Lo que hoy os cuento aquí ha sido para mí un grato descubrimiento. Creo que es una propiedad casi desconocida en el mundo mágico (o por lo menos, no muy mencionada) pero que creo puede tener una gran versatilidad debido a su sencillez. Pienso que produce, cuanto menos, sorpresa.

¡Venga! Me arriesgo a hacer una predicción:

Ahora coge una baraja completa (sin los comodines) y haz la siguiente preparación:

Debajo de la baraja prepara un set de 13 cartas en orden decreciente, es decir,

K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A

sin importar el palo de ellas. De esta manera, debe quedar como carta última (la bottom) un As. Te muestro la preparación en la siguiente imagen:

Con la baraja así preparada, disponte a realizar las siguientes acciones:

1 - Con la baraja de dorso, mezcla sin deshacer el set de 13 cartas ya preparado. 

2 - Voltea la carta que te ha quedado arriba (la top) y déjala encima de la mesa. 

3 - Ahora, encima de ella y de una en una, ve colocando de dorso tantas cartas como número indique el índice de dicha carta (es decir, si la carta es un 4 de corazones, reparte 4 cartas de dorso encima de ella).

4 - La última carta dada en mesa, voltéala de nuevo y vuelve a tomar su índice para, de nuevo, colocar de dorso tantas cartas como indique.

5 - La última carta dada, voltéala otra vez, da tantas cartas como indique el índice y ve repitiendo este proceso hasta que se te agoten las cartas y no puedas continuar. Para ejemplificar las acciones anteriores, observa la imagen: 

Cartas de cara después del reparto anterior 

6 - Las cartas que te han quedado de cara, han salido totalmente al azar. Suma sus valores.....y ahora.... ¡mira mi predicción anterior!

No es casualidad que la suma coincida con el número de cartas de la baraja. El hecho es que, gracias a la preparación inicial, el resultado siempre es el mismo independientemente de las cartas que hayan quedado de cara. Y esto es porque al hacer el proceso anterior estás sencillamente contando las cartas, aunque de una manera muy ingeniosa.

NOTA 1: Este Principio funciona para cualquier número de cartas y la predicción será el número de cartas con las que se ejecuta (con la baraja completa, 52).

NOTA 2: El set preparado es el que asegura que se cumpla la predicción. Si se le dan a las figuras el valor 10, con preparar las cartas del 10 al As en bottom sería suficiente.

Lo que acabamos de hacer se conoce como el Principio de Kraus o Cuenta de Kraus, debido a su descubridor, Alexander Kraus. Se publicó en la revista "Ibidem" en el año 1957. Yo lo descubrí en el libro "Card Concepts" de Arthur F. MacTier, un libro recomendadísimo para todo aquel que quiera conocer más sobre principios matemáticos aplicados a la cartomagia y su aplicación a efectos mágicos. Es un libro lleno de ideas.

Por lo que sé, pocos efectos se han creado basados en este principio. A parte de remitiros al libro "Card Concepts" ya citado, un efecto de mentalismo basado en el Principio de Kraus es "Swindled" del libro "World of super-mentalism" de Larry Becker.

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EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Miremos con más detenimiento lo que está ocurriendo aquí. Esta es de esas demostraciones "sin palabras" que tienen una belleza singular.

Extendemos la baraja para ver la disposición que nos ha quedado después de hacer la cuenta:

Si ahora separamos los "grupitos" de cartas que hay entre las que están de cara, descubriremos lo que está pasando en realidad al realizar la cuenta de Kraus. Tendríamos lo siguiente:

Y fíjate cómo en cada grupo de cartas, hay tantas cartas como indica el índice de la que está de cara (incluyendo ésta, por supuesto). De esta manera, es evidente que el número total de cartas coincide con la suma de los índices de las cartas de cara.

El problema lo tendríamos para hacer "cuadrar" el grupito de cartas después de la última carta de cara, ya que debe haber una carta menos que el índice que muestre para que funcione el principio.

Esto lo soluciona la preparación que hicimos inicialmente, puesto que llegues a la carta que llegues al final, debido al orden de las 13 cartas, la cantidad de cartas que quedan es una menos que el índice de la última carta (en la imagen anterior, fíjate como siendo un 5 la carta de cara, al final quedan 4 cartas). Esta idea se debe al mago Tom Ransom. Sencillamente genial.

