Eliminación por repartición (Reverse Dealing)

Después de estudiar varios procesos de eliminación sistemática de cartas hasta quedarse con una (véase, por ejemplo, "Cuenta Australiana" o "Principio de la Antifaro"), he estado investigando la "eliminación por repartición", que designaré como la "EPR" (algunos autores la llaman "Reverse Dealing").
Es el típico proceso de repartir cartas de una en una en mesa haciendo dos montones y eliminar uno. Con el montón que queda se repite el proceso; y así hasta que queda una carta en la mano.

La pregunta a continuación es obvia: ¿Qué paquete habrá que eliminar en cada paso para quedarme con la carta que yo quiera?

He encontrado unas fórmulas que lo resuelven, el problema es que son demasiado complicadas para poder aplicarlas de manera "impromptu", es decir, al momento.

De todas formas, he implementado las fórmulas en una hoja excel, de manera que introduciendo el número de cartas del paquete y la posición inicial de la carta, te dice cómo hacer la EPR para quedarse con la carta en cuestión.

Aquí os lo dejo:

NUM CARTAS: número de cartas del paquete que va quedando después de cada repartición (deal).
POSIC INIC: posición que va ocupando la carta en el paquete que queda (contando desde dorsos).
REPARTO EMPIEZA POR: por dónde empezar a repartir ("O" = paquete que desestimo, "I" = paquete con el que me quedo).
POSIC FINAL: posición que ocupa la carta al acabar cada reparto (desde dorsos).

Podéis modificar los datos del recuadro amarillo y/o del rojo para ver el resultado (si tienes algún problema vuelve a cargar la página):

A modo de ejemplo:

Si la carta del espectador está la 12 en una baraja de 52 cartas, el resultado es OIIOIO.

Esto significa que en la primera repartición, el montón donde ponga la primera carta es el que se elimina, en la segunda repartición el montón donde ponga la primera carta es el que me quedo, la tercera repartición la empiezo por el montón que me quede...y así sucesivamente hasta que me quede una carta en la mano (que será la que inicialmente estaba en posición 12).

La idea general es sencilla: eliminar siempre el montón que no contiene la carta.

NOTA 1: La notación "I", "O" (del inglés "in" and "out") es homenaje a Alex Emsley, ya que esta es la notación que él utilizó al estudiar las mezclas "faro in" y "faro out".

NOTA 2: Esta repartición está íntimamente relacionada con las "mezclas faro y antifaro", y esta relación fue bien estudiada por grandes de la magia como Karl Fulves, Ed Marlo, Persi Diaconis o Juan Tamariz (entre otros).

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Como aplicación de éste método a un efecto mágico, os remito al magnífico juego "Divide and Conquer" de Simon Aronson de su libro "Try the impossible" o también al juego "$\omega= \alpha, \alpha \rightarrow 52$" del gran Woody Aragón que aparece en su libro "A la carta" y que os dejo en este vídeo:

Aquí os dejo un vídeo donde se aplica esta eliminación a un efecto (le falta una buena presentación, pero creo que la idea es buena):



¡Espero que os sea de utilidad para montar vuestros efectos!


PD: Me gustaría proponeros un pequeño reto al respecto de esta entrada. Estuve buscando alguna relación entre la posición inicial de una carta escrita en código binario, por ejemplo 12 = 001100, y el resultado que da la EPR, que para el 12 es 011010 (donde Out = O e In = 1). No lo he conseguido. Es algo parecido a lo que descubrió Álex Emsley con la mezclar faro para situar la carta top en una posición cualquiera....por si alguien se anima...

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS: LAS FÓRMULAS DE LA EPR
(Son las fórmulas implementadas en la hoja excel anterior)

Si:
n = posición que ocupa la carta (desde dorsos)
k = número de cartas del paquete

Después de repartir en dos montones y eliminar uno, el paquete con el que me quedo (el de la carta), contiene el siguiente número de cartas:

- Si "k" es par $\rightarrow \displaystyle \frac{k}{2}$

- Si "k" es impar $\rightarrow \displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \frac{k-1}{2} &n \; par \\ \frac{k+1}{2} &n \; impar \end{array} \right.$

Además, la nueva posición de la carta en ese paquete viene dada por:

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{k-n+2}{2} &(k,n) \; misma \; paridad \\ \frac{k-n+1}{2}&(k,n) \; diferente \; paridad \end{array}\right.$$

La EPR consiste en repetir este proceso hasta que me quede solamente la carta en cuestión en la mano.

Podéis comprobar cómo intervienen dos variables en cada paso de la EPR: la posición de la carta (que puede ser par/impar) y el número de cartas del paquete que queda (que puede ser par/impar). Esto complica los cálculos lo suficiente como para no poder hacerlos de cabeza en el momento.

NOTA3: Estas fórmulas las he desarrollado yo mismo, ya que no las he encontrado publicadas en ningún lugar. No quiero decir con ello que no existan, pues me parece realmente extraño. Si algún lector las encuentra por otro lado, le pido el favor que me lo haga saber.