Hoy os traigo un clásico, el "Three card monte" en una versión completamente automática. Es un jueguecito muy sencillo que aparece en uno de los "Impuzzibilities" de Jim Steinmeyer, una de esas personas que tiene un ingenio especial. Me llevé una grata sorpresa al estudiarlo en profundidad para entender su funcionamiento interno.


Así llegué a la conclusión que con una buena presentación, creo que se podría crear algún efecto interesante. Os explicaré mi propuesta.


Os describo el juego en la versión que llegó a mis manos:

1) Coge tres cartas cualesquiera, mira y recuerda una de ellas, y colócala en medio de las otras dos haciendo un montoncito de tres cartas boca abajo que sujetas en tus manos.

2) Ahora piensa un número, para que no se haga muy largo, entre 1 y 10.

3) Ahora pasa de arriba a abajo y de una en una, tantas cartas como el número que has pensado.

4) Repite lo anterior, con tu número pensado, otra vez más.

5) Ahora, pasa una vez más de arriba a abajo una carta por cada letra de la palabra "Magia".

6) Para perder tu carta aún más, utiliza de nuevo tu número secreto para pasar cartas de arriba a abajo igual que hiciste al principio.

7) A pesar de que la carta que miraste está perdida... ¡Te puedo decir que es la última de las tres!

Y aquí tenéis un audio de Sarah Bright donde explica el juego paso a paso para hacerlo de forma online (está en inglés):

NOTA 1: Creo que el efecto mejora mucho si en el último paso se le dice al espectador que se quede en la mano la carta que coincide con su número secreto, en lugar de pasarla también abajo; ya que esa será precisamente la carta elegida. Esta revelación me parece mucho más interesante. 

NOTA 2: Cuando se hace "deletrear" la palabra "MAGIA", obviamente se puede substituir por cualquier otra palabra de 5 letras.

NOTA 3: La posición final de la carta solamente depende de la palabra a deletrear, ya que los otros tres conteos dejan la carta en su posición original (ver explicación matemática). De manera que se puede modificar a gusto la posición final de la carta para su revelación.

...este artículo viene del anterior: Descifrando los dados (1ª parte) 

 

Antes de leer este post es necesario haber leído previamente el anterior:

Descifrando los dados (1ª parte) 

Recordemos los números que forman cada dado:

• Dado 1: 158, 455, 752, 950, 653, 356
• Dado 2: 890, 197, 692, 494, 593, 296
• Dado 3: 962, 863, 764, 665, 368, 269
• Dado 4: 780, 681, 285, 384, 186, 582
• Dado 5: 329, 428, 527, 626, 725, 923

Obviamente los números no están elegidos al azar y siguen un patrón (muy indetectable) que os quiero explicar para que podáis crear vuestros propios números.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA y ELECCIÓN DE LOS NÚMEROS

Supongamos que numeramos los dados del 1 al 5, de manera que llamaremos $x_iy_iz_i$ a un número cualquiera del Dado "i" (con i = 1,2,3,4,5).

Tiramos los cinco dados y queremos que el resultado de la suma (ABCD) cumpla que AB = 50 - CD para poder calcularla casi inmediatamente. Es decir AB + CD = 50 (A, B, C, D son dígitos).

Para ello, quiero que penséis que tenemos 5 números cualquiera de tres cifras y los sumamos con el algoritmo tradicional de la suma. Dos condiciones son necesarias:

a) Para que la suma de sus unidades coincida con los dos últimos dígitos de la suma total (CD) , se debe forzar a que la suma de los dígitos de las decenas $y_1+y_2+y_3+y_4+y_5$ sea un número acabado en "0" (yo elegí que sumaran 30).

b) A partir de aquí, si por ejemplo, la suma de las decenas $y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=30$ entonces, tengo que pensar que "me llevo 3" a la suma de las centenas (recordad el algoritmo de la suma).

Escribiendo estas dos condiciones matemáticamente, los números que se eligen para los dados deben cumplir que:

1) $y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=30$ 

2) Para que AB + CD = 50 (recordad que "me llevo 3" del paso anterior):

$$(x_1+x_2 +x_ 3+x_4+x_5 +3) +(z_1+z_2+z_3+z_4+z_5) = 50 $$

es decir:

$$(x_1+z_1)+(x_2+z_2)+(x_3+z_3)+(x_4+z_4)+(x_5+z_5) = 47$$ 

Y ahora se trata de elegir para cada dado, las ternas $x_iy_iz_i$ que cumplan con las condiciones anteriores. 

Lo que yo elegí para mis dados es:

• Dado 1: $y_1=5$ y $(x_1+z_1)=9$
• Dado 2: $y_2=9$ y $(x_2+z_2)=8$
• Dado 3: $y_3=6$ y $(x_3+z_3)=11$
• Dado 4: $y_4=8$ y $(x_4+z_4)=7$
• Dado 5: $y_5=2$ y $(x_5+z_5)=12$

Para clarificar esto, fijaos en los números que componen el Dado 1: las decenas siempre es 5, y la suma de unidades + centenas de los seis números que lo forman siempre es 9.

Ya os he mencionado que yo me incliné por esta distribución de números porque así, utilizando los tres primeros dados también se puede calcular la suma rápidamente utilizando el mismo método (haciendo AB=30-CD). De esta manera se puede tener un efecto con dos fases en orden creciente de dificultad.