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Este principio, "primo-hermano" de la Cuenta de Kruskal al que ya dediqué un post en este mismo blog, ha sido muy poco utilizado por magos y, a mi juicio, quizás infravalorado.

Creo que la sencillez del principio y la poca preparación que exige, permite sacarle mucho más provecho. Lo traigo aquí con el afán de darle un poco de eco y con el deseo expreso de que ingeniéis efectos a los que aplicarlo.

Os traigo hoy una idea diferente que tiene una base geométrica y que me llamó mucho la atención la primera vez que la vi.
Es un forzaje de un color de una manera realmente ingeniosa.
La primera vez que lo vi utilizar fue en manos de mis colegas "Magic Freaks" en un efecto de mentalismo. Me hicieron saber que basaron su efecto en uno ideado por Rachel, la mujer del gran Aldo Colombini llamado "Zodiac Code", y que presentaban en sus espectáculos conjuntamente.

Antes de nada, me gustaría mostraros el efecto original de Rachel y Aldo para que veáis el impacto que puede producir:

Maravilloso, ¿verdad?. Supongo que ya deducís que el chico tenía poca opción e iría a parar sí o sí al color verde. Pero, ¿cómo es posible?

La clave está en un concepto matemático: la "rotación". La cuadrícula utilizada en el efecto tiene, más o menos, esta pinta:

Si numeramos las casillas de la cuadrícula del 1 al 12, tendríamos lo siguiente:

En el efecto "Zodiac Code", observamos que la cuadrícula utilizada tiene el color verde en las celdas 1, 8 y 10.

El ingenio reside en que haciendo rotar la cuadrícula en el sentido de las agujas del reloj, conseguimos "cubrir" todos los números, de forma que digamos el número que digamos, solamente rotando la cuadrícula llegamos a él.

A continuación os he puesto cómo quedarían las celdas verdes al hacer rotar la cuadrícula 0º, 90º, 180º y 270º respectivamente en el sentido de las agujas del reloj. Y éste es el resultado:

En resumen, al saber el número pensado por el espectador, solamente debemos rotar la cuadrícula correspondientemente para que llegue al color verde. Así, con tres casillas que tengamos pintadas en verde y rotando la cuadrícula se cubren todas las posibilidades...¡genial! ¿no?

Tenemos un forzaje de un color realmente fantástico.

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Pero podemos ir un poco más allá y analizar con más profundidad qué está ocurriendo en esta cuadrícula. La realidad es que la cuadrícula es simétrica y se puede generar a partir de solamente 3 celdas que son las que he marcado en verde en la siguiente figura:

Observad cómo haciendo girar en el sentido de las agujas del reloj la figura formada por las celdas verdes (1, 3, 4), genero toda la cuadrícula. En definitiva, estas tres celdas son suficientes para generar toda la cuadrícula.

A continuación, os he puesto una tabla donde detallo dónde va a parar cada una de estas celdas al hacer rotaciones de 90º, 180º y 270º:

0º	90º	180º	270º
1	6	12	7
3	2	10	11
4	5	9	8

(Tabla1)

De esta manera, se podría construir la cuadrícula para forzar el color verde eligiendo una celda de cada una de las tres filas de la tabla anterior.

Así otra posible cuadrícula para forzar el color verde sería ésta (con las celdas 1, 9, 10):

Creo que este tipo de forzaje es una idea muy bonita donde se utiliza de forma magistral un concepto geométrico muy simple y potente, como son las rotaciones.

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OTRA VUELTA DE TUERCA

Siguiendo con la idea anterior se me ocurre "darle la vuelta a la tortilla" e invertir el forzaje. Quiero decir, dejar que el espectador elija un color y le forzamos tres números.

Simplemente se eligen ternas de números de la (Tabla1), uno de cada fila, y cada terna de celdas se pinta de un mismo color.

Fijaos, por ejemplo, en la siguiente cuadrícula:

Una vez que el espectador elige un color, le podríamos forzar las siguientes ternas de números, dependiendo de cómo rotemos la cuadrícula:

a) 1, 8, 10
b) 2, 7, 9
c) 3, 5, 12
d) 4, 6, 11

De esta forma, según coloquéis los colores podréis forzar otras ternas numéricas, eso sí, cada terna estará formada por un número de cada fila de la (Tabla1).

Ahí lo dejo por si se puede aprovechar para algún efecto mágico.

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GENERALIZACIÓN

Como matemático que soy, siempre intento generalizar las propiedades que voy descubriendo; y esta no es una excepción. Aunque realmente no tenga mucho interés a nivel mágico, quisiera comentarlo por si alguien le puede sacar partido.

