultado se le resta 52. Matemáticamente diríamos que la fórmula es "módulo 52".

NOTA 2: Es muy difícil ejecutar la operación inversa, es decir, dada una posición deducir qué carta es. Aunque es posible hacerlo, los cálculos y las consideraciones matemáticas superan el objetivo de este blog. Este es el mayor hándicap que tiene este tipo de ordenación.

EJEMPLOS

a) 3 de Tréboles:
 $n=3, p=22 (tréboles) \rightarrow posición=4·3+22=34$

b) Q de Diamantes:

 $n=12, p=33 (diamantes) \rightarrow posición=4·12+33=81 \rightarrow posición=81-52=29$

La baraja entera queda en la siguiente disposición:

LA ORDENACIÓN

Para poder ordenar la baraja siguiendo la fórmula anterior, hay una forma muy sencilla de hacerlo sin tener que calcular las posiciones de todas las cartas:

1) Se separan los palos de la baraja y se disponen en orden decreciente separados en 4 montones (de cara) 

2) Siempre con las cartas de cara, el palo de picas se deja tal cual, del palo de corazones se pasan 3 cartas de top a bottom, del de tréboles 6 cartas y del de diamantes 9, tal y como muestra la figura:

3) A continuación se recogen las cartas de cara, ¡OJO! de derecha a izquierda, comenzando por el 5 de diamantes, encima el 8 de tréboles, después la J de corazones, etc...y cuando acabes la carta top será el 5 de diamantes y la bottom la K de picas.

Os dejo un vídeo ilustrativo de la preparación de la baraja (pido disculpas por la poca calidad):

NOTA 1: Yo he utilizado esta ordenación de palos, pero obviamente podéis utilizar cualquier otra y lo único que cambiaría sería el valor "p" asociado a cada palo.

NOTA 2: Si os fijáis, el proceso de ordenación es casi idéntico a una Si Stebbins, salvo que se hace a la inversa (el corte y la recogida).

CONSIDERACIONES PARA ESTA ORDENACIÓN

- No hay que memorizar nada.
- Muy fácil de aplicar de manera impromptu.
- Se puede mostrar la baraja.
- No se puede cortar (o sí, pero después hay que recomponer al orden inicial).
- Los colores están intercalados.

Sin extenderme más, espero que podáis en algún momento aprovechar este tipo de ordenación para algún efecto. Ya me contaréis.

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CUESTIONES MATEMÁTICAS Y GENERALIZACIONES

1) Al preparar la ordenación, en el paso 2) os he explicado que hay que ordenar los palos y pasar de top a bottom (cortando) 0, 3, 6 y 9 cartas respectivamente.

Pero también se pueden preparar las cartas cortando 0, 1, 2, 3 cartas (así era la ordenación original del libro "Fantasías mágicas" de donde saqué la idea). Si se hace así, lo que cambia es el valor de la "p" para los palos, pero el problema fundamental es que NO se puede enseñar la baraja pues queda muy evidente que hay algún tipo de ordenación:

Al número de cartas que pasas de top a bottom para preparar la ordenación, le he llamado "paso". Así, la ordenación que os he explicado es de paso 3, y la que viene explicada en el libro es de paso 1. 

Obviamente las fórmulas resultantes para diferentes pasos son similares y cambia tan sólo la "p". Os dejo que probéis otras opciones y así crear vuestra propia ordenación con la fórmula anterior.

2) De forma evidente, intenté generalizar la fórmula para formar otras ordenaciones:

$$posición=k·n+p$$
donde:
$k=$ número cualquiera
$n =$ índice de la carta (J=11, Q=12, K=13)
$p=$ número cualquiera asociado a cada palo$

El problema es que no todas las combinaciones de "k" y "p" recorren toda la baraja sin que se repitan posiciones. Dejo al lector que le interese que haga sus propias pruebas para obtener las conclusiones.

Dai Vernon

La primera vez que me encontré con esta propiedad en un juego fue en uno del grandísimo Dai Vernon, y tengo que decir que me resultó realmente impactante.