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GENERALIZACIÓN

En general, si tenemos "k" dados (con el número de caras que se quiera), para crear los números de tres cifras $x_iy_iz_i$, se deben cumplir las siguientes dos condiciones:

1) $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}y_{i}=10a$

2) $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(x_{i}+z_{i})=N-a$

...de esta manera, para calcular la suma de los números en la manera que se explicó en el efecto, se utiliza la diferencia a "N".

En el caso de mis dados, utilicé a = 3, N = 50 para los cinco dados, y a = 2, N = 30 si se utilizan los primeros tres dados.

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Todo lo expuesto nos da muchas posibilidades de elección de los números para los que también funciona este efecto de mentalismo: no hace falta que sean 5 dados, podrían ser más o menos; y si no utilizáis dados, no hace falta que cada condición la compongan 6 números, podrían ser más o menos. Todo esto lo que ofrece es un gran margen de elección para crear diferentes efectos basados en el mismo principio. ¡Absolutamente versátil!

Tengo que reconocer que el mentalismo es una disciplina que no domino mucho, pero ciertamente es un campo donde la magia matemática tiene mucha aplicación. Hoy quiero compartir con vosotros un efecto matemático que me sorprendió debido a su aparente imposibilidad y a su sencillez. Lo estuve estudiando y di con la explicación matemática, la generalización del principio que lo hace posible y una versión propia.

El efecto es un juego de mentalismo donde hay cinco dados cúbicos con seis números de tres cifras en cada dado. Los dados se lanzan y el mago es capaz de calcular la suma de los cinco números que aparecen de forma inmediata. Lo interesante es que se puede repetir las veces que se quiera y la suma es diferente cada vez.

Ni más, ni menos. 

A continuación os explico qué números forman los dados (versión propia) y cómo se puede calcular dicha suma:

1) Los números que componen cada dado son los siguientes:

2) Para calcular la suma de los cinco números que aparecen al lanzar los dados, primero se debe sumar sus unidades (CD) y segundo hacer la diferencia de ese resultado a 50 (AB=50-CD). El resultado de la suma será la unión de esas cuatro cifras ABCD.

Ejemplo:

Imaginemos que al lanzar los dados, los números que resultan son:

$752, 296, 863, 186, 725$

a) Sumamos las unidades: 2 + 6 + 3 + 6 + 5 = 22 (CD)

b) Diferencia hasta 50: 50 - 22 = 28 (AB)

c) Resultado de la suma: 2822 (ABCD). 

...que efectivamente coincide con la suma de los cinco números (752 + 296 + 863 + 186 + 725 = 2822)

*En el caso que la suma de las unidades tenga sólo un dígito, se le añade un 0 delante: así si la suma es 7, pondremos CD = 07.

NOTAS:

1) He construido los dados de manera que se puede realizar el efecto también con 3 dados (los tres primeros, azules). La única diferencia es que para calcular el resultado, en el segundo paso se debe hacer la diferencia a 30. De esta forma se puede presentar el efecto en dos fases: la primera con 3 dados (diferencia a 30) y una segunda con los 5 dados (diferencia a 50) aumentando así la imposibilidad del efecto.

2) A mi juicio, lo más interesante de este efecto y que lo diferencia con otros similares es que el método es prácticamente indetectable y se puede repetir cuantas veces se quiera ya que el resultado es diferente cada vez (¡potencialmente hay 6⁵ = 7776 resultados diferentes!...aunque en realidad hay menos).

3) No hace falta que los números estén dispuestos en dados, se puede tener preparados papelitos en bolsas o en tarjetas y que sean elegidos por los espectadores, pero creo que el azar que dan los dados aporta un valor mágico añadido a estos juegos tan matemáticos.

Sorprendente, ¿no os parece? Ahora con una buena presentación creo que tenéis un efecto muy interesante...

En el siguiente post os detallo cómo se eligen los números que conforman los dados así como su explicación matemática: Descifrando los dados (2ª parte)

APÉNDICE PARA MAGOS:

Tengo que decir que la versión original (de Royal V. Heath creado en 1927 bajo el nombre de "The Di-Ciphering Trick") utiliza otros números diferentes y no se puede realizar con tres dados. Os dejo aquí unos cuantos enlaces de interés para más detalles de la versión original:

Versión original y explicación:

https://islandsofmath.wordpress.com/2015/01/20/di-ciphering-dice/

Versión interactiva:

https://www.magicmgmt.com/gary/oi/index.php?iframe=https://www.magicmgmt.com/gary/dice/heath_dice.html

Extensión a 8 dados:

https://www.magicmgmt.com/gary/oi/index.php?iframe=https://www.magicmgmt.com/gary/dice/heath_dice_expanded.html

*                                   *                                   *

Desde aquí quiero agradecer a Lorenzo Pedemonti y Álex Nebur ya que este efecto me llegó a través de ellos mediante un artículo de la revista "emagic" de la Entidad Mágica Argentina (EMA) con título "Los dados de Odronoffs" (Odronoffs fue un mentalista argentino de mediados del siglo XX).

Me encanta la sencillez, aunque "no hay que confundir la sencillez con la simpleza" como dijo el gran René Lavand. Me gustan los principios matemáticos que son muy sencillos (pero sumamente versátiles) lo que permite producir efectos con un gran impacto mágico. Realmente los principios más sencillos son los que más fácilmente se pueden aplicar y por ello mucho más útiles a nivel mágico.

El que os traigo es ampliamente utilizado por magos de manera implícita, pero que no he visto anteriormente enunciado como principio, así que me he permitido la libertad de generalizarlo y ponerle nombre: "Principio de la distancia fija".

Coge una baraja y realiza lo siguiente:

1) Haz dos montones (de dorso) con el mismo número de cartas en cada uno (supongamos 12 cartas cada uno). Mézclalos bien.

2) Dale la vuelta a la última carta de cada montón (la bottom) y coloca uno sobre el otro. Ahora debes tener un tan sólo un paquete de 24 cartas con dos cartas vueltas.

3) Corta y recompón las veces que quieras.

4) Ahora corta el paquete por el medio para hacer de nuevo en dos montones de 12 cartas, pero SIN intercambiar el orden de las cartas.

5) Pues bien, las cartas vueltas están las dos en la misma posición (desde top) en sus respectivos montones. Por ejemplo, si en un montón la carta vuelta está en la posición 5 desde top, la otra carta vuelta del otro montón también estará en la posición 5 desde top.

Simple y obvio, ¿verdad? 

El ejemplo anterior está extraído de un juego del genial Karl Fulves llamado "Child's play", donde son dos cartas elegidas por dos espectadores y sólo una de ellas se pone vuelta. La otra se descubre al final del efecto en la misma posición que la que está vuelta.

*                    *                  *

Como he dicho anteriormente, he generalizado la propiedad anterior y así ha surgido el siguiente principio.

PRINCIPIO DE LA DISTANCIA FIJA

En un paquete de "2N" cartas, si dos cartas están a distancia "N" una de la otra, al separar en paquete en dos montones iguales (de "N" cartas) sin intercambiar el orden, las cartas quedan en la misma posición (altura) en sus respectivos paquetes.

En el ejemplo anterior se han colocado dos cartas a distancia 12 (=N) en un paquete de 24 (=2N) cartas

NOTA 1: Una vez situadas las cartas a la distancia requerida (N), y debido a que el paquete tiene el doble de cartas (2N), se puede cortar y recomponer las veces que se quiera, ya que la distancia entre las cartas siempre se mantiene fija (de ahí el nombre que le he dado al principio).

NOTA 2: Creo que lo más importante es pensar la forma de colocar las cartas a la distancia requerida de una manera disimulada o poco obvia para el espectador.

Para que veáis la potencia de esta propiedad, os dejo un efecto clásico donde se utiliza de una manera magistral (aquí se utiliza el principio con toda la baraja, $2N=52$ cartas, y se colocan las dos cartas a distancia $N=26$):

Y aquí os dejo un pequeño efecto de creación propia donde utilizo el principio anterior (con $2N=32$ cartas y se colocan las dos cartas a distancia $N=16$) y el principio de la "Mezcla Antifaro" en la revelación de las dos cartas:

Ya dediqué un artículo a la magia que puede realizarse utilizando alguna propiedad matemática del número 9 aquí.

Hoy, gracias a mi estimado amigo y divulgador Anton Aubanell, tengo el placer de poder explicaros un pequeño jueguecito mágico-matemático basado también en el, ya de por sí mágico, número 9:

1) Coged las cartas del 1 (As) al 9. No importa el palo. 

2) Ahora le damos a elegir a un espectador una de las cartas en secreto. Pongamos que elige el 4. 

3) Con las cartas restantes, y también en secreto, le decimos que forme dos números con el número de cifras que se quiera. Por ejemplo, podemos formar los números 183 y 96257 (o cualquiera otros).  La situación sería la siguiente (esto no lo ve el mago):

4) Le pedimos al espectador que sume esos dos números y nos diga el resultado. En nuestro caso el resultado es 96440. 

5) Ahora sumamos mentalmente los dígitos del resultado hasta reducirlo a una sola cifra. Lo que le quede al resultado para llegar a 9 (o restar el resultado a 9), coincide con la carta que se eligió. 
Es decir, en nuestro ejemplo: $9 + 6 + 4 + 4 + 0 = 23 \rightarrow 2 + 3 = 5$.
Así la carta elegida sería $9 - 5 = 4$.

NOTA 1: Si el resultado en el paso 5) diera 9, querría decir que el espectador ha elegido el número 9.

NOTA 2:  En el paso 3), no es necesario formar dos números, se pueden formar tres o cuatro o tantos como se quiera y luego sumarlos todos.

Recordad que se eligió la carta en secreto y se formaron los números también en secreto. Todo lo hizo el espectador sin intervención del mago. Esto hace que tenga un gran impacto mágico.

GENERALIZACIÓN

No es necesario coger las cartas del 1 al 9, sino que se pueden elegir tantas cartas como se quiera siempre que la suma total de ellas sea un múltiplo de 9. Una forma fácil de hacerlo sería elegir cartas por pares o tríos de forma que sumen 9, y así se van eligiendo todas.

Por ejemplo, se podría elegir las siguientes cartas:

Observa como en cada grupito la suma es 9.

Así es seguro que la suma total de todas las cartas es un múltiplo de 9, se mezclan y podemos realizar el juego exactamente igual que os he explicado anteriormente.