Siguiendo la misma idea de antes, podríamos crear cualquier cuadrícula a partir de una "figura base" haciéndola rotar.

Por ejemplo, si elegimos como figura base un cuadrado formado por cuatro celdas, se puede generar la siguiente cuadrícula para forzar el color verde eligiendo ahora un número entre 1 y 16, y utilizando las rotaciones igual que antes:

Os dejo a vosotros que numeréis las celdas y hagáis una tabla como la anterior para ver dónde va a parar cada celda después de cada rotación para colorear a vuestro gusto la cuadrícula.

Otro ejemplo que se me ocurre es utilizar un hexágono para forzar el color verde eligiendo un número entre 1 y 12. La "figura base" ahora sería un triángulo equilátero y  las rotaciones deben ser de 60º en el sentido de las agujas del reloj. Aquí lo tenéis:

Lo interesante aquí es que sólo necesito dos "celdas" para cubrir todos los números ya que puedo rotar la figura a seis posiciones diferentes.

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En fin, deseo con este artículo inspirar vuestra imaginación y que podáis generar otras figuras de forzaje a vuestro gusto utilizando esta fantástica idea que os he traído hoy. Y espero haber puesto en vuestro conocimiento una herramienta que os permita crear nuevos y potentes efectos.

Quiero dar las gracias desde aquí a los ya comentados "Magic Freaks" por poner en mi conocimiento esta estupenda herramienta.

Tengo el inmenso placer de traerte un principio ampliamente utilizado en cartomagia. Desde su descubrimiento atribuido a John Hamilton sobre los años 1940-50, y su posterior publicación en 1967 por Gene Finnell, se ha venido utilizando en efectos de todo tipo por magos de la talla de Alex Emsley, Harry Lorayne, Karl Fulves, Tom Stone, Ramón Rioboó o Aldo Colombini por citar a algunos. Este fantástico principio se denomina "Principio del Corte Libre" o en inglés "Free Cut principle".

La utilidad de este principio es situar una o varias cartas elegidas por los espectadores en las posiciones deseadas por el mago.

Sin más demora paso a describirte el principio con un ejemplo (lo haré para dos cartas elegidas):

1 - De un paquete de cartas mezclado, haz un montón con, por ejemplo, 10 cartas (montón A) y otro montón con, por ejemplo, 8 cartas (montón B). Deja el resto del mazo aparte.

2- Un primer espectador corta el montón B y mira y recuerda la carta que le ha quedado debajo (bottom). A continuación debe devolver ese paquetito que cortó al mazo original.

3- Un segundo espectador corta el montón A y mira y recuerda la carta que le queda debajo (bottom). A continuación debe devolver ese paquetito que cortó al montón B.

4- El mago recoge los montones de la siguiente forma: montón A encima de B y todo encima del mazo original. De esta manera se recompone la baraja.

5- A pesar de que parece que las cartas están perdidas, la carta del segundo espectador está en la posición 10 y la del primer espectador está en la posición 18, es decir, 8 cartas más (10+8) .

Como creo que es más difícil explicarlo que verlo, os he grabado un pequeño vídeo con la ejecución del principio:

El procedimiento anterior, se puede ejecutar para 2, 3, 4, o el número de cartas elegidas que se desee. De hecho, podríamos generalizar la propiedad anterior para el número de cartas elegidas que nos interese de la siguiente manera:

PRINCIPIO DEL CORTE LIBRE

Se hacen, en fila, varios montones de cartas y los espectadores eligen cartas de la siguiente forma:

- Cortando cada paquete uno a uno (de izquierda a derecha).
- Mirando la carta de abajo (bottom).
- Colocando el paquetito que se cortó en el montón que queda exactamente a la izquierda.

Se recomponen los montones recogiéndolos de derecha a izquierda. Las cartas de los espectadores están separadas una de la anterior, el número de cartas que contenía el montón del que provenía.

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NOTA 1: La última carta elegida (del paquete más a la derecha), siempre quedará situada en la posición exacta del número de cartas que contenía su paquete (contando desde top).

NOTA 2: Para una sola carta elegida, este principio es una trivialidad, ya que se reduce a hacer un corte y recomponer.

NOTA 3: Quiero hacer notar que después de recomponer la baraja, las cartas de los espectadores han sido libremente elegidas y están totalmente perdidas entre el mazo sin posibilidad de control; de ahí la potencia de este principio.