A continuación os describo sólo el principio matemático y luego os enseño el juego. Coge una baraja de póker completa (52 cartas) y realiza lo siguiente:

1) Elige tres cartas al azar y déjalas de cara sobre la mesa. Fíjate en sus índices, no importan los palos.

2) A continuación pon en cada carta tantas como falten para llegar a 13 (es decir, si una carta es un 4, tienes que poner 9 cartas encima). Recuerda que "J" = 11, "Q" = 12 y "K" = 13. Formarás 3 paquetitos de cartas. Por ejemplo:

3) Del resto de la baraja, debes quitar 10 cartas. Éstas ya no sirven.

4) Ahora, de las tres cartas que elegiste al inicio, señala dos de ellas y suma sus valores (por ejemplo, elegimos la J y el 4, así 11 + 4 = 15)

5) De las cartas que te quedan en la baraja, quita tantas cartas como indique la suma anterior (en nuestro ejemplo, retiraríamos 15 cartas).

6) Pues bien, el resto de cartas que quedan en el mazo coincide exactamente con el índice de la carta que no se eligió en el paso 4). Sorprendente, ¿verdad?

NOTA: Las 10 cartas que retiras en el paso 3) se pueden retirar de la baraja antes de empezar y realizar los movimientos con 42 cartas.

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Pues bien, me puse a investigar porqué funciona lo anterior y quiero aportar mi granito de arena generalizando el principio:

Sea 

"k" = número de cartas elegidas.
"n" = número al cual completas.

De esta manera, para que el principio funcione se necesitarán "$k·(n+1)$" cartas.

Por ejemplo,

en la descripción del principio, k=3, n=13, y se necesitan 3·(13+1) = 42 cartas (por eso se retiran 10).

NOTA: Si se quiere utilizar las 52 cartas de la baraja de póker y no tener que retirar ninguna, se deberían elegir k = 4 cartas (hacer cuatro paquetitos y señalar tres) y completar cada carta a n = 12.
 

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"Anyway you count 'em" es un juego basado en este principio. Yo vi la versión de Dai Vernon en las prodigiosas manos de Gabi Pareras y me resultó una grata sorpresa.

Os dejo en el siguiente enlace el juego descrito (en dos versiones) por Pedro Alegría en su blog:

http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2014/12/principio-del-complemento-13.html

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Mi colega, el mago Charles, desde Chile ha hecho el vídeo con el efecto especialmente para este post. De esta manera podéis haceros una idea perfecta de su realización. En esta versión se hacen k=3 paquetes y se completan las cartas a n=13, por lo tanto el efecto está hecho con 3 · (13 + 1) =42 cartas:

Desde aquí mi más sincero agradecimiento al mago Charles.

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Para acabar, me gustaría comentar que este principio es una consecuencia directa del "Principio de completar valores" al que ya dediqué un post en este blog y que os animo a que leáis.

Bien, espero que este pequeño pero potente principio os dé ideas para crear nuevos efectos.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

El álgebra, como en muchos casos similares, es la clave para demostrar el principio que os he contado aquí. De esta forma:

Supongamos que tenemos una baraja con "B" cartas y que se eligen "k" cartas:

Sean $a_1, a_2, a_3, \ldots a_k$ los índices de las cartas elegidas.

Ahora completamos cada carta al número "n":
De esta forma, sobre cada carta $a_i$ colocamos $n-a_{i}$ cartas.

Ahora, el total de cartas en la mesa sería:

$$k + {\sum_{i=1}^{k} (n-a_{i})}=k+nk-\sum_{i=1}^{k} a_{i}=k·(n+1)-\sum_{i=1}^{k} a_{i} \hspace{1cm} (1)$$

A continuación, se suman los valores de todas las cartas elegidas menos una (podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que es la última carta $a_k$), y se retiran de la baraja tantas cartas como esa suma. Es decir, de la baraja se retiran: $$\sum_{i=1}^{k-1} a_{i} \hspace{1cm} (2)$$ cartas.

