Juego original Rough&Ready

Todo surgió a raíz de una consulta que me hicieron sobre el tapete de la imagen que tenéis aquí.
Alguien me dijo que era un efecto llamado "Rough and Ready" de un mago llamado Dick Zimmerman y que era un juego matemático.
Me puse a investigar un poco y a partir de las instrucciones del juego original, pude deducir su funcionamiento y explicación.

A continuación lo modifiqué y generalicé basándome en una idea que había visto de mis amigos de Divermates.

Me pareció interesante el concepto matemático que subyace, ya que no había aparecido en este blog con antelación, y sobre todo, me pareció muy original la forma de utilizar ese concepto para elaborar un efecto de magia. De ahí que os lo traiga en este post.

Ok, sin más realiza lo siguiente:

1 - Saca las siguientes ocho cartas de la baraja:

3P, 6P, AC, 4C, AT, 5T, 2D, 4D

2 - Pon las cartas de dorso y mezcla bien. Elige una o dos cartas cualesquiera de entre esas ocho cartas (sin mirarla/s) y déjalas a parte.  

3 - Ahora, con el dedo, sitúate en el "ORIGEN" de la siguiente cuadrícula:
4 - De las cartas no elegidas, toma una, dale la vuelta y muévete en la cuadrícula en la dirección del palo de la carta y tantos cuadraditos como indica su índice (por ejemplo, si la carta es el 4C, irás hacia abajo cuatro cuadraditos).  

5 - A continuación, y desde el cuadradito en el que estás, toma otra carta y vuelve a hacer lo mismo.  

6 - Debes ir girando todas las cartas y moviéndote por la cuadrícula.  

7 - Al finalizar habrás acabado en un cuadradito. Mira qué carta/s aparecen en él...exactamente las que elegiste al inicio!

NOTA 1: El espectador en cualquier momento puede decidir si quiere cambiar alguna carta de las que eligió, por alguna de las que le quedan todavía en el paquetito, lo que mejora y potencia muchísimo la predicción final.

NOTA 2: Creo que es importante para la predicción final que las cartas estén en todo momento de dorso, ya que el final, cuando se desvelan las cartas que aparecen en la cuadrícula, el final ya es intuido por el espectador y produce un momento "me la corto" (Tamariz dixit).

NOTA 3: En el juego original de Zimmerman (que es ligeramente diferente), también se hacía con 8 cartas, pero el espectador debía elegir dos cartas de diferente color para que funcionara el juego y se debía hacer con las cartas vistas en todo momento. Esta extensión que yo os ofrezco, creo sinceramente que mejora el efecto original ya que permite la libre elección del espectador y que éste cambie su predicción en cualquier momento.

Este efecto es un poco diferente a los que venía presentando y es por eso que quería traerlo al blog para ponerlo en vuestro conocimiento. Estoy convencido que con una buena presentación se le puede sacar mucho partido.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

El efecto se basa en mirar las cartas como vectores o números complejos, ya que se utilizan para moverse en una cuadrícula, que no es otra cosa que un sistema de coordenadas.

De esta manera, si miramos la cuadrícula como un sistema de coordenadas donde el "ORIGEN" es el (0,0), las cartas serán los vectores (o números complejos):

Ahora bien, en total tengo 36 posibilidades de elección de una o dos cartas (dejo al lector que piense esto por sí solo), con lo cual lo que hago es coger cada posibilidad y situarla en las coordenadas que resulten de sumar las otras cartas.

Con un ejemplo se entiende mejor:

Pongamos que el espectador elige el 3P y el AC, la suma (vectorial) de las otras cartas será:

$$\vec{5T}+\vec{6P}+\vec{AT}+\vec{4D}+\vec{4C}+\vec{2D}=$$

$$=(5,0)+(-6,0)+(1,0)+(0,4)+(0,-4)+(0,2)=(0,2)$$

(en números complejos sería: $5-6+1+4i-4i+2i=2i$)

Y eso me dice que el 3P y el AC, deben estar en las coordenadas (0,2); que si miras en la cuadrícula es exactamente donde están situadas. Y gracias a la propiedad commutativa de la suma de vectores (o números complejos), independientemente del orden de la suma, siempre se irá a parar al mismo lugar.

Pues lo mismo hago con todas las posibilidades. No hace falta decir que el resto de cuadraditos los relleno con cartas cualesquiera porque nunca se llegará a ellos.

GENERALIZACIÓN

Seguro que la pregunta que os estáis haciendo es si este grupo de cartas es el único con el que se puede hacer el efecto. 

No, pero lo único que debemos asegurar es que todas las posibilidades de elección, al hacer la suma del resto de cartas, nos dan todos resultados diferentes (en mi caso las 36 sumas dan diferente resultado).

Teniendo esto en cuenta, podéis buscar otros conjunto de cartas (no necesariamente de 8) para producir vuestra propia cuadrícula y efecto.

NOTA para el profesorado: He probado este efecto con alumn@s y me ha dado muy buen resultado como introducción al concepto de vector y/o número complejo, y para comenzar con operaciones sencillas.

Portada del libro
"Fantasías Mágicas"

En ocasiones te encuentras con alguna cosa interesante entre las páginas olvidadas de algún libro que ya nadie lee. Este es el caso que os traigo en este artículo. Leyendo el libro "Fantasías Mágicas" de un tal Sir T. Rasid, y cuando ya estaba a punto de abandonarlo, descubrí un efecto que el autor titulaba "Cuarenta sobre vuelta". Estaba ejecutado con baraja española, mal explicado y además no surgía como allí se decía. Aún así, y tras una investigación minuciosa, descubrí que se basaba en una ordenación matemática de la baraja que yo desconocía. Lo conseguí adaptar a la baraja de póker, generalizar y sacarle un poco de jugo.

Dentro del mundo mágico, hay ordenaciones muy estudiadas y archiconocidas: Mnemónicas de Tamariz, de Dani DaOrtiz, de Woody Aragón, ordenación Si Stebbins, el Nikola System, por citar algunas; pero no son muy conocidas las ordenaciones que se rigen por una fórmula matemática. Es por ello que he querido incluir este artículo en mi blog y eso es lo que aquí os quiero comentar.