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Quiero enseñaros en este juego del inimitable Aldo Colombini, la versatilidad de este principio (en este caso combinado con la "Eliminación por repartición" que también estudié en este blog)

Os pongo a continuación algunos juegos más basados en este genial y sencillo principio:

Del blog "Magia por Principios" de Pedro Alegría

En esta vista previa del libro "101 Amazing Card Tricks" de Bob Longe (pág 95 - "Spelling the Aces") 

Yo me topé con este principio leyendo un juego de Steve Beam que se llama "Pile Driver" de su libro "Semiautomatic card tricks, vol.3", por si alguien le interesa echarle un vistazo.

Espero que esta pequeña reseña ponga vuestro interés en esta utilísima propiedad para realizar vuestros efectos.

CONSIDERACIONES MATEMÁTICAS

Creo que matemáticamente no tiene misterio. Es una cuestión de sumas y restas.

Si se mira el procedimiento con un poco de atención, se puede deducir de manera obvia que las cartas que van a parar encima de la carta elegida por cada espectador, son exactamente las mismas que estaban debajo de ella. Con lo cual, lo que se hace en todo el proceso es hacer un corte de cada montón por la carta elegida por el espectador.

Aquí os pongo un vídeo muy ilustrativo de la explicación del principio para ESTE juego basado en el principio del corte libre:

En muchas ocasiones, nos encontramos con que la sencillez (que no la simpleza) es el camino más directo hacia lo bello.

Creo que con ésta propiedad nos encontramos en una de esas ocasiones, ya que el concepto matemático que subyace aquí es tan básico como potente.

Debía ser yo muy jovencito cuando David Copperfield hacía sus efectos mágicos con los espectadores a través de la pantalla del televisor. Debo decir que me impresionaban mucho tanto a mí como a mis padres. Era realmente increíble.

Os dejo aquí dos de esos efectos que impresionaron a toda una generación:

     


Era obvio que se basaba en algún principio matemático, pero estaba tan bien ejecutado el efecto que la matemática se disolvía entre la magia. Ese principio es la Paridad.

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Se han desarrollado multitud de efectos basados en este sencillo principio que contienen todos aquellos elementos que tienen dos estados: par-impar, negro-rojo, cara-dorso, sí-no, blanco-negro, etc. La sencilla propiedad es la siguiente:

Si un elemento está en un estado y se cambia su estado un número par de veces, el elemento no cambia su estado. Si se cambia un número impar de veces, entonces cambiará su estado.

Para que se entienda, pongo un par de ejemplos (y a la vez doy una pista del funcionamiento de los efectos de los vídeos anteriores de D. Copperfield):

- Si una moneda está de cara y la volteo un número impar de veces, quedará de cruz. Si la volteo un número par de veces, quedará de cara.

- Si de una hilera de cartas te encuentras situado en una carta que está en posición par, y te mueves un número impar de veces de forma contigua, irás a parar a una carta que está situada en un lugar impar.

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Creo de nuevo que la sencillez de esta propiedad hace que se pueda aplicar en infinidad de situaciones diferentes, con resultados verdaderamente mágicos. Os enumero algunos:

1) Un principio muy potente basado a su vez en la paridad, es el principio de Hummer, al que ya dediqué una entrada en el blog AQUÍ.

2) Otra aplicación interesante del principio de paridad, es el clásico efecto de "La alfombra del Rey Kalí". Os dejo un par de vídeos (perdón, pero no he podido encontrar algo mejor) para que os hagáis una idea de qué va. Son dos versiones del mismo juego. En el segundo vídeo podéis encontrar una ligera variación del juego:

       


3) ...y AQUÍ os dejo un divertido juego conocido como "El juego de las tres copas" para reírte un rato con/de tus amiguetes.

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Finalmente os dejo un par de estudios al respecto, con algunos efectos y aplicaciones para que podáis sacarle provecho:

http://www.socylem.es/sitio/estalmat/Materiales/I-Seminario-EstalmatCyL/Paridad.pdf

http://www.automagia.com/paridad.html

Espero que este sencillo, pero interesante principio, os lleve a montar algún efecto memorable.

"La ciencia moderna debe estimular en todos una profunda humildad ante lo inexplorado."

Martin Gardner

Un tal día como hoy, 21 de octubre, pero de 1914, hace exactamente 100 años, nació uno de los exponentes más grandes de la divulgación matemática que ha habido: Martin Gardner.

