Curvas mágicas

Después de una de mis charlas, al final de la actuación, se me acercó un profesor de entre el público y me hizo un pequeño efecto de magia basado en matemáticas. Me sorprendió muy gratamente ya que lo desconocía por completo.

Lo he querido incluir aquí en el blog, no ya por su impacto mágico (que es cuanto menos curioso), sino por basarse en un concepto matemático, a priori, lejos de la magia, lo que puede alejar el efecto de su verdadera explicación y producir una buena dosis de sorpresa.


Tan sólo necesitas papel y un bolígrafo para poder presentarlo.

Dile a un espectador que realice lo siguiente, en secreto, si enseñarte nada (es importante que entienda y siga muy bien las instrucciones):

1) Que dibuje (sin separar el lápiz del papel) una curva cualquiera cerrada y que se corte a sí misma las veces que quiera. Por ejemplo, algo así:

2) Que etiquete los puntos de corte como quiera. Así:

3)  Que elija un punto cualquiera (por ejemplo, el "A"), una dirección cualquiera, y vaya avanzando hasta recorrer toda la curva y volver al punto de partida, anotando los puntos por los que pasa:

En el ejemplo, la secuencia de letras por donde se pasa es la siguiente:

ABFEDACFEDBC

4) Ahora dile que elija un par de letras adyacentes (es decir, que estén juntas) y las intercambie. Por ejemplo, que coja el par "DB" y le dé la vuelta, resultando "BD". 

5)  Hasta aquí el espectador lo ha hecho todo en secreto. Por último, dile que te enseñe la secuencia de letras que le ha quedado. En nuestro ejemplo quedaría:

ABFEDACFEBDC

6) Sin más información que esa, anuncia que serás capaz de adivinar qué dos letras ha intercambiado. Para ello realiza (en secreto) lo siguiente:

Separa la secuencia de letras en dos sub-secuencias, separando las posiciones impares de las pares, de esta forma:

- Letras en posiciones Impares:    A_F_D_C_E_D_

- Letras en posiciones Pares:         _B_E_A_F_B_C

Pues resulta que las únicas letras que se repiten en cada sub-secuencia, son exactamente las que intercambió el espectador. En nuestro ejemplo, la D y la B. ¿No es sorprendente?

NOTA 1: Es muy importante que el espectador no se equivoque en la secuencia, así que es deseable comentarle que se asegure que lo hace bien y que entiende las instrucciones ya que tú no puedes controlar lo que va haciendo. Quizás poner un pequeño ejemplo como explicación de lo que debe hacer sea buena idea.

NOTA 2: El espectador debe seguir la curva tal cual se dibujó, sin cambios "extraños" de direcciones.

NOTA 3: En el caso en que la curva dibujada haya un "bucle" en un punto, cuando el espectador recorra la curva aparecerá dos veces la misma letra, por ejemplo, ...DD... (que corresponde al punto donde esté el bucle). Y en el caso extremo que el espectador decida "intercambiar" esa pareja, evidentemente no aparecería repetida en las sub-secuencias, que sería la pista definitiva para adivinar que ha intercambiado la misma letra y que además hay un bucle... y tendríamos una ¡doble adivinación!

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Tengo que decir que gracias a un lector he podido encontrar la fuente para esta propiedad y resulta que no me sorprende que sea el gran Martin Gardner (quién si no) en su libro "New mathematical diversions". Así pues, creo que con una buena presentación se puede tener un efecto de mentalismo muy original y bastante desconocido, que puede llegar a ser muy desconcertante.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

En cualquier curva cerrada que se dibuje, si os fijáis, los puntos de intersección tienen dos líneas de entrada y dos de salida (se dice que tienen grado 4). Así pues al recorrer toda la curva, siempre se pasará por cada punto exactamente 2 veces.

Lo curioso (y lo que hace que el efecto funcione) es que siempre se pasa por los puntos en paridad diferente. Es decir, si por un punto se pasa en posición par, la siguiente vez que se pase por él será en posición impar o viceversa.

Tomando el ejemplo anterior, por el punto "F" se pasa en 3er lugar (impar), y depués en 8º lugar (par). Sus posiciones tienen diferente paridad. Y esto ocurre con todos los puntos (letras).

Con lo cual, en la secuencia inicial, separando las posiciones pares e impares de las letras, nunca se repetirá ninguna y aparecerán todas las letras en las dos sub-secuencias una sola vez:

ABFEDACFEDBC

Letras en posiciones Impares:    A_F_D_C_E_B_

Letras en posiciones Pares:         _B_E_A_F_D_C

De esta manera, cuando el espectador intercambie dos letras adyacentes, éstas serán las únicas que se repetirán en cada sub-secuencia.

Tan sencillo como genial, ¿no os parece?

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

Realmente en el efecto, lo que le pedimos al espectador, es que dibuje un "ciclo euleriano" en la curva, es decir, recorrer todo el dibujo sin pasar dos veces por el mismo sitio y sin separar el lápiz del papel. Y gracias a como está dibujado, siempre se puede realizar. Supongo que todos recordáis algún pasatiempo de este tipo, ¿verdad?

Si miramos una curva cerrada como un grafo, entonces sería un grafo cerrado, conexo y plano 4-regular (cada vértice tiene grado 4, es decir, 4 aristas), y para este grafo, se cumpliría la Fórmula de Euler:

Regiones + Intersecciones - Segmentos  = 2

En nuestro ejemplo tenemos:

Regiones (azul) = 8
Intersecciones (rojo) = 6
Segmentos (verde) = 12


...que también es un poco mágico, ¿no?

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P.D.: Quiero dedicar este post al profesor Antonio José, professor del Instituto Montserrat Miró de Montcada i Reixac en Barcelona, el cual me enseño este efecto, y agradecer públicamente su generosidad. Espero que lo valoréis y lo podáis disfrutar tanto como yo.

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Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima octava edición, también denominada 11.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.