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LA FÓRMULA

La idea es que cada carta está situada en una posición que sigue una sencilla fórmula:

$$posición=4n+p$$
donde:
$n =$ índice de la carta (J=11, Q=12, K=13)
$p=$ número asociado a cada palo: Picas = 0, Corazones = 11, Tréboles = 22, Diamantes = 33.

NOTA 1: Si al aplicar la fórmula la posición pasa de 52, al resultado se le resta 52. Matemáticamente diríamos que la fórmula es "módulo 52".

NOTA 2: Es muy difícil ejecutar la operación inversa, es decir, dada una posición deducir qué carta es. Aunque es posible hacerlo, los cálculos y las consideraciones matemáticas superan el objetivo de este blog. Este es el mayor hándicap que tiene este tipo de ordenación.

EJEMPLOS

a) 3 de Tréboles:
 $n=3, p=22 (tréboles) \rightarrow posición=4·3+22=34$

b) Q de Diamantes:

 $n=12, p=33 (diamantes) \rightarrow posición=4·12+33=81 \rightarrow posición=81-52=29$

La baraja entera queda en la siguiente disposición:

LA ORDENACIÓN

Para poder ordenar la baraja siguiendo la fórmula anterior, hay una forma muy sencilla de hacerlo sin tener que calcular las posiciones de todas las cartas:

1) Se separan los palos de la baraja y se disponen en orden decreciente separados en 4 montones (de cara) 

2) Siempre con las cartas de cara, el palo de picas se deja tal cual, del palo de corazones se pasan 3 cartas de top a bottom, del de tréboles 6 cartas y del de diamantes 9, tal y como muestra la figura:

3) A continuación se recogen las cartas de cara, ¡OJO! de derecha a izquierda, comenzando por el 5 de diamantes, encima el 8 de tréboles, después la J de corazones, etc...y cuando acabes la carta top será el 5 de diamantes y la bottom la K de picas.

Os dejo un vídeo ilustrativo de la preparación de la baraja (pido disculpas por la poca calidad):

NOTA 1: Yo he utilizado esta ordenación de palos, pero obviamente podéis utilizar cualquier otra y lo único que cambiaría sería el valor "p" asociado a cada palo.

NOTA 2: Si os fijáis, el proceso de ordenación es casi idéntico a una Si Stebbins, salvo que se hace a la inversa (el corte y la recogida).

CONSIDERACIONES PARA ESTA ORDENACIÓN

- No hay que memorizar nada.
- Muy fácil de aplicar de manera impromptu.
- Se puede mostrar la baraja.
- No se puede cortar (o sí, pero después hay que recomponer al orden inicial).
- Los colores están intercalados.

Sin extenderme más, espero que podáis en algún momento aprovechar este tipo de ordenación para algún efecto. Ya me contaréis.

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CUESTIONES MATEMÁTICAS Y GENERALIZACIONES

1) Al preparar la ordenación, en el paso 2) os he explicado que hay que ordenar los palos y pasar de top a bottom (cortando) 0, 3, 6 y 9 cartas respectivamente.

Pero también se pueden preparar las cartas cortando 0, 1, 2, 3 cartas (así era la ordenación original del libro "Fantasías mágicas" de donde saqué la idea). Si se hace así, lo que cambia es el valor de la "p" para los palos, pero el problema fundamental es que NO se puede enseñar la baraja pues queda muy evidente que hay algún tipo de ordenación:

Al número de cartas que pasas de top a bottom para preparar la ordenación, le he llamado "paso". Así, la ordenación que os he explicado es de paso 3, y la que viene explicada en el libro es de paso 1. 

Obviamente las fórmulas resultantes para diferentes pasos son similares y cambia tan sólo la "p". Os dejo que probéis otras opciones y así crear vuestra propia ordenación con la fórmula anterior.

2) De forma evidente, intenté generalizar la fórmula para formar otras ordenaciones:

$$posición=k·n+p$$
donde:
$k=$ número cualquiera
$n =$ índice de la carta (J=11, Q=12, K=13)
$p=$ número cualquiera asociado a cada palo$

El problema es que no todas las combinaciones de "k" y "p" recorren toda la baraja sin que se repitan posiciones. Dejo al lector que le interese que haga sus propias pruebas para obtener las conclusiones.

Dai Vernon

La primera vez que me encontré con esta propiedad en un juego fue en uno del grandísimo Dai Vernon, y tengo que decir que me resultó realmente impactante.

A continuación os describo sólo el principio matemático y luego os enseño el juego. Coge una baraja de póker completa (52 cartas) y realiza lo siguiente:

1) Elige tres cartas al azar y déjalas de cara sobre la mesa. Fíjate en sus índices, no importan los palos.

2) A continuación pon en cada carta tantas como falten para llegar a 13 (es decir, si una carta es un 4, tienes que poner 9 cartas encima). Recuerda que "J" = 11, "Q" = 12 y "K" = 13. Formarás 3 paquetitos de cartas. Por ejemplo:

3) Del resto de la baraja, debes quitar 10 cartas. Éstas ya no sirven.

4) Ahora, de las tres cartas que elegiste al inicio, señala dos de ellas y suma sus valores (por ejemplo, elegimos la J y el 4, así 11 + 4 = 15)

5) De las cartas que te quedan en la baraja, quita tantas cartas como indique la suma anterior (en nuestro ejemplo, retiraríamos 15 cartas).

6) Pues bien, el resto de cartas que quedan en el mazo coincide exactamente con el índice de la carta que no se eligió en el paso 4). Sorprendente, ¿verdad?

NOTA: Las 10 cartas que retiras en el paso 3) se pueden retirar de la baraja antes de empezar y realizar los movimientos con 42 cartas.

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Pues bien, me puse a investigar porqué funciona lo anterior y quiero aportar mi granito de arena generalizando el principio:

Sea 

"k" = número de cartas elegidas.
"n" = número al cual completas.

De esta manera, para que el principio funcione se necesitarán "$k·(n+1)$" cartas.

Por ejemplo,

en la descripción del principio, k=3, n=13, y se necesitan 3·(13+1) = 42 cartas (por eso se retiran 10).

NOTA: Si se quiere utilizar las 52 cartas de la baraja de póker y no tener que retirar ninguna, se deberían elegir k = 4 cartas (hacer cuatro paquetitos y señalar tres) y completar cada carta a n = 12.
 

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"Anyway you count 'em" es un juego basado en este principio. Yo vi la versión de Dai Vernon en las prodigiosas manos de Gabi Pareras y me resultó una grata sorpresa.

Os dejo en el siguiente enlace el juego descrito (en dos versiones) por Pedro Alegría en su blog:

http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2014/12/principio-del-complemento-13.html

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Mi colega, el mago Charles, desde Chile ha hecho el vídeo con el efecto especialmente para este post. De esta manera podéis haceros una idea perfecta de su realización. En esta versión se hacen k=3 paquetes y se completan las cartas a n=13, por lo tanto el efecto está hecho con 3 · (13 + 1) =42 cartas:

Desde aquí mi más sincero agradecimiento al mago Charles.

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Para acabar, me gustaría comentar que este principio es una consecuencia directa del "Principio de completar valores" al que ya dediqué un post en este blog y que os animo a que leáis.

Bien, espero que este pequeño pero potente principio os dé ideas para crear nuevos efectos.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

El álgebra, como en muchos casos similares, es la clave para demostrar el principio que os he contado aquí. De esta forma:

Supongamos que tenemos una baraja con "B" cartas y que se eligen "k" cartas:

Sean $a_1, a_2, a_3, \ldots a_k$ los índices de las cartas elegidas.

Ahora completamos cada carta al número "n":
De esta forma, sobre cada carta $a_i$ colocamos $n-a_{i}$ cartas.

Ahora, el total de cartas en la mesa sería:

$$k + {\sum_{i=1}^{k} (n-a_{i})}=k+nk-\sum_{i=1}^{k} a_{i}=k·(n+1)-\sum_{i=1}^{k} a_{i} \hspace{1cm} (1)$$

A continuación, se suman los valores de todas las cartas elegidas menos una (podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que es la última carta $a_k$), y se retiran de la baraja tantas cartas como esa suma. Es decir, de la baraja se retiran: $$\sum_{i=1}^{k-1} a_{i} \hspace{1cm} (2)$$ cartas.

En definitiva, de la baraja se retirarán en total estas cartas (1) +(2):

$$k·(n+1)-\sum_{i=1}^{k} a_{i} + \sum_{i=1}^{k-1} a_{i}=k·(n+1)-a_k $$

Para finalizar, el número de cartas que quedarán exactamente en la baraja después de retirar las anteriores, será:
$$B-(k·(n+1) - a_k)=B-k·(n+1)+a_k$$

y para que ese número coincida con el valor de la carta restante ($a_k$), la baraja debe contener exactamente $B=k·(n+1)$ cartas (o, lo que es lo mismo, retirar del paquete $B-k·(n+1)$ cartas) C.Q.D.

Ya dediqué un artículo a la magia que puede realizarse utilizando alguna propiedad matemática del número 9 aquí.

Hoy, gracias a mi estimado amigo y divulgador Anton Aubanell, tengo el placer de poder explicaros un pequeño jueguecito mágico-matemático basado también en el, ya de por sí mágico, número 9:

1) Coged las cartas del 1 (As) al 9. No importa el palo. 

2) Ahora le damos a elegir a un espectador una de las cartas en secreto. Pongamos que elige el 4. 

3) Con las cartas restantes, y también en secreto, le decimos que forme dos números con el número de cifras que se quiera. Por ejemplo, podemos formar los números 183 y 96257 (o cualquiera otros).  La situación sería la siguiente (esto no lo ve el mago):

4) Le pedimos al espectador que sume esos dos números y nos diga el resultado. En nuestro caso el resultado es 96440. 

5) Ahora sumamos mentalmente los dígitos del resultado hasta reducirlo a una sola cifra. Lo que le quede al resultado para llegar a 9 (o restar el resultado a 9), coincide con la carta que se eligió. 
Es decir, en nuestro ejemplo: $9 + 6 + 4 + 4 + 0 = 23 \rightarrow 2 + 3 = 5$.
Así la carta elegida sería $9 - 5 = 4$.

NOTA 1: Si el resultado en el paso 5) diera 9, querría decir que el espectador ha elegido el número 9.

NOTA 2:  En el paso 3), no es necesario formar dos números, se pueden formar tres o cuatro o tantos como se quiera y luego sumarlos todos.

Recordad que se eligió la carta en secreto y se formaron los números también en secreto. Todo lo hizo el espectador sin intervención del mago. Esto hace que tenga un gran impacto mágico.

GENERALIZACIÓN

No es necesario coger las cartas del 1 al 9, sino que se pueden elegir tantas cartas como se quiera siempre que la suma total de ellas sea un múltiplo de 9. Una forma fácil de hacerlo sería elegir cartas por pares o tríos de forma que sumen 9, y así se van eligiendo todas.

Por ejemplo, se podría elegir las siguientes cartas:

Observa como en cada grupito la suma es 9.

Así es seguro que la suma total de todas las cartas es un múltiplo de 9, se mezclan y podemos realizar el juego exactamente igual que os he explicado anteriormente.

La ventaja de esta versión es que se puede hacer el efecto con cualquier número de cartas y además el espectador puede participar en la elección de las cartas para el juego: nosotros iríamos eligiendo cartas completando las del espectador a 9.

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Creo sinceramente, que con una buena presentación y una buena justificación para los pasos que se dan, esta curiosidad se puede convertir en un verdadero efecto de magia.

Y nada más. Espero haber puesto en vuestro conocimiento una herramienta útil para vuestros efectos.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

La explicación radica en un concepto matemático muy interesante:

Se llama "raíz digital" de un número, al resultado de sumar sus dígitos sucesivamente hasta reducirlo a una sola cifra. Por ejemplo, la raíz digital del número 96440 sería 5, ya que $9 + 6 + 4 + 4 + 0 = 23 \rightarrow 2 + 3 = 5$.

La clave para el efecto anterior está en el resultado matemático que afirma que
"si un número es múltiplo de 9, su raíz digital es 9".

Por lo tanto, si elegimos las cartas para que su suma sea múltiplo de 9, sabemos que su raíz digital será 9. Si quitamos una carta, su raíz digital se reduce en exactamente esa carta; así para obtener la carta del espectador tan solo hay que calcular su complemento a 9 ... ¡y ya está!

El hecho de hacer por el camino que el espectador forme dos números y los sume, es tan solo para esconder lo máximo posible la matemática e incluir un factor de azar que tan bien le van a estos efectos.