Magos, matemáticos y amantes de las matemáticas en general le homenajeamos en un día como hoy.

Desde aquí mi humilde homenaje al hombre que mejor supo combinar el arte de las matemáticas y la magia, y acercar estas dos maravillosas disciplinas a la gente de a pie.

Centenares de ideas, juegos y puzzles fueron creados por él, y son miles de magos, profesores y divulgadores los que los utilizan a diario en sus disciplinas.

A modo de ejemplo, os dejo aquí un pequeño juego elaborado por el gran Richard Wiseman basado en una idea de Martin Gardner:

Miles de referencias podéis encontrar en la web al respecto a este genio y su extensísima obra.

Os dejo aquí con su página web, donde aparecen también todos los eventos programados para éste año.

http://www.martin-gardner.org/

Desde aquí...GRACIAS

Te recomiendo que cojas ahora mismo 13 cartas cualesquiera y pruebes lo siguiente (vas realizar una adivinación realmente imposible...).

Vas a decir a un espectador que elija una carta de la siguiente forma:

1- De ese paquete de 13, el espectador mezcla, corta un paquetito (menos de la mitad) y cuenta en secreto el número de cartas que ha cortado. Que retire las cartas que cortó (ya no se usarán) y recuerde ese número.

2 – Ahora, de las cartas restantes, que mire y recuerde la carta situada (desde top) en la misma posición que el número que contó, y que la deje en su misma posición. Ahora el espectador tiene una carta elegida. Un ejemplo lo tienes en la siguiente imagen:

Carta elegida

(Es importante remarcar que el mago no sabe ni cuántas cartas retiró el espectador y, por ende, tampoco sabe la carta elegida ni en qué posición se encuentra)

3 – Muy bien, ahora cógele las cartas al espectador y pasa de arriba abajo y de una a una 12 cartas.

4 - Mira la carta que te ha quedado encima del paquete...¡¡es la carta elegida por el espectador!!

Así como os he contado, lo cuenta Steve Beam en su libro “Semiautomatic card tricks, vol. 3” en un juego creado por Marty Kane. Eso sí, aquí os he explicado solamente el método, y no el juego.

Cuando lo leí, me gustó mucho la idea y estuve investigando y dándole vueltas, hasta que vi que se podía generalizar muy fácilmente para realizarlo, no sólo con 13, sino con cualquier número de cartas. Tengo que decir que además le he sacado mucho partido.

Ya que no he encontrado esta propiedad en ningún otro sitio publicado, me he permitido la licencia de ponerle nombre, eso sí, poco elaborado pero muy explícito a mi juicio.

Aquí os dejo el resultado de mi trabajo al respecto:

PRINCIPIO N-1:

Si de un número "N" de cartas, se retiran “x” cartas, con $x \leq \frac{N}{2}$, y se elige la carta situada (desde top) en la posición “x” del paquete restante, entonces:

1) Si se pasan “(N-1)” cartas de arriba a abajo y de una en una, la carta que queda en top es la elegida.

2) Si se pasan “k” cartas de arriba a abajo y de una en una, la carta elegida queda la “(N-k)” contando desde top y circularmente (es decir, después de la última carta se sigue contando por la primera)

NOTA 1: El hecho de que el espectador deba retirar la mitad o menos cartas, es debido al hecho de que luego tiene que elegir la carta situada en esa posición, y obviamente, deben quedar más cartas de las que retiró.

NOTA 2: Lo que hace inexplicable este principio es que NO depende del número de cartas cortadas por el espectador y el mago no tiene ningún dato sobre la carta elegida. Sólo se debe conocer el número inicial de cartas que contenía el paquete ("N").

NOTA 3: Como consecuencia directa, si quieres que la carta del espectador quede en la posición “p” desde top, habrá que pasar “(N-p)” cartas de arriba a abajo.

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Creo sinceramente que es una herramienta muy potente y a la vez desconocida para elaborar nuestros efectos. Sin duda, es uno de los principios que más me ha alegrado investigar y descubrir, por su facilidad de aplicación y versatilidad. No me equivoco si digo que es tan sorprendente, como simple y, lo mejor, totalmente insospechable.

Tengo que decir que ya tengo un efecto basado en este principio con una cuidada presentación que hace invisible dicho principio, y ha sorprendido por igual a magos y a profanos.

Espero que le deis el valor que creo se merece.