En definitiva, de la baraja se retirarán en total estas cartas (1) +(2):

$$k·(n+1)-\sum_{i=1}^{k} a_{i} + \sum_{i=1}^{k-1} a_{i}=k·(n+1)-a_k $$

Para finalizar, el número de cartas que quedarán exactamente en la baraja después de retirar las anteriores, será:
$$B-(k·(n+1) - a_k)=B-k·(n+1)+a_k$$

y para que ese número coincida con el valor de la carta restante ($a_k$), la baraja debe contener exactamente $B=k·(n+1)$ cartas (o, lo que es lo mismo, retirar del paquete $B-k·(n+1)$ cartas) C.Q.D.

Ya dediqué un artículo a la magia que puede realizarse utilizando alguna propiedad matemática del número 9 aquí.

Hoy, gracias a mi estimado amigo y divulgador Anton Aubanell, tengo el placer de poder explicaros un pequeño jueguecito mágico-matemático basado también en el, ya de por sí mágico, número 9:

1) Coged las cartas del 1 (As) al 9. No importa el palo. 

2) Ahora le damos a elegir a un espectador una de las cartas en secreto. Pongamos que elige el 4. 

3) Con las cartas restantes, y también en secreto, le decimos que forme dos números con el número de cifras que se quiera. Por ejemplo, podemos formar los números 183 y 96257 (o cualquiera otros).  La situación sería la siguiente (esto no lo ve el mago):

4) Le pedimos al espectador que sume esos dos números y nos diga el resultado. En nuestro caso el resultado es 96440. 

5) Ahora sumamos mentalmente los dígitos del resultado hasta reducirlo a una sola cifra. Lo que le quede al resultado para llegar a 9 (o restar el resultado a 9), coincide con la carta que se eligió. 
Es decir, en nuestro ejemplo: $9 + 6 + 4 + 4 + 0 = 23 \rightarrow 2 + 3 = 5$.
Así la carta elegida sería $9 - 5 = 4$.

NOTA 1: Si el resultado en el paso 5) diera 9, querría decir que el espectador ha elegido el número 9.

NOTA 2:  En el paso 3), no es necesario formar dos números, se pueden formar tres o cuatro o tantos como se quiera y luego sumarlos todos.

Recordad que se eligió la carta en secreto y se formaron los números también en secreto. Todo lo hizo el espectador sin intervención del mago. Esto hace que tenga un gran impacto mágico.

GENERALIZACIÓN

No es necesario coger las cartas del 1 al 9, sino que se pueden elegir tantas cartas como se quiera siempre que la suma total de ellas sea un múltiplo de 9. Una forma fácil de hacerlo sería elegir cartas por pares o tríos de forma que sumen 9, y así se van eligiendo todas.

Por ejemplo, se podría elegir las siguientes cartas:

Observa como en cada grupito la suma es 9.

Así es seguro que la suma total de todas las cartas es un múltiplo de 9, se mezclan y podemos realizar el juego exactamente igual que os he explicado anteriormente.

La ventaja de esta versión es que se puede hacer el efecto con cualquier número de cartas y además el espectador puede participar en la elección de las cartas para el juego: nosotros iríamos eligiendo cartas completando las del espectador a 9.

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Creo sinceramente, que con una buena presentación y una buena justificación para los pasos que se dan, esta curiosidad se puede convertir en un verdadero efecto de magia.

Y nada más. Espero haber puesto en vuestro conocimiento una herramienta útil para vuestros efectos.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

La explicación radica en un concepto matemático muy interesante:

Se llama "raíz digital" de un número, al resultado de sumar sus dígitos sucesivamente hasta reducirlo a una sola cifra. Por ejemplo, la raíz digital del número 96440 sería 5, ya que $9 + 6 + 4 + 4 + 0 = 23 \rightarrow 2 + 3 = 5$.

La clave para el efecto anterior está en el resultado matemático que afirma que
"si un número es múltiplo de 9, su raíz digital es 9".

Por lo tanto, si elegimos las cartas para que su suma sea múltiplo de 9, sabemos que su raíz digital será 9. Si quitamos una carta, su raíz digital se reduce en exactamente esa carta; así para obtener la carta del espectador tan solo hay que calcular su complemento a 9 ... ¡y ya está!

El hecho de hacer por el camino que el espectador forme dos números y los sume, es tan solo para esconder lo máximo posible la matemática e incluir un factor de azar que tan bien le van a estos efectos.

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P.D.: Quiero dedicar este post a mi gran amigo y admirado matemático Anton Aubanell, ya que juntos creamos este pequeño jueguecito mágico-matemático que hoy he querido compartir con todos vosotros.

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Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima segunda edición, también denominada 8.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

(Para poder seguir bien las explicaciones, es necesario haber leído primero el post anterior)

Después de encontrar una maravillosa fórmula para la repartición de cartas (AQUÍ), me planteé si se puede saber qué cartas no cambian su posición después de repartir (si hubiese alguna, claro), ya que puede tener una mayor repercusión mágica.

Y obtuve el resultado siguiente:

Si hacemos una Repartición de orden k, entonces las cartas que no cambian su posición serán las que forman el grupo de "k" cartas del centro. En caso de que no exista tal grupo, entonces ninguna carta mantiene su posición.

A ver si con un par de ejemplos os puedo aclarar la situación:

EJEMPLOS:

a) Supongamos que damos 20 cartas de 4 en 4.
En este caso repartiríamos (20:4) = 5 grupos de 4 cartas, y las cartas del grupo número 3  (el que queda en el centro) son las que no cambia de posición. Es decir, las cartas en posición 9, 10, 11, 12.

b) Supongamos ahora que repartimos 16 cartas de 2 en 2.
En este caso repartiríamos (16:2) = 8 grupos de cartas; con lo cual, no hay ningún grupo que esté en el centro y ninguna carta mantendrá su posición al repartir.

NOTA: En una repartición de orden 1, tan sólo hay una carta que no cambia de posición si tenemos un número impar de cartas, y en este caso, será la que está en el centro. Si tenemos un número par de cartas, ninguna mantiene su posición. Obviedad de sobras conocida en la comunidad mágica.

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También os quiero comentar la cuestión de cuántas cartas repartir de forma que una carta en concreto (la que te interese) no cambie de posición. Os pongo un ejemplo:

Si quiero que la carta situada en la posición 14 no cambie de posición al repartir cartas de 3 en 3, ¿cuántas deberemos repartir?

Si se ha entendido la cuestión anterior, se trata de pensar un poco para deducir la respuesta. Os explico:
Sabiendo que la carta número 14 debe estar en el grupo del centro para que no cambie su posición, deducimos que estará en el grupo formado por las posiciones 13, 14, 15. Así pues, se deberán repartir 9 grupos de 3 cartas, es decir, un total de 27 cartas.

Y aquí el vídeo con el resultado:

¿Y si quiero repartir cartas de 2 en 2 y deseo que la carta en posición 8 no cambie?

De nuevo, no es difícil deducir que habrá que repartir un total de 14 cartas, puesto que las que quedarían en el centro ocupan las posiciones 7, 8.

...dejo los detalles a los lectores para no extenderme en las explicaciones.

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Entiendo que los razonamientos anteriores no son extremadamente difíciles, pero sí suficientemente complejos como para que no se puedan realizar de manera "improntu".

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UNA VISIÓN MÁS MATEMÁTICA...

Fruto de mi manejo con fórmulas matemáticas, os traigo a modo de curiosidad un par de fórmulas que resuelven las cuestiones anteriores directamente:

1) Si hacemos una Repartición de orden k de "N" cartas, entonces habrá cartas que no cambian de posición si y sólo si $(N:k)$ es impar.

En tal caso, habrá exactamente "k" cartas que no cambian de posición y que se obtienen de la siguiente manera:

$\frac{N-k}{2}+r$ ,  dando a r los valores $r=1,2,3 \ldots k$

2) Si al hacer una Repartición de orden k queremos que la carta situada en posición "x"  no cambie su posición, debemos repartir exactamente el número de cartas dado por la fórmula:

$N=2·(x-r)+k$, donde r = resto de la división $(x:k)$

NOTA: Os quiero comentar que si la división $(x:k)$ es exacta, para que funcione la fórmula anterior, no se pone $r=0$, sino $r=k$

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...PARA MAGOS:

Trabajando con las fórmulas anteriores, se deducen algunas curiosidades de las reparticiones que os pueden resultar útiles:

1) Las cartas en posiciones simétricas (misma distancia una del top que la otra del bottom), se mantienen simétricas después de una repartición de orden k.

2) Si las cartas están alternadas por colores, después de cualquier repartición de orden k, se mantienen alternadas por colores (consecuencia de 1) ).

3) Si las cartas están ordenadas "en espejo", después de cualquier repartición que pueda realizarse, vuelven a quedar "en espejo" - leer ESTE POST - (consecuencia de 1) ).

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Mi reflexión final es que creo que este estudio tiene más interés matemático que mágico, pero he considerado interesante e incluso relevante publicar aquí los resultados obtenidos al respecto, ya que uno nunca sabe quién o cuándo puede necesitarlos. Celebraré cualquier aportación que podáis tener a este estudio, tanto a nivel mágico como matemático.

Después de estudiar el "Movimiento Fulves", se me vino a la mente de forma natural estudiar en profundidad la acción de repartir cartas. Quiero traeros aquí los resultados de mi investigación, pues creo que puede tener alguna utilidad mágica y un claro interés matemático. No tengo conocimiento de un estudio semejante al respecto, así que considero este estudio como una primicia que tengo el placer de compartir con vosotros.

Lo que me propuse investigar es a qué posición va a parar cada carta después de repartirlas de cualquier forma en un montón.

Os pongo un ejemplo clarificador:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, ¿en qué posición acabará la carta situada inicialmente en la posición 8 (contando siempre desde dorsos)?

...y obtuve una bella fórmula que permite calcularlo.

Os tengo que comentar que los detalles matemáticos exceden en mucho el propósito de este blog, así pues me los reservo para una posterior publicación en alguna revista especializada.

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Bien, voy a definir una "Repartición de orden k" a la acción de repartir cartas de "k" en "k" en un montón sobre la mesa.

La acción de repartir cartas sobre la mesa de una en una, sería una repartición de orden 1. Así pues, esto generaliza la repartición de cartas.

Aquí os muestro unos ejemplos:

Repartición de orden 1

Repartición de orden 2

Repartición de orden 3

Y obtuve el siguiente resultado:

Si se hace una Repartición de orden k de "N" cartas, la carta situada en posición "x" desde dorsos, irá a parar a la posición:

1) $N-x+k$ ,   si "x" és múltiplo de k

2) $N-x-k+2r$ ,   si "x" no és múltiplo de k

donde "r" es el resto de la división de $(x:k)$

NOTA: Se puede utilizar solo la fórmula 2) siempre que se tenga en cuenta que si "x" es múltiplo de "k", en lugar de coger de resto r = 0, se debe poner resto r = k.

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Puede parecer a priori una fórmula un poco compleja, pero veamos cómo funciona esta fórmula con un par de ejemplos que os mostrarán que no es difícil en absoluto. Sería buena idea que cogieras la baraja y los comprobaras:

EJEMPLOS:

a) Volviendo a la pregunta inicial, si repartimos 21 cartas de 3 en 3, vamos a calcular a qué posición irá a parar la carta en posición 8:

N=21

k=3

x=8

Si dividimos 8:3, tenemos resto r = 2

Aplicamos la fórmula 2) $\rightarrow 21-8-3+2·2 = 14$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 14 contando desde dorsos.

b) Si repartimos 12 cartas de 2 en 2, la carta número 6 irá a parar a la posición:

N=12

k=2

x=6

Al dividir 6:2, tenemos resto r = 0

Aplicamos la fórmula 1) $\rightarrow 12-6+2 = 8$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 8 contando desde dorsos.

Aquí un vídeo del ejemplo anterior:

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DÁNDOLE LA VUELTA A LA FÓRMULA...

Una observación interesante que se deduce de la misma fórmula, es que al hacer una repartición, las cartas intercambian sus posiciones de dos en dos. Me explico:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, hemos visto que la carta en posición 8, acaba en posición 14. Pues bien, la carta inicialmente en posición 14, acabará en la posición 8. Es decir, las dos cartas intercambian sus posiciones. Esto ocurre con todas las cartas.

Este hecho nos permite saber de una manera fácil dónde colocar una carta inicialmente si se quiere que acabe en una posición determinada, que quizás pueda tener más utilidad para montar efectos de magia.

Por ejemplo, si se reparten 16 cartas de 4 en 4, y quiero que la carta del espectador acabe en la posición 5, ¿dónde la deberé colocar inicialmente?

Aplicamos la fórmula anterior y nos queda:

N = 16
k = 4
x = 5
r = 1 (resto de dividir 5:4)

$y=16-5-4+2·1=7+2·1=9$.

Así pues, deberíamos colocar la carta del espectador en el lugar 9 para que acabara en la posición 5 después de repartir (ya que, como hemos dicho, intercambian sus posiciones).

¡Es genial! ¿No creéis?

NOTA: Como consecuencia inmediata se obtiene que al hacer una repartición de orden k dos veces, todas las cartas vuelven a su posición original.

....y no se vayan todavía, ¡aún hay más!... La segunda parte de este estudio: AQUÍ

De la inagotable fuente de ideas que son los juegos que creó y/o recopiló Karl Fulves, me llamó la atención un juego que él llama "Magnetic Force". Quiero poner énfasis en el movimiento que Karl explica en ese efecto porque creo que es realmente ingenioso y sencillo, a la par que bastante desconocido en la comunidad mágica. El método consiste en la localización de dos cartas que están situadas en unas posiciones concretas.

Así, os relato aquí el resultado de mis impresiones y conclusiones al respecto. El movimiento que os menciono es el siguiente (le he llamado "el movimiento Fulves"):

1) Mezcla una baraja (completa o no). Mira y memoriza las cartas situadas en las posiciones 2 y 4 desde dorsos (la top-2 y la top-4).

2) Ahora, con la baraja de dorso, ve dando cartas sobre la mesa de 2 en 2, es decir, por pares. Detente cuando quieras. Ahora tienes un paquetito de cartas sobre la mesa y el resto de la baraja en tu mano.

3) Coge la última carta de las que están en el paquetito de la mesa, dale la vuelta y colócala sobre el resto de la baraja que tienes en tu mano.

4) Seguidamente coge el resto del paquetito de la mesa y devuélvelo sobre la baraja (es decir, encima de la carta vuelta).

5) A continuación, ve repartiendo cartas sobre la mesa de 2 en 2 igual que antes. Cuando pases la carta vuelta - y no antes-, detente cuando quieras.

6) Coge el paquetito de la mesa y devuélvelo sobre el resto de la baraja que está en tu mano.

7) Si ahora extiendes de dorso la baraja, se verá una carta vuelta. Pues bien, las cartas a su izquierda y a su derecha son las que inicialmente memorizaste, es decir, la top-2 y la top-4 iniciales. Simplemente genial, ¿no te parece?


NOTA: Tras el último paso y antes de extender, se puede cortar y completar el corte las veces que se quiera, ya que eso no deshace la posición de las cartas. Además así se introduce un elemento de aleatoriedad que creo que le va muy bien al movimiento Fulves.

Aunque el proceso parece largo, realmente es muy rápido de ejecutar y muy engañoso. Y ya que una imagen vale más que mil palabras y un vídeo vale más que mil imágenes, he grabado un pequeño vídeo con el "movimiento Fulves":

*                *                 *

Mi grano de arena al respecto consiste en el hecho de que el movimiento Fulves se puede generalizar de una manera evidente:

• Si se reparten cartas de 2 en 2, se localizan las cartas top-2 y top-4
• Si se reparten cartas de 3 en 3, se localizan las cartas top-3 y top-5
• Si se reparten cartas de 4 en 4, se localizan las cartas top-4 y top-6
• ...

...y en general,

"si se reparten cartas de "k" en "k", se localizan las cartas top-k y top-(k+2)"

...que no sé si tiene mucha utilidad a nivel mágico por lo artificial de la repartición, pero bueno, ahí lo dejo.


Y para que os podáis hacer una idea de la potencia mágica de este movimiento, el compañero Gabriel Villalonga nos deja aquí su efecto utilizándolo (¡gracias Gabriel!):

Con este movimiento, espero haber puesto algo nuevo en vuestro repertorio. Yo me quedo pensando en algún juego donde aplicar el movimiento Fulves y convertirlo en algo mágico.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

A nivel matemático, el movimiento Fulves no tiene realmente mayor interés. Si lo miráis con calma, os daréis cuenta de que es una recolocación de las cartas que se quieren localizar de una manera muy obvia.

De todas formas, este movimiento me dio pie a plantearme matemáticamente el tema de la repartición de cartas en general, que sí que tiene "más miga"...aunque eso ya os lo explico en el próximo artículo.

Es archiconocido en un dado que los puntos de las caras opuestas, siempre suman 7. Así, la cara opuesta del 6 es el 1, la del 5 es el 2 y la del 4 es el 3.

Pero quizás no es tan conocida la propiedad del dado que os traigo hoy, y eso es precisamente lo que se puede aprovechar para poder utilizarla en algún efecto mágico.

Con un dado normal, realizamos lo siguiente:

1) Nos fijamos en un vértice del dado y sumamos los puntos de las tres caras que lo forman. 

2) Ahora rotamos el dado 90º en cualquier dirección. Nos habrá quedado un nuevo vértice en el lugar del anterior.

3) Sumamos los puntos de esas tres caras que forman el nuevo vértice.

4) Pues resulta que la suma inicial y la suma final siempre tienen diferente paridad, independientemente de cómo se haya hecho el giro. Es decir, si la primera suma era par, después de rotar quedará impar y viceversa.


Por poner un ejemplo:

Me fijo en el vértice que forman las caras 2, 3, 6 cuya suma es 11 (IMPAR). Ahora hago una rotación de 90º en el dado y me queda un nuevo vértice cuyas caras son ahora 3, 5, 6, cuya suma es 14 (PAR).

*                       *                      *

Lo interesante de esta propiedad es que, junto con el Principio de Paridad (que ya os expliqué en otra entrada del blog), hace que si se rota el dado un número par de veces, se mantenga la paridad de la suma; y si se rota un número impar de veces, cambie la paridad de la suma de las tres caras.

Es decir, si en un vértice la suma es impar y se hacen 5 rotaciones de 90º en el dado, la suma de las caras del nuevo vértice será par.

Como idea, se podría hacer un pequeño efecto de magia de la siguiente forma:

1) Decimos a un espectador que tire el dado. 

2) Nosotros nos fijamos en un vértice en concreto y sumamos en secreto las tres caras que lo forman (supongamos que dicha suma es par). En este momento nos giramos para no ver. 

3) Decimos al espectador que realice, por ejemplo, 5 rotaciones de 90º en el dado. 

4) Sin volver todavía a mirar, le pedimos al espectador que decida si rotar una vez más el dado o que lo deje cómo está, pero que no nos diga nada.

5) Al volvernos, podemos saber perfectamente si ha decidido rotar el dado una última vez dependiendo de si la suma de las caras en el vértice en el que nos fijamos es par o impar respectivamente.

6) Para potenciar el impacto mágico, se puede repetir varias veces con diferente número de rotaciones. 

 

Lo anterior no pretende, en absoluto, ser un efecto de magia en sí mismo, sino una pequeña idea para fomentar vuestra imaginación y poder aplicar esta sencilla y desconocida propiedad de los dados. Así que, ¡al ataque!

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Creo que la mejor manera de entender la propiedad anterior es utilizando la Teoría de grafos. Un grafo no es más que una representación gràfica de una situación.

Aquí os dejo el grafo que representa un dado, donde cada nodo representa un vértice del dado, cada línea es una arista y el número que aparece en cada nodo representa la suma de las tres caras que forman ese vértice:

Grafo que representa un dado

Pues bien, pensando un poco deducimos que si elegimos un vértice, hacer cualquier giro de 90º en el dado representa ir a un vértice de los tres que estan unidos por una línea (arista). De esta manera vemos claramente en el grafo que si elegimos cualquier nodo, los otros tres que estan unidos con él son de paridad diferente. Y ya está.

Creo que es una demostración sencilla y elegante de la propiedad que os he comentado en este post.