La ventaja de esta versión es que se puede hacer el efecto con cualquier número de cartas y además el espectador puede participar en la elección de las cartas para el juego: nosotros iríamos eligiendo cartas completando las del espectador a 9.

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Creo sinceramente, que con una buena presentación y una buena justificación para los pasos que se dan, esta curiosidad se puede convertir en un verdadero efecto de magia.

Y nada más. Espero haber puesto en vuestro conocimiento una herramienta útil para vuestros efectos.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

La explicación radica en un concepto matemático muy interesante:

Se llama "raíz digital" de un número, al resultado de sumar sus dígitos sucesivamente hasta reducirlo a una sola cifra. Por ejemplo, la raíz digital del número 96440 sería 5, ya que $9 + 6 + 4 + 4 + 0 = 23 \rightarrow 2 + 3 = 5$.

La clave para el efecto anterior está en el resultado matemático que afirma que
"si un número es múltiplo de 9, su raíz digital es 9".

Por lo tanto, si elegimos las cartas para que su suma sea múltiplo de 9, sabemos que su raíz digital será 9. Si quitamos una carta, su raíz digital se reduce en exactamente esa carta; así para obtener la carta del espectador tan solo hay que calcular su complemento a 9 ... ¡y ya está!

El hecho de hacer por el camino que el espectador forme dos números y los sume, es tan solo para esconder lo máximo posible la matemática e incluir un factor de azar que tan bien le van a estos efectos.

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P.D.: Quiero dedicar este post a mi gran amigo y admirado matemático Anton Aubanell, ya que juntos creamos este pequeño jueguecito mágico-matemático que hoy he querido compartir con todos vosotros.

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Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima segunda edición, también denominada 8.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

(Para poder seguir bien las explicaciones, es necesario haber leído primero el post anterior)

Después de encontrar una maravillosa fórmula para la repartición de cartas (AQUÍ), me planteé si se puede saber qué cartas no cambian su posición después de repartir (si hubiese alguna, claro), ya que puede tener una mayor repercusión mágica.

Y obtuve el resultado siguiente:

Si hacemos una Repartición de orden k, entonces las cartas que no cambian su posición serán las que forman el grupo de "k" cartas del centro. En caso de que no exista tal grupo, entonces ninguna carta mantiene su posición.

A ver si con un par de ejemplos os puedo aclarar la situación:

EJEMPLOS:

a) Supongamos que damos 20 cartas de 4 en 4.
En este caso repartiríamos (20:4) = 5 grupos de 4 cartas, y las cartas del grupo número 3  (el que queda en el centro) son las que no cambia de posición. Es decir, las cartas en posición 9, 10, 11, 12.

b) Supongamos ahora que repartimos 16 cartas de 2 en 2.
En este caso repartiríamos (16:2) = 8 grupos de cartas; con lo cual, no hay ningún grupo que esté en el centro y ninguna carta mantendrá su posición al repartir.

NOTA: En una repartición de orden 1, tan sólo hay una carta que no cambia de posición si tenemos un número impar de cartas, y en este caso, será la que está en el centro. Si tenemos un número par de cartas, ninguna mantiene su posición. Obviedad de sobras conocida en la comunidad mágica.

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También os quiero comentar la cuestión de cuántas cartas repartir de forma que una carta en concreto (la que te interese) no cambie de posición. Os pongo un ejemplo:

Si quiero que la carta situada en la posición 14 no cambie de posición al repartir cartas de 3 en 3, ¿cuántas deberemos repartir?

Si se ha entendido la cuestión anterior, se trata de pensar un poco para deducir la respuesta. Os explico:
Sabiendo que la carta número 14 debe estar en el grupo del centro para que no cambie su posición, deducimos que estará en el grupo formado por las posiciones 13, 14, 15. Así pues, se deberán repartir 9 grupos de 3 cartas, es decir, un total de 27 cartas.

Y aquí el vídeo con el resultado:

¿Y si quiero repartir cartas de 2 en 2 y deseo que la carta en posición 8 no cambie?

De nuevo, no es difícil deducir que habrá que repartir un total de 14 cartas, puesto que las que quedarían en el centro ocupan las posiciones 7, 8.

...dejo los detalles a los lectores para no extenderme en las explicaciones.

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Entiendo que los razonamientos anteriores no son extremadamente difíciles, pero sí suficientemente complejos como para que no se puedan realizar de manera "improntu".

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UNA VISIÓN MÁS MATEMÁTICA...

Fruto de mi manejo con fórmulas matemáticas, os traigo a modo de curiosidad un par de fórmulas que resuelven las cuestiones anteriores directamente:

1) Si hacemos una Repartición de orden k de "N" cartas, entonces habrá cartas que no cambian de posición si y sólo si $(N:k)$ es impar.

En tal caso, habrá exactamente "k" cartas que no cambian de posición y que se obtienen de la siguiente manera:

$\frac{N-k}{2}+r$ ,  dando a r los valores $r=1,2,3 \ldots k$

2) Si al hacer una Repartición de orden k queremos que la carta situada en posición "x"  no cambie su posición, debemos repartir exactamente el número de cartas dado por la fórmula:

$N=2·(x-r)+k$, donde r = resto de la división $(x:k)$

NOTA: Os quiero comentar que si la división $(x:k)$ es exacta, para que funcione la fórmula anterior, no se pone $r=0$, sino $r=k$

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...PARA MAGOS:

Trabajando con las fórmulas anteriores, se deducen algunas curiosidades de las reparticiones que os pueden resultar útiles:

1) Las cartas en posiciones simétricas (misma distancia una del top que la otra del bottom), se mantienen simétricas después de una repartición de orden k.

2) Si las cartas están alternadas por colores, después de cualquier repartición de orden k, se mantienen alternadas por colores (consecuencia de 1) ).

3) Si las cartas están ordenadas "en espejo", después de cualquier repartición que pueda realizarse, vuelven a quedar "en espejo" - leer ESTE POST - (consecuencia de 1) ).

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Mi reflexión final es que creo que este estudio tiene más interés matemático que mágico, pero he considerado interesante e incluso relevante publicar aquí los resultados obtenidos al respecto, ya que uno nunca sabe quién o cuándo puede necesitarlos. Celebraré cualquier aportación que podáis tener a este estudio, tanto a nivel mágico como matemático.

Después de estudiar el "Movimiento Fulves", se me vino a la mente de forma natural estudiar en profundidad la acción de repartir cartas. Quiero traeros aquí los resultados de mi investigación, pues creo que puede tener alguna utilidad mágica y un claro interés matemático. No tengo conocimiento de un estudio semejante al respecto, así que considero este estudio como una primicia que tengo el placer de compartir con vosotros.

Lo que me propuse investigar es a qué posición va a parar cada carta después de repartirlas de cualquier forma en un montón.

Os pongo un ejemplo clarificador:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, ¿en qué posición acabará la carta situada inicialmente en la posición 8 (contando siempre desde dorsos)?

...y obtuve una bella fórmula que permite calcularlo.

Os tengo que comentar que los detalles matemáticos exceden en mucho el propósito de este blog, así pues me los reservo para una posterior publicación en alguna revista especializada.

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Bien, voy a definir una "Repartición de orden k" a la acción de repartir cartas de "k" en "k" en un montón sobre la mesa.

La acción de repartir cartas sobre la mesa de una en una, sería una repartición de orden 1. Así pues, esto generaliza la repartición de cartas.

Aquí os muestro unos ejemplos:

Repartición de orden 1

Repartición de orden 2

Repartición de orden 3

Y obtuve el siguiente resultado:

Si se hace una Repartición de orden k de "N" cartas, la carta situada en posición "x" desde dorsos, irá a parar a la posición:

1) $N-x+k$ ,   si "x" és múltiplo de k

2) $N-x-k+2r$ ,   si "x" no és múltiplo de k

donde "r" es el resto de la división de $(x:k)$

NOTA: Se puede utilizar solo la fórmula 2) siempre que se tenga en cuenta que si "x" es múltiplo de "k", en lugar de coger de resto r = 0, se debe poner resto r = k.

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Puede parecer a priori una fórmula un poco compleja, pero veamos cómo funciona esta fórmula con un par de ejemplos que os mostrarán que no es difícil en absoluto. Sería buena idea que cogieras la baraja y los comprobaras:

EJEMPLOS:

a) Volviendo a la pregunta inicial, si repartimos 21 cartas de 3 en 3, vamos a calcular a qué posición irá a parar la carta en posición 8:

N=21

k=3

x=8

Si dividimos 8:3, tenemos resto r = 2

Aplicamos la fórmula 2) $\rightarrow 21-8-3+2·2 = 14$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 14 contando desde dorsos.

b) Si repartimos 12 cartas de 2 en 2, la carta número 6 irá a parar a la posición:

N=12

k=2

x=6

Al dividir 6:2, tenemos resto r = 0

Aplicamos la fórmula 1) $\rightarrow 12-6+2 = 8$.
Es decir, después de repartir, la carta quedará en la posición 8 contando desde dorsos.

Aquí un vídeo del ejemplo anterior:

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DÁNDOLE LA VUELTA A LA FÓRMULA...

Una observación interesante que se deduce de la misma fórmula, es que al hacer una repartición, las cartas intercambian sus posiciones de dos en dos. Me explico:

Si repartimos 21 cartas de 3 en 3, hemos visto que la carta en posición 8, acaba en posición 14. Pues bien, la carta inicialmente en posición 14, acabará en la posición 8. Es decir, las dos cartas intercambian sus posiciones. Esto ocurre con todas las cartas.

Este hecho nos permite saber de una manera fácil dónde colocar una carta inicialmente si se quiere que acabe en una posición determinada, que quizás pueda tener más utilidad para montar efectos de magia.

Por ejemplo, si se reparten 16 cartas de 4 en 4, y quiero que la carta del espectador acabe en la posición 5, ¿dónde la deberé colocar inicialmente?

Aplicamos la fórmula anterior y nos queda:

N = 16
k = 4
x = 5
r = 1 (resto de dividir 5:4)

$y=16-5-4+2·1=7+2·1=9$.

Así pues, deberíamos colocar la carta del espectador en el lugar 9 para que acabara en la posición 5 después de repartir (ya que, como hemos dicho, intercambian sus posiciones).

¡Es genial! ¿No creéis?

NOTA: Como consecuencia inmediata se obtiene que al hacer una repartición de orden k dos veces, todas las cartas vuelven a su posición original.

....y no se vayan todavía, ¡aún hay más!... La segunda parte de este estudio: AQUÍ

Las coincidencias siempre son sorprendentes y nunca sabremos a ciencia cierta si se producen fruto de la casualidad o de la causalidad.

Os quiero traer hoy una propiedad que me ha resultado interesante y que puede dar pie a crear algunos efectos interesantes.

Os voy a poner un ejemplo:

1) Coged 5 cartas cualesquiera y sus homónimas, es decir, de su mismo número y color (el 7 de Trébol es homónima del 7 de Picas).

2) Ahora haz un montoncito con esas 5 cartas y otro montoncito con sus homónimas pero en orden inverso, es decir, si tenemos en un montón 3C, 2P, KC, 9D, 8T, en el otro deben estar 8P, 9C, KD, 2T, 3D (mirar imagen). Los dos montones los ponemos de dorso.

2 montones de cartas homónimas en espejo

3) Pues bien, si ahora quitamos en total 4 cartas de arriba entre los dos montones de la forma que queramos (4 cartas de un montón, o 3 cartas de uno y 1 carta de otro, o 2 cartas de uno y 2 de otro), la cartas que nos quedarán en top en cada montoncito son homónimas.

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Si habéis entendido el funcionamiento de esta propiedad, se puede generalizar para cualquier número de cartas del siguiente modo:


Si tenemos dos montones de N cartas cada uno (en un montón estarán las homónimas del otro) de forma que estén ordenados inversamente (en espejo), al quitar un total de (N-1) cartas desde arriba de entre los dos montones del modo que queramos, las cartas que quedan en top de cada montón son homónimas.


NOTA 1: Si en lugar de "quitar" las (N-1) cartas, las llevamos de top a bottom (es decir, de arriba a abajo), entonces el principio se cumple igual y no desordenamos los paquetes iniciales (esto nos permite repetir esta propiedad varias veces - véase el vídeo siguiente-).

Una aplicación de este principio, a mi parecer, muy interesante (mágicamente hablando) la encontré en el libro "The manual of Mahematical magic" en un juego que se llama "The Fairest Test (ever) of Psychic Skills".

Os dejo a continuación el vídeo del efecto para que veáis la potencia que puede llegar a tener con una buena presentación. Aquí se utilizan las cartas ESP:

NOTA 2: Una observación interesante es que si pasamos de arriba a abajo exactamente "N" cartas entre los dos montones del modo que queramos (y no "N-1" como afirma la propiedad), los montones vuelven a quedar en espejo, es decir, que es como si... ¡no se hiciera nada en los montones!

De esta manera si pasamos de top a bottom N cartas y luego N-1 (en total 2N-1 cartas), la propiedad se seguiría cumpliendo.

Por ejemplo, si tenemos los montones de 3 cartas, se podrían pasar también 3+2=5 cartas de top a bottom y la propiedad se seguiría manteniendo.

En definitiva esta interesante propiedad funciona si pasamos 2N-1 cartas, y por el mismo razonamiento, si pasamos 3N-1, 4N-1, etc...

Es decir, que si tenemos 3 cartas, el principio funciona igual pasando de top a bottom 2 cartas, 5 cartas, 8 cartas, 11 cartas, etc...

Observad en el siguiente juego de Gustavo Otero como se utiliza magistralmente esto que explico:

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GENERALIZACIÓN

A partir de la NOTA 2 anterior, se puede generalizar la propiedad diciendo:

Si tenemos dos montones de N cartas cada uno (en un montón estarán las homónimas del otro) de forma que estén ordenados inversamente (en espejo), al pasar de top a bottom (de arriba a abajo) un total de "k·N-1" (k=1,2,3,...) cartas de entre los dos montones del modo que queramos, las cartas que quedan en top de cada montón son homónimas.

...que no sé si tiene mucho interés mágico, pero lo de generalizar nos gusta a los matemáticos :).

Creo sin duda que es un principio muy sencillo y a la vez potente que nos puede ayudar en algún momento para diseñar nuestros efectos mágicos, así que, ¡manos a la obra!

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Entender porqué funciona esta propiedad es quizás más fácil que su formalización matemática, pero allá vamos:

Como las cartas están en espejo en los dos montones, podemos numerar las cartas del siguiente modo:

1r montón: $1,2,3,\ldots,N-2,N-1,N$

2º montón: $N,N-1,N-2,\ldots,3,2,1$

...de forma que las cartas " i " de los dos montones son homónimas.

Entonces, según el principio, quitamos "s " cartas del 1r montón y "t " del segundo de modo que $s+t=N-1$ (ya que quitamos en total (N-1) cartas).

Así, los montones quedarán del siguiente modo:

1r montón: $s+1,s+2,s+3\ldots,N-2,N-1,N$

2º montón: $N-t, N-t-1,N-t-2 \ldots, 3,2,1$

Pero como $s+t=N-1 \rightarrow t=N-1-s$ y así la carta que queda en top en el 2º montón será:

$N-t=N-(N-1-s)=s+1$, es decir, la homónima de la que ha quedado en el 1r montón. C.Q.D.

Esta cuenta fue descubierta por el físico y matemático Martin David Kruskal, pero fue Martin Gadner el que la difundió entre el mundo mágico, haciéndola aparecer en "Games Magazine" en un puzzle con las primeras frases de la "Declaración de independencia de los EEUU".