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Su belleza radica en la sencillez del principio.

Pongamos que hay "N" cartas y el espectador retira "x" cartas y, como se indica, mira y recuerda la carta situada en posición “x” del paquete restante:

Entonces, si pasamos de arriba a abajo "(x-1)" cartas, la carta del espectador quedará en top.

Si ahora pasamos de arriba a abajo todas las cartas de ese paquete, que son "(N-x)", la carta del espectador vuelve a quedar en top, porque el paquete queda tal cual está.

De este modo, en total hemos pasado de arriba a abajo $x-1+N-x = N-1$ cartas para que la del espectador vaya a top (independientemente del número "x").

El punto 2) del principio es consecuencia inmediata del punto 1) si se ha entendido la demostración anterior.

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Leyendo el magnífico libro "Self-working card tricks" de Karl Fulves publicado en 1976, descubrí un efecto que llamó mi atención muy gratamente, se llamaba "The magic 13". No es de su propia creación, sino que el mismo Fulves comenta que este juego está basado en una creación de Sam Schwartz. El juego era automático y se basaba en un hecho que no había visto antes en ningún efecto.

Mi espíritu matemático me llevó a investigar este juego para ver cuándo, cómo y porqué funcionaba. Así descubrí este principio nuevo; una propiedad - a mi juicio-  muy interesante y con mucho potencial para preparar nuestros efectos.

No lo he visto publicado como tal y me he permitido la libertad de ponerle nombre. Con la esperanza y la ilusión de que le podáis sacar partido, ahí va.

Primero os pongo un ejemplo concreto (os remito aquí al juego "The magic 13" antes citado para ver una buena presentación), así que coge una baraja de cartas y prueba lo siguiente:

1) Coge un grupito de 13 cartas mezcladas.

2) Dile a un espectador A que corte unas cuantas cartas de ese grupito y se las quede. Un espectador B coge el resto.

3) Ambos espectadores cuentan en secreto cuántas cartas contienen sus respectivos paquetitos y los devuelven para recomponer el grupito inicial de 13 cartas.

4) Mezcla bien ese grupito y haz que cada espectador recuerde la carta situada (desde dorsos) en la posición que coincide con el número de cartas que contó.

5) Ahora, reparte de una en una el grupo de 13 cartas en dos montontes de forma alternativa (al modo de jugada de póquer que algunos llaman "reverse dealing") siempre de dorso. Quedará un montón con 6 cartas y otro con 7 cartas.

6) Voltea el montón donde situaste la última carta (el montón de 7 cartas).

7) Ahora ve quitando cartas a la vez de ambos montones hasta que uno de los dos espectadores vea su carta. Párate y voltea la carta que está en ese momento en el otro montón...¡es exactamente la carta del otro espectador!

Después de entender el proceso, podemos generalizarlo del siguiente modo:

PRINCIPIO DE LAS POSICIONES SIMÉTRICAS

De un grupo impar de "N" cartas, un espectador A elige un número "x" y un espectador B el número complementario "(N-x)". Cada espectador mira y recuerda la carta situada en la posición del número que eligió. Se reparte el grupo de cartas una a una en dos montones de forma alternativa ("reverse dealing"). Entonces:

Versión I

Si ahora se voltea el montón que contiene más cartas, las cartas de los dos espectadores quedan situadas en la misma posición en sus respectivos montones, contando desde top.

Versión II

Si después de hacer la "reverse dealing", se recompone el paquete inicial poniendo el montón menor sobre el mayor, entonces las cartas de los espectadores quedan situadas de forma simétrica, es decir, están a la misma distancia una de top, que la otra de bottom.

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NOTAS

1- La Versión II del principio es la que le da su nombre.

2- Este principio no depende del número inicial "N" de cartas, siempre que sea impar. Este hecho ofrece mucha libertad para elaborar efectos.

3- El hecho de que el número de cartas deba ser impar, es para asegurarnos de que las cartas de los espectadores vayan a parar al final una a cada montón.

4- Cuando el espectador A elige la carta en posición "x", el espectador B estará eligiendo la carta situada en posición "x+1" desde bottom. Es decir, si el espectador A elige la 5ª carta desde top, el espectador B estará eligiendo la 6ª desde bottom.

5- No se puede decir, a priori, en qué posición exacta acabarán las cartas de los espectadores en sus respectivos paquetes. Para ello se debería conocer el número de cartas del paquete inicial y el número pