(Principio de) La cuenta atrás

La primera vez que me topé con este curioso principio fue leyendo un artículo de Venancio Álvarez, Pablo Fernández y M. Auxiliadora Márquez, "Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos" publicado en "La gaceta de la RSME". Aparece en un efecto que ellos llaman "La carta del día" y me pareció realmente mágico.

Os paso a detallar la realización del principio:

1- Coge de una baraja mezclada, dos paquetes de 13 cartas cada uno. Y deja el resto del mazo aparte.

2- De ese mazo restante, mira y recuerda la carta situada la segunda desde dorsos (la top-2).

3- Ahora coge el primer paquete de 13 cartas, y con el paquete de dorso, realiza una cuenta atrás del 13 al 1 con las cartas, volteándolas una a una sobre la mesa. En el momento en el que el índice de la carta coincida con el número que cuentas (para ello, J = 11, Q = 12 y K = 13), detente y deja las cartas que sobran encima del mazo aparte . Supongamos que te paras en el 8. En el caso que no haya coincidencia, coge las 13 cartas, mézclalas y vuelve a hacer la cuenta atrás.....así hasta que haya una coincidencia. No desesperes, no tendrás que realizarlo más de 2 o 3 veces (*).

3- Realiza del mismo modo la cuenta atrás con el otro paquete de 13 cartas. Supongamos que ahora te paras en la J = 11. Devuelve las cartas que sobran encima del mazo aparte.

4- Ahora tienes en la mesa dos montoncitos de cartas: uno tiene un 8 en la cara y el otro una J. Suma esos valores, que surgieron del azar (8 + 11 = 19).

5- Del mazo que tienes aparte, cuenta 19 cartas (desde dorsos). La carta que hace la 19 será la carta que memorizaste al comienzo. ¡Increíble!

NOTA: El proceso anterior NO depende del número de cartas que contengan los paquetes iniciales: siempre "forzamos" a coger la top-2 del mazo que apartamos.

En el ejemplo está hecho con dos paquetes de 13 cartas, ya que hay 13 dígitos en la baraja de póker (del "A" al "K"), y así se aumentan las probabilidades de coincidencia al hacer la cuenta atrás. Es obvio que no tiene sentido hacerlo con paquetes de más de 13 cartas...

La carta que forzamos depende del número de paquetes que hagamos, así podemos generalizar el principio para cualquier número de paquetes:

PRINCIPIO DE LA CUENTA ATRÁS

1- De una baraja cogemos "n" paquetes de "x" cartas cada uno. Dejamos el mazo restante aparte.

2- Hacemos el proceso de cuenta atrás descrito anteriormente para cada paquete, devolviendo las cartas sobrantes de cada paquete al mazo restante.

3- Sumamos los índices de las cartas donde nos hemos detenido de cada paquete. La suma será "S"

Entonces, la carta situada en posición "S" desde dorsos del mazo actual, es la que inicialmente estaba en posición "n" desde dorsos (top-n) del mazo que apartamos inicialmente.

ASÍ:
Con un solo paquete, estaríamos forzando la carta top del mazo restante.
Con dos paquetes, forzamos la top-2
Con tres paquetes, forzamos la top-3
Con cuatro paquetes, forzamos la top-4.
Etc...

Para disfrutar la potencia de este principio os remito al juego "La cuenta atrás" del archiconocido "Cartomagia fundamental" del gran Vicente Canuto, aunque personalmente me encanta la versión del genial Gabi Pareras de "La carta del día" citado anteriormente .

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Aquí os dejo un efecto donde se utiliza este polivalente principio. No hay presentación, sólo el efecto; pero a modo de ejemplo me ha parecido oportuno incluirlo aquí. El vídeo corresponde al juego "La cuenta atrás" que os he comentado anteriormente de V. Canuto.

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Os dejo que caviléis nuevas maneras de utilizar este fantástico y utilísmo principio matemágico. Espero que lo disfrutéis.


EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Demostraremos el ejemplo inicial con 2 paquetes, y de forma trivial, se amplía para un número "n" de paquetes:

- Si en el primer paquete nos detenemos en el número $a$  $\rightarrow$ Devolvemos $(a-1)$ cartas al mazo.

- Si en el segundo paquete nos detenemos en el número $b$  $\rightarrow$ Devolvemos $(b-1)$ cartas al mazo.

En total, devolvemos al mazo $(a-1)+(b-1)=a+b-2$  cartas.

Así, de forma evidente, la carta situada en la posición $(a+b)$ (suma de los índices) del mazo actual, es la que estaba en la top-2 del mazo que dejamos aparte inicialmente; porque contaremos 2 cartas más de las que hemos devuelto al mazo.



APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

(*) Se observa que cuando el número de cartas de cada paquete ("x") aumenta, la probabilidad de coincidencia al hacer la cuenta atrás también aumenta, pero no hasta 1. De hecho, se puede demostrar (tiene relación con el problema de los desbarajustes) que cuando "x" es suficientemente grande, la probabilidad de coincidencia se acerca a $1-e^{-1} \simeq  0,6321$. Así pues, con 13 cartas, más de 1 de cada 2 veces, habrá coincidencia.

Para más detalles sobre este hecho, ver Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos "Truco 1: La carta del día".