El puzzle lo tenéis aquí (en inglés, claro)

La cuenta se realiza de la siguiente forma:

1) Un espectador piensa un número entre 1 y 10.
2) El mago, con el paquete de cartas de dorso, va mostrando las cartas una a una al espectador.
3) El espectador se fija en la carta que ocupa la posición del número que pensó, y, a partir de ella, cuenta tantas cartas como indique su índice.
4) Llegará a otra carta, donde se procede de igual manera, se fija en el índice de la nueva carta y cuenta tantas cartas como indique éste.
5) Así se sigue hasta agotar el paquete de 52 cartas y no se puede seguir contando. El espectador ha llegado, al final, a una carta.
6) Independientemente del número inicial pensado, siempre se llega a la misma carta (con una probabilidad muy alta). 

Como idea os digo que si varios espectadores hicieran el proceso, acabarían en la misma carta o si previamente el mago ha hecho la cuenta, ya tendrá una predicción...

NOTA 1: El valor que se le da a las figuras para la cuenta es un factor clave en la probabilidad de esta cuenta. Cuanto menor sea ese valor, más probabilidad de acertar tendremos.
Algunos ejemplos son (para un paquete de 52 cartas y empezando a contar desde una de las diez primeras cartas):

J=11, Q=12, K=13 $\rightarrow$ La probabilidad es del 70% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K = 10  $\rightarrow$ La probabilidad es del 74% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =5  $\rightarrow$ La probabilidad es del 85% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =1  $\rightarrow$ La probabilidad es prácticamente del 100% de efectividad en la coincidencia

NOTA 2: Otra versión consistiría en deletrear cada carta en lugar de elegir su valor para contar (esto asciende la probabilidad de coincidencia al 95%)

NOTA 3: También influye el número de cartas del paquete. Es evidente que a más cartas, más probabilidad de coincidencia.

Para que compruebes esta cuenta, puedes hacer una prueba de la cuenta online en este enlace (a las figuras se les ha dado el valor 5):

http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal.html

El hecho es que es un lema probabilístico, es decir, no funciona absolutamente siempre, pero, como hemos visto, con alguna pequeña variación podemos conseguir una altísima probabilidad, e incluso llegar a que funcione siempre si utilizamos una baraja previamente preparada o mnemónica (como maravilloso ejemplo os remito al juego de Juan Tamariz, "Predicción a lo Kruskal", que aparece en su libro "Sinfonía en mnemónica mayor" pág. 93).

Buscando algún efecto mágico donde poder aplicar esta cuenta, me encontré con esta "joya" de David Copperfield que seguro que recordáis y disfrutaréis:

EXPLICACIÓN Y CONSIDERACIONES MATEMÁTICAS

El hecho fundamental radica en que, independientemente de la carta de partida, llegará un punto en el que se coincide en la misma carta, y a partir de ahí, ya siempre se coincide. Quizás con un dibujo se entienda mejor (aquí a las figuras se les ha dado el valor 1):



Como curiosidad  matemática, se tiene que la probabilidad de coincidencia se puede calcular (muy aproximadamente) con la fórmula:
$$P(coincidencia)=1-\left( \frac{x^2-1}{x^2} \right)^N$$
...donde
x = La media de los valores de las cartas que forman el paquete
N = Número de cartas que forman el paquete

Os pongo a continuación un vídeo donde se ejemplifica y se explica de forma muy didáctica esta curiosa cuenta:

Aquí os dejo con un estudio muy exhaustivo, matemáticamente hablando, de esta cuenta (está en inglés):

http://ijpam.eu/contents/2013-85-6/1/1.pdf

Más información, estudio, demostraciones y detalles varios en:

• http://www.singingbanana.com/Kruskal.pdf
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen.html
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen-ii.html
• http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/09/kruskal-con-mnemonicas-como-no.html?q=kruskal

De todas las versiones que conozco del “Juego del Reloj”, me quedo con aquellas en las que el mago es capaz de adivinar, no sólo la hora pensada, sino también la carta en dicha posición. Me remito a las versiones de Ramón Riobóo (“Mi reloj preferido” del libro “La magia pensada”, pàg. 148) y de Gabi Pareras (“El reloj de Moliné”, aquí, además, todas las cartas son iguales excepto la del espectador que resulta diferente a todas).

Quisiera en este post realizar un breve estudio del principio matemático que rige dicho efecto y su generalización, ya que el conocimiento profundo de un efecto puede llevar a nuevos juegos basados en el mismo principio, pero radicalmente diferentes.

PRINCIPIO DEL RELOJ:

De una baraja de cartas, la carta situada en la posición 13, pasa a ocupar la posición “n”, después de retirar “n” cartas e invertir las 12 cartas siguientes.

Con un ejemplo, y las cartas en la mano, se entiende mejor:

  - Carta número 13: 7C
  - Se retiran n = 8 cartas
  - Repartimos en mesa, una a una (invirtiendo), 12 cartas.
  - El 7C pasa a estar en la posición n = 8.

NOTA1: Si no se invierten las 12 cartas, la carta número 13, pasa a ocupar la posición “13-n”

La mayoría de juegos basados en este principio consisten en colocar las 12 cartas invertidas formando un reloj (empezando en la 1h y siguiendo en sentido horario), la carta número 13 quedará situada en la hora exacta que pensó el espectador.

NOTA 2: Si no invertimos las 12 cartas, podemos formar el reloj empezando por las 12h y siguiendo en sentido antihorario, y la carta número 13 también quedará situada en la hora que pensó el espectador.

Pero, como buen matemático, se puede generalizar el “Principio del Reloj” a un número de cartas cualquiera (no necesariamente 12), que aplicado con imaginación puede resultar muy útil para construir algún juego.

PRINCIPIO DEL RELOJ GENERALIZADO:

De una baraja de cartas, la carta situada en la posición inicial “k”, pasa a ocupar la posición “n” después de retirar “n” cartas y a continuación invertir las “k-1” cartas siguientes.

Ejemplo:

  - Carta situada en posición k = 16
  - Retiramos n = 11 cartas
  - Repartimos en mesa, una a una (invirtiendo), k-1 = 15 cartas.
  - La carta queda situada en la posición n = 11.

NOTA3: Si no se invierten las “k-1” cartas, la carta número “k”, pasa a ocupar la posición “k-n”

Tengo que reconocer que no me viene a la cabeza ningún efecto basado en este "principio generalizado", pero si algún lector lo conociese, le invito a que nos lo haga saber.

Debo, por último, dar la gracias a Jordi Mensa (miembro de la SEI de Barcelona), que me pasó un amplio estudio sobre dichos principios y sus aplicaciones a algunos efectos de cartomagia.

Carlos Vinuesa cursó los estudios de Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), donde defendió su tesis doctoral en 2010. Durante su doctorado trabajó además en Montreal, Barcelona y Budapest. Es un gran aficionado a la magia, y en 2010 fue galardonado con el Premio Ascanio “Mago del Año” en la especialidad de magia de cerca. Ha disfrutado de una beca postdoctoral de la Fundación Ramón Areces en la Universidad de Cambridge, donde ha estado investigando en teoría de los números. Le gustan, además de las matemáticas y la magia, todas las cosas creativas y/o divertidas en general. También disfruta mucho escribiendo sobre sí mismo en tercera persona, como muestra este párrafo.

Así se define Carlos Vinuesa, excelente mago, excepcional matemático y mejor persona. Aquí os dejo enlaces con artículos en revistas, estudios y conferencias, todo sobre matemáticas y magia. Sencillamente genial:

CONFERENCIAS:
http://www.rsme.es/centenario/videos/vinuesa/index.html
http://www.youtube.com/watch?v=XEvnv96M_J4
http://www.elmundo.es/elmundo/2013/04/10/ciencia/1365599083.html

ARTÍCULOS Y ESTUDIOS EN REVISTAS:
Círculos Mágicos - Revista Matematicalia
El diablo de los Números I
Matemágicas - Revista Números


PÀGINA WEB PERSONAL:
www.carlosvinuesa.com

Espero que lo disfrutéis como yo lo hice...

Os traigo un par de estudios sobre matemática y magia. Puede que sean un poco densos para los no matemáticos, pero hay unos cuantos juegos que pueden merecer mucho la pena.


Ya me contaréis:

Juegos y Cartoteoremas mágicos:

Teoría de la Información en la Magia (Pedro Alegría):

Os traigo unos artículos sacados de la Revista Divulgativa de Matemáticas "Números", hay mucho material interesante para profesores de matemáticas (en especial de secundaria) y también alguna cosa aprovechable para los magos.

Con la esperanza de que pueda surgir  alguna idea para incorporar en algún juego o en alguna rutina a partir de su lectura, aquí os los dejo...

Matemáticas y Magia de la mano de Martin - Pedro Alegría

La matemagia de Martin Gadner - J.A. Rupérez y M. García
Cartomagia del 1 al 9 - José Muñoz Santonja

Espero que los disfrutéis.

Aquí os dejo un par de vídeos del gran maestro Juan Tamariz. Os propongo que os toméis estos dos pequeños-grandes juegos de Juan como dos problemas de matemáticas e intentéis resolver los principios en los cuáles se basan.



Y observa la presentación, siempre elegante y pensada, que ofrece Juan en estos dos juegos. Es algo realmente maravilloso y mágico...


Efecto del 1 al 9:

Magia con garbanzos:

Bueno ya me diréis a ver qué tal...

Con este post inicio el blog, y qué mejor manera de comenzar que con el primer libro donde aparecen escritos juegos de magia matemática, utilizando propiedades de los números.

Su autor fue Luca Pacioli. La obra se llama "De viribus quantitatis" (Sobre el poder de los números) y ha permanecido bajo el polvo, olvidado, durante siglos en la antigua Universidad de Bolonia. Fue redescubierto, hace tan sólo unos años, por el matemático David Singmaster y ya está disponible su traducción al inglés.

Tengo el placer hoy de traeros el archivo original del libro en el siguiente enlace, donde encontraréis todo el libro al completo escaneado en PDF, eso sí, en italiano antiguo:

http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Pagine/index.html

Aquí tenéis el fantástico estudio del libro que realizó mi amigo Tiago Hirth, con la formulación de los efectos en notación matemática actual:





También os dejo con algunos ejemplos de los juegos propuestos en el libro, traducidos a lenguaje algebraico actual, donde se puede observar la gran belleza matemática de los efectos:

http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html

Espero que os resulte de interés.