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P.D.: Quiero dedicar este post a mi gran amigo y admirado matemático Anton Aubanell, ya que juntos creamos este pequeño jueguecito mágico-matemático que hoy he querido compartir con todos vosotros.

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Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima segunda edición, también denominada 8.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

(Para poder seguir bien las explicaciones, es necesario haber leído primero el post anterior)

Después de encontrar una maravillosa fórmula para la repartición de cartas (AQUÍ), me planteé si se puede saber qué cartas no cambian su posición después de repartir (si hubiese alguna, claro), ya que puede tener una mayor repercusión mágica.

Y obtuve el resultado siguiente:

Si hacemos una Repartición de orden k, entonces las cartas que no cambian su posición serán las que forman el grupo de "k" cartas del centro. En caso de que no exista tal grupo, entonces ninguna carta mantiene su posición.

A ver si con un par de ejemplos os puedo aclarar la situación:

EJEMPLOS:

a) Supongamos que damos 20 cartas de 4 en 4.
En este caso repartiríamos (20:4) = 5 grupos de 4 cartas, y las cartas del grupo número 3  (el que queda en el centro) son las que no cambia de posición. Es decir, las cartas en posición 9, 10, 11, 12.

b) Supongamos ahora que repartimos 16 cartas de 2 en 2.
En este caso repartiríamos (16:2) = 8 grupos de cartas; con lo cual, no hay ningún grupo que esté en el centro y ninguna carta mantendrá su posición al repartir.

NOTA: En una repartición de orden 1, tan sólo hay una carta que no cambia de posición si tenemos un número impar de cartas, y en este caso, será la que está en el centro. Si tenemos un número par de cartas, ninguna mantiene su posición. Obviedad de sobras conocida en la comunidad mágica.

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También os quiero comentar la cuestión de cuántas cartas repartir de forma que una carta en concreto (la que te interese) no cambie de posición. Os pongo un ejemplo:

Si quiero que la carta situada en la posición 14 no cambie de posición al repartir cartas de 3 en 3, ¿cuántas deberemos repartir?

Si se ha entendido la cuestión anterior, se trata de pensar un poco para deducir la respuesta. Os explico:
Sabiendo que la carta número 14 debe estar en el grupo del centro para que no cambie su posición, deducimos que estará en el grupo formado por las posiciones 13, 14, 15. Así pues, se deberán repartir 9 grupos de 3 cartas, es decir, un total de 27 cartas.

Y aquí el vídeo con el resultado:

¿Y si quiero repartir cartas de 2 en 2 y deseo que la carta en posición 8 no cambie?

De nuevo, no es difícil deducir que habrá que repartir un total de 14 cartas, puesto que las que quedarían en el centro ocupan las posiciones 7, 8.

...dejo los detalles a los lectores para no extenderme en las explicaciones.

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Entiendo que los razonamientos anteriores no son extremadamente difíciles, pero sí suficientemente complejos como para que no se puedan realizar de manera "improntu".

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UNA VISIÓN MÁS MATEMÁTICA...

Fruto de mi manejo con fórmulas matemáticas, os traigo a modo de curiosidad un par de fórmulas que resuelven las cuestiones anteriores directamente:

1) Si hacemos una Repartición de orden k de "N" cartas, entonces habrá cartas que no cambian de posición si y sólo si $(N:k)$ es impar.

En tal caso, habrá exactamente "k" cartas que no cambian de posición y que se obtienen de la siguiente manera:

$\frac{N-k}{2}+r$ ,  dando a r los valores $r=1,2,3 \ldots k$

2) Si al hacer una Repartición de orden k queremos que la carta situada en posición "x"  no cambie su posición, debemos repartir exactamente el número de cartas dado por la fórmula:

$N=2·(x-r)+k$, donde r = resto de la división $(x:k)$

NOTA: Os quiero comentar que si la división $(x:k)$ es exacta, para que funcione la fórmula anterior, no se pone $r=0$, sino $r=k$

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...PARA MAGOS:

Trabajando con las fórmulas anteriores, se deducen algunas curiosidades de las reparticiones que os pueden resultar útiles:

1) Las cartas en posiciones simétricas (misma distancia una del top que la otra del bottom), se mantienen simétricas después de una repartición de orden k.

2) Si las cartas están alternadas por colores, después de cualquier repartición de orden k, se mantienen alternadas por colores (consecuencia de 1) ).

3) Si las cartas están ordenadas "en espejo", después de cualquier repartición que pueda realizarse, vuelven a quedar "en espejo" - leer ESTE POST - (consecuencia de 1) ).

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Mi reflexión final es que creo que este estudio tiene más interés matemático que mágico, pero he considerado interesante e incluso relevante publicar aquí los resultados obtenidos al respecto, ya que uno nunca sabe quién o cuándo puede necesitarlos. Celebraré cualquier aportación que podáis tener a este estudio, tanto a nivel mágico como matemático.

Después de estudiar el "Movimiento Fulves", se me vino a la mente de forma natural estudiar en profundidad la acción de repartir cartas. Quiero traeros aquí los resultados de mi investigación, pues creo que puede tener alguna utilidad mágica y un claro interés matemático. No tengo conocimiento de un estudio semejante al respecto, así que considero este estudio como una primicia que tengo el placer de compartir con vosotros.

Lo que me propuse investigar es a qué posición va a parar cada carta después de repartirlas de cualquier forma en un montón.

Os pongo un ejemplo clarificador:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, ¿en qué posición acabará la carta situada inicialmente en la posición 8 (contando siempre desde dorsos)?

...y obtuve una bella fórmula que permite calcularlo.

Os tengo que comentar que los detalles matemáticos exceden en mucho el propósito de este blog, así pues me los reservo para una posterior publicación en alguna revista especializada.

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Bien, voy a definir una "Repartición de orden k" a la acción de repartir cartas de "k" en "k" en un montón sobre la mesa.

La acción de repartir cartas sobre la mesa de una en una, sería una repartición de orden 1. Así pues, esto generaliza la repartición de cartas.

Aquí os muestro unos ejemplos:

Repartición de orden 1

Repartición de orden 2

Repartición de orden 3

Y obtuve el siguiente resultado:

Si se hace una Repartición de orden k de "N" cartas, la carta situada en posición "x" desde dorsos, irá a parar a la posición:

1) $N-x+k$ ,   si "x" és múltiplo de k

2) $N-x-k+2r$ ,   si "x" no és múltiplo de k

donde "r" es el resto de la división de $(x:k)$

NOTA: Se puede utilizar solo la fórmula 2) siempre que se tenga en cuenta que si "x" es múltiplo de "k", en lugar de coger de resto r = 0, se debe poner resto r = k.

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Puede parecer a priori una fórmula un poco compleja, pero veamos cómo funciona esta fórmula con un par de ejemplos que os mostrarán que no es difícil en absoluto. Sería buena idea que cogieras la baraja y los comprobaras:

EJEMPLOS:

a) Volviendo a la pregunta inicial, si repartimos 21 cartas de 3 en 3, vamos a calcular a qué posición irá a parar la carta en posición 8:

N=21

k=3

x=8

Si dividimos 8:3, tenemos resto r = 2

Aplicamos la fórmula 2) $\rightarrow 21-8-3+2·2 = 14$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 14 contando desde dorsos.

b) Si repartimos 12 cartas de 2 en 2, la carta número 6 irá a parar a la posición:

N=12

k=2

x=6

Al dividir 6:2, tenemos resto r = 0

Aplicamos la fórmula 1) $\rightarrow 12-6+2 = 8$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 8 contando desde dorsos.

Aquí un vídeo del ejemplo anterior:

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DÁNDOLE LA VUELTA A LA FÓRMULA...

Una observación interesante que se deduce de la misma fórmula, es que al hacer una repartición, las cartas intercambian sus posiciones de dos en dos. Me explico:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, hemos visto que la carta en posición 8, acaba en posición 14. Pues bien, la carta inicialmente en posición 14, acabará en la posición 8. Es decir, las dos cartas intercambian sus posiciones. Esto ocurre con todas las cartas.

Este hecho nos permite saber de una manera fácil dónde colocar una carta inicialmente si se quiere que acabe en una posición determinada, que quizás pueda tener más utilidad para montar efectos de magia.

Por ejemplo, si se reparten 16 cartas de 4 en 4, y quiero que la carta del espectador acabe en la posición 5, ¿dónde la deberé colocar inicialmente?

Aplicamos la fórmula anterior y nos queda:

N = 16
k = 4
x = 5
r = 1 (resto de dividir 5:4)

$y=16-5-4+2·1=7+2·1=9$.

Así pues, deberíamos colocar la carta del espectador en el lugar 9 para que acabara en la posición 5 después de repartir (ya que, como hemos dicho, intercambian sus posiciones).

¡Es genial! ¿No creéis?

NOTA: Como consecuencia inmediata se obtiene que al hacer una repartición de orden k dos veces, todas las cartas vuelven a su posición original.

....y no se vayan todavía, ¡aún hay más!... La segunda parte de este estudio: AQUÍ

De la inagotable fuente de ideas que son los juegos que creó y/o recopiló Karl Fulves, me llamó la atención un juego que él llama "Magnetic Force". Quiero poner énfasis en el movimiento que Karl explica en ese efecto porque creo que es realmente ingenioso y sencillo, a la par que bastante desconocido en la comunidad mágica. El método consiste en la localización de dos cartas que están situadas en unas posiciones concretas.

Así, os relato aquí el resultado de mis impresiones y conclusiones al respecto. El movimiento que os menciono es el siguiente (le he llamado "el movimiento Fulves"):

1) Mezcla una baraja (completa o no). Mira y memoriza las cartas situadas en las posiciones 2 y 4 desde dorsos (la top-2 y la top-4).

2) Ahora, con la baraja de dorso, ve dando cartas sobre la mesa de 2 en 2, es decir, por pares. Detente cuando quieras. Ahora tienes un paquetito de cartas sobre la mesa y el resto de la baraja en tu mano.

3) Coge la última carta de las que están en el paquetito de la mesa, dale la vuelta y colócala sobre el resto de la baraja que tienes en tu mano.

4) Seguidamente coge el resto del paquetito de la mesa y devuélvelo sobre la baraja (es decir, encima de la carta vuelta).

5) A continuación, ve repartiendo cartas sobre la mesa de 2 en 2 igual que antes. Cuando pases la carta vuelta - y no antes-, detente cuando quieras.

6) Coge el paquetito de la mesa y devuélvelo sobre el resto de la baraja que está en tu mano.

7) Si ahora extiendes de dorso la baraja, se verá una carta vuelta. Pues bien, las cartas a su izquierda y a su derecha son las que inicialmente memorizaste, es decir, la top-2 y la top-4 iniciales. Simplemente genial, ¿no te parece?


NOTA: Tras el último paso y antes de extender, se puede cortar y completar el corte las veces que se quiera, ya que eso no deshace la posición de las cartas. Además así se introduce un elemento de aleatoriedad que creo que le va muy bien al movimiento Fulves.

Aunque el proceso parece largo, realmente es muy rápido de ejecutar y muy engañoso. Y ya que una imagen vale más que mil palabras y un vídeo vale más que mil imágenes, he grabado un pequeño vídeo con el "movimiento Fulves":

*                *                 *

Mi grano de arena al respecto consiste en el hecho de que el movimiento Fulves se puede generalizar de una manera evidente:

• Si se reparten cartas de 2 en 2, se localizan las cartas top-2 y top-4
• Si se reparten cartas de 3 en 3, se localizan las cartas top-3 y top-5
• Si se reparten cartas de 4 en 4, se localizan las cartas top-4 y top-6
• ...

...y en general,

"si se reparten cartas de "k" en "k", se localizan las cartas top-k y top-(k+2)"

...que no sé si tiene mucha utilidad a nivel mágico por lo artificial de la repartición, pero bueno, ahí lo dejo.


Y para que os podáis hacer una idea de la potencia mágica de este movimiento, el compañero Gabriel Villalonga nos deja aquí su efecto utilizándolo (¡gracias Gabriel!):

Con este movimiento, espero haber puesto algo nuevo en vuestro repertorio. Yo me quedo pensando en algún juego donde aplicar el movimiento Fulves y convertirlo en algo mágico.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

A nivel matemático, el movimiento Fulves no tiene realmente mayor interés. Si lo miráis con calma, os daréis cuenta de que es una recolocación de las cartas que se quieren localizar de una manera muy obvia.

De todas formas, este movimiento me dio pie a plantearme matemáticamente el tema de la repartición de cartas en general, que sí que tiene "más miga"...aunque eso ya os lo explico en el próximo artículo.

Es archiconocido en un dado que los puntos de las caras opuestas, siempre suman 7. Así, la cara opuesta del 6 es el 1, la del 5 es el 2 y la del 4 es el 3.

Pero quizás no es tan conocida la propiedad del dado que os traigo hoy, y eso es precisamente lo que se puede aprovechar para poder utilizarla en algún efecto mágico.

Con un dado normal, realizamos lo siguiente:

1) Nos fijamos en un vértice del dado y sumamos los puntos de las tres caras que lo forman. 

2) Ahora rotamos el dado 90º en cualquier dirección. Nos habrá quedado un nuevo vértice en el lugar del anterior.

3) Sumamos los puntos de esas tres caras que forman el nuevo vértice.

4) Pues resulta que la suma inicial y la suma final siempre tienen diferente paridad, independientemente de cómo se haya hecho el giro. Es decir, si la primera suma era par, después de rotar quedará impar y viceversa.


Por poner un ejemplo:

Me fijo en el vértice que forman las caras 2, 3, 6 cuya suma es 11 (IMPAR). Ahora hago una rotación de 90º en el dado y me queda un nuevo vértice cuyas caras son ahora 3, 5, 6, cuya suma es 14 (PAR).

*                       *                      *

Lo interesante de esta propiedad es que, junto con el Principio de Paridad (que ya os expliqué en otra entrada del blog), hace que si se rota el dado un número par de veces, se mantenga la paridad de la suma; y si se rota un número impar de veces, cambie la paridad de la suma de las tres caras.

Es decir, si en un vértice la suma es impar y se hacen 5 rotaciones de 90º en el dado, la suma de las caras del nuevo vértice será par.

Como idea, se podría hacer un pequeño efecto de magia de la siguiente forma:

1) Decimos a un espectador que tire el dado. 

2) Nosotros nos fijamos en un vértice en concreto y sumamos en secreto las tres caras que lo forman (supongamos que dicha suma es par). En este momento nos giramos para no ver. 

3) Decimos al espectador que realice, por ejemplo, 5 rotaciones de 90º en el dado. 

4) Sin volver todavía a mirar, le pedimos al espectador que decida si rotar una vez más el dado o que lo deje cómo está, pero que no nos diga nada.

5) Al volvernos, podemos saber perfectamente si ha decidido rotar el dado una última vez dependiendo de si la suma de las caras en el vértice en el que nos fijamos es par o impar respectivamente.

6) Para potenciar el impacto mágico, se puede repetir varias veces con diferente número de rotaciones. 

 

Lo anterior no pretende, en absoluto, ser un efecto de magia en sí mismo, sino una pequeña idea para fomentar vuestra imaginación y poder aplicar esta sencilla y desconocida propiedad de los dados. Así que, ¡al ataque!

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Creo que la mejor manera de entender la propiedad anterior es utilizando la Teoría de grafos. Un grafo no es más que una representación gràfica de una situación.

Aquí os dejo el grafo que representa un dado, donde cada nodo representa un vértice del dado, cada línea es una arista y el número que aparece en cada nodo representa la suma de las tres caras que forman ese vértice:

Grafo que representa un dado

Pues bien, pensando un poco deducimos que si elegimos un vértice, hacer cualquier giro de 90º en el dado representa ir a un vértice de los tres que estan unidos por una línea (arista). De esta manera vemos claramente en el grafo que si elegimos cualquier nodo, los otros tres que estan unidos con él son de paridad diferente. Y ya está.

Creo que es una demostración sencilla y elegante de la propiedad que os he comentado en este post.

Os quiero hablar de hoy sobre un efecto mágico muy sencillo que leí en el fantástico libro de Xuxo Ruíz "Educando con Magia", pero que ya aparace en el libro "Smart Science Tricks" de Martin Gardner. El efecto se hace llamar "Linking clips" que se ha traducido como "Los clips enamorados".

Lo curioso es que es un efecto totalmente automático, pero que resulta enormemente sorprendente para el que no lo conoce. En general, tiene un gran impacto mágico para los niños y produce, cuanto menos, curiosidad en los mayores.

Os dejo aquí con el vídeo del efecto presentado por Iván Santacruz:

Bonito, ¿verdad? Pues bien, lo que casi seguro no es tan conocido es la extensión mágico-matemática que ha hecho el imaginativo matemático japonés Tadashi Tokieda de este clásico efecto. Ha generalizado el efecto y profundizado en las consecuencias matemáticas que éste tiene.

Os traigo aquí el vídeo donde explica sus extensiones al efecto (está en inglés). Es un poco largo, pero creo sin duda que son 24 minutos que merecen mucho la pena:

*                   *                 *

Quería haceros partícipes de este vídeo porque me llamó mucho la atención cuando lo vi y pensé que es posible que podáis sacarle partido mágico o, si más no, os aporte alguna idea para vuestros efectos y rutinas.


LA MATEMÁTICA QUE HAY DENTRO

Este efecto (y sus extensiones) se explica gracias a una rama de la matemática llamada "Topología" que estudia las propiedades fundamentales de los objetos sin prestar atención a la forma del objeto en sí (dicho muy burdamente).

Gracias a la topología es posible hacer cosas tan imposibles como unir dos clips sin tocarlos o hacer nudos extraños, como el "Nudo Borromeo" como se comenta en el vídeo de Tadashi.

En definitva, aquellos que os interese la Topología, seguro que encontráis un divertimento magnífico en este efecto clásico de magia y seguro que os abre un abanico de cuestiones e investigaciones muy interesante.

Espero que lo disfrutéis.

Siendo sincero, tengo que decir que los efectos de magia que versan sobre "apuestas" contra el espectador, nunca me han llamado mucho la atención. Siempre me han parecido más un divertimento que pura magia. Obviamente, siempre hay excepciones como por ejemplo el maravilloso efecto de Pepe Carrol "El incauto tramposo". 

De todas maneras, descubrí un efecto de apuestas con dados que tiene cierto interés matemático y que quiero compartir con vosotr@s. Se trata de un juego de tres dados un poco "especiales". Aquí los podéis ver:

¿Qué tienen de mágicos?

Estos dados tienen una peculiaridad que transgrede la intuición y es la siguiente:

1) el Rojo gana al Azul

2) el Azul gana al Verde

3) el Verde gana al Rojo

NOTA: Aquí, el concepto de "Ganar", es un concepto de probabilidad, es decir, un dado gana a otro porque tiene más probabilidad de ganar (obviamente, eso no significa que gane siempre, aunque sí "más veces").

Pero además, estos dados en concreto, tienen otra interesante propiedad, y es que si tiro cada dado 2 veces y sumo los resultados... ¡entonces el círculo anterior se invierte! Es decir:

Este hecho se aprovecha para poder realizar un efecto de magia, cuanto menos, curioso (es cuestión de elegir correctamente el dado para jugar).

Os dejo el vídeo con el efecto realizado a cargo de los chicos de "Scam School" (está en inglés, pero se entiende perfectamente):

Espero que podáis aprovechar algo de este post para incorporarlo a vuestro repertorio y/o actuación.

LA MATEMÁTICA

A este comportamiento de los dados le llamamos en matemáticas, "no transitivo"; y por eso a estos dados se les conoce con el nombre de "dados no transitivos".

Esta es una propiedad que en general es muy poco intuitiva, ya que si A "es más" que B y B "es más" que C, la intuición nos dice que A debe "ser más" que C, pero en este caso no es así.

No es un ejercicio difícil calcular las probabilidades de ganar de cada dado; de todas formas os pongo aquí los cuadros con todas las posibles jugadas para que se vea claramente la probabilidad que tiene cada dado de ganar al otro:

Se observa que:

a) P(Rojo > Azul) = 21/36 (es decir, un 58,34%)

b) P(Azul > Verde) = 21/36 (es decir, un 58,34%)

c) P(Verde > Rojo) = 25/36 (es decir, un 69,45%)

Os dejo a vosotros que calculéis las probabilidades de cada dado cuando se tira dos veces y se suman los resultados.

NOTA: No son estos los únicos dados no transitivos que existen, por ejemplo, también son dados no transitivos los siguientes:

Dado A con lados: {2, 2, 4, 4, 9, 9}
Dado B con lados: {1, 1, 6, 6, 8, 8}
Dado C con lados: {3, 3, 5, 5, 7, 7}

pero lo que sí es cierto es que los que os he presentado al principio consiguen la máxima "probabilidad media" de ganar.

Para una información mucho más detallada sobre estos curiosos dados podéis dirigiros aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Nontransitive_dice

https://plus.maths.org/content/non-transitiv-dice

Stewart James

Os quiero hoy hablar de un principio creado por Stewart James allá por el año 1935. Tuvo en su momento una gran repercusión en el mundo mágico y versiones magníficas vienen de la mano de magos de la talla de John Bannon o Nick Trost; pero últimamente creo que son pocos los magos que lo utilizan para sus creaciones.

Es por ello que quiero hacerle un poco de publicidad a este fantástico principo entre la comunidad mágica, ya que se trata de una verdadera joya de la magia basada en principios matemáticos.

Sin más rodeos paso a explicaros el principio:

1) Coge una baraja completa sin comodines (52 cartas) y mezcla bien. 

2) Vas a ir sacando cartas de dos en dos y realizarás lo siguiente:

     a) Si las dos cartas son negras, las dejas en un montón a la izquierda.

     b) Si las dos cartas son rojas, las dejas en un montón a la derecha.

     c) Si las dos cartas son de distinto color, las dejas en un montón en el centro. 

3) Ve "repartiendo" así todas las cartas de la baraja hasta que se te acaben. 

4) Al final, debes tener tres montones: Uno solo con cartas negras, otro solo con cartas rojas y otro con cartas rojas y negras. Así: 

 

5) Cuenta las cartas que hay en el montón de las negras. Cuenta las cartas que hay en el montón de las rojas......déjame adivinar: ¡Hay el mismo número de cartas!

NOTA 1: No es necesario ejecutarlo con la baraja completa, basta con que haya el mismo número de cartas negras que rojas. Es decir, el principio funcionaría igual con 18 cartas donde haya 9 cartas negras y 9 rojas.

NOTA 2: Si de la baraja faltan, digamos, 4 cartas negras, entonces en el paquete de las negras habrá exactamente 4 cartas menos que en el de las rojas.

*               *              *

El principio puede ser un efecto, a mi juicio, muy potente; pero fue cuando lo vi la primera vez en el juego homónimo ("Miraskill")  del mismo Stewart James, que me fascinó realmente. Es de hecho la "Nota 2" que os he puesto anteriormente, la que se aprovecha para crear un efecto verdaderamente imposible.

Para que os hagáis una idea os dejo el juego ejecutado (y explicado) por mi admirado Gustavo Otero:

También os dejo la versión que el gran John Bannon tiene de este genial principio (está en inglés):

 http://www.johnbannonmagic.com/images/bannon_view_to_a_skill_ebook.pdf

Muchos enlaces encontraréis al respecto de este principio por la web, pero dejadme que os recomiende esta entrada del fantástico blog de Pedro Alegría donde hay una versión de este principio combinado con el Principio de Gilbreath:

http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/10/gilbreath-miraskill.html


Sin más, espero que este sencillo y potente principio os sea de mucha utilidad para que vuestros efectos sean más imposibles si cabe.


EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

La explicación, si se mira con calma el principio, es bastante evidente. Pero realmente pasa totalmente desapercibida para el espectador:

En primer lugar, es claro que en el montón del centro (el de rojas y negras) hay igual número de cartas negras que de rojas, porque así se ha formado.

Así pues, el resto de negras que quedan también es igual al resto de rojas que quedan (ya que hay igual número de rojas que de negras), y están en los montones de la izquierda y de la derecha respectivamente.

Por poner un ejemplo clarificador:

En una baraja completa hay 26 cartas rojas y 26 cartas negras.
Si en el montón del medio hemos dejado un total de 28 cartas, habrá 14 rojas y 14 negras.
Así pues, en el montón de la izquierda habrá 12 negras y en el de la derecha habrá 12 rojas....elemental ¿no?

ACAAN

Desde que deambulo por el mundo de la magia y las matemáticas me han atraído los juegos de "Carta al Número" (en inglés se les conoce como juegos ACAAN, que son las siglas de "any card at any number"). Son juegos donde un espectador (o varios) elige una carta y un número, y mágicamente la carta aparece en la posición que coincide con el número que eligió el espectador.

Tengo que decir que uno de los magos que mejor ejecuta, a mi juicio, este tipo de efectos es el genial Dani DaOrtiz.

He tenido el placer de verlo en directo y es magnífico; pero mejor juzgad vosotros mismos:

Al respecto, os quiero hoy traer un jueguecito que encontré de Karl Fulves en su libro "My best self working card tricks". El efecto se llama "Hidden Power" y consiste en una carta al número automática. Esconde en su interior una propiedad matemática muy sencilla e interesante que os quiero comentar.

Os relato el juego (sin la presentación) para que lo podáis seguir con vuestra baraja:

1) Coge una baraja completa sin comodines (de 52 cartas) y dile a un espectador que la mezcle. 

2) Ahora dile que coja un paquetito de pocas cartas, las cuente en secreto y se guarde dicho paquetito. 

3) Haz que el espectador mire y recuerde la carta de la baraja que está situada exactamente en la posición del número de cartas que cogió (es decir, si en su paquetito hay 7 cartas, que mire y recuerde la carta que está en la posición 7 de la baraja desde dorsos).

4) Pide a otro espectador que te diga un número. Pongamos que dice el 37. 

5) Pues bien, ahora anuncia que serás capaz de situar la carta del primer espectador -que no sabes cual es ni donde está- en la posición 37. 

6) En secreto, y con la baraja de dorso, ve pasando cartas de arriba a abajo mientras cuentas a partir del número 37, es decir, cuenta mentalmente 38, 39, 40, 41, etc. Al tiempo que cuentas pasa una carta por número de arriba a abajo. Cuando llegues al número 52, para y saca la baraja. 

7) Aunque parezca increíble, la carta situada ahora en la posición 37 es exactamente la que miró el primer espectador.

NOTA: El paso 6) es equivalente a hacer un corte de la baraja con  52-37 = 15 cartas, ya que contar a partir de un número hasta 52 es lo mismo que restar ese número de 52.

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La matemática que hay detrás del juego se basa en que una carta situada en una posición particular, solamente con un corte la puedes situar en cualquier posición de la baraja. Tan solo conviene saber de cuántas cartas se compone el corte. Pues eso exactamente es lo que os quiero explicar a continuación:

Supongamos que tenemos un paquete de "N" cartas y una carta en posición "x" la quieres llevar a posición "y". ¿Cuántas cartas hay que pasar de arriba a abajo (es decir, hacer un corte)?

Pues habrá que mover de arriba a abajo (sin invertir) $N+x-y$ cartas.

Por ejemplo, para un paquete de 52 cartas, si una carta está en la posición 7 y quiero que vaya a la posición 20 habrá que pasar 52+7-20 = 39 cartas de arriba a abajo (o realizar un corte de 39 cartas).

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El caso del juego de Karl Fulves, es un caso especial y muy interesante. El hecho es que se parte de una baraja de N=52 cartas y el espectador coge un paquetito de "x" cartas, con lo cual en la baraja quedarán (N-x)=(52-x) cartas. De la baraja se mira la carta situada en la posición "x" y habrá que llevarla a la posición "y" nombrada por otro espectador, así pues, y en base a la proposición anterior, habra que mover de arriba a abajo:

$(N-x)+x-y = (52-x)+x-y = 52 - y$ cartas.

... que si os fijáis NO depende del número "x" de cartas del paquetito del primer espectador. Aquí radica la maravilla y la originalidad del juego de Karl Fulves: aplicar sabiamente una propiedad tan sencilla como la anterior.

Quiero hacer notar que este juego generaliza un post anterior que llamé "Principio N-1", ya que de un paquete de "N" cartas, si se quisiera llevar la carta del espectador a top, según la fórmula anterior habría que mover exactamente "N-1" cartas.

Espero que esta reflexión que aquí dejo plasmada os pueda servir para ingeniar - como Karl Fulves - algún efecto mágico interesante.

APÉNDICE MATEMÁTICO

A propósito de lo anterior, aquí tenéis una pequeña reseña de lo que significa matemáticamente hacer un corte en la baraja:

Si tenemos "N" cartas y la carta está en una posición "x", al mover de arriba a abajo "k" cartas (es decir, hacer un corte de "k" cartas), la carta va a parar a la posición ("y") siguiente:

1) Si $k<x \rightarrow y = x-k$

2) Si $k \geq x \rightarrow y = N+x-k$

De aquí resulta todo lo que os he explicado en este post.

El post de hoy quiero dedicarlo al tratado sobre magia recreativa más antiguo publicado en lengua castellana. Se trata de los "Diálogos de Aritmética práctica y especulativa" del Bachiller Juan Pérez de Moya, que vio la luz allá por el año, nada más y nada menos, de 1562. En concreto, me refiero al tomo noveno de la colección, que, escrito en forma de diálogo, contiene numerosas curiosidades matemáticas y en consecuencia, efectos de magia matemática.

En la primera parte del libro, el Bachiller Juan Pérez de Moya defiende la utilización de la matemática en la vida cotidiana, impresionando con sus razonamientos a varios estudiantes.

En la segunda parte es donde el autor de libro "juega" con la matemática, y así ofrece a sus estudiantes algunos enigmas y adivinaciones de números pensados, para producir en sus estudiantes la sensación de verdadera magia.

Es por este motivo que he decidido incluir un artículo como éste en mi blog, ya que es el primer tratado en castellano donde se puede decir que aparecen juegos de magia matemática.

Os dejo aquí, gracias a GoogleBooks, una vista previa de la colección. A partir de la página 193 de la colección podréis encontrar el "Libro Nono" al cual hace referencia este post:

A modo de ejemplo os traigo un par de curiosidades del libro:

1- En la página 207 se puede encontrar una versión de "La Cuenta Australiana" en su versión generalizada (en este caso se hace con 30 elementos y eliminando uno cada 9 pasos).

2- También hay un efecto de adivinación con dados. Os pongo aquí la traducción del efecto por Rafael Rodríguez Vidal en la edición revisada que publicó en 1987:

*                    *                      *

Estamos ante un libro que durante más de doscientos años estuvo siendo publicado en sucesivas ediciones y he querido hacerle un poco de publicidad desde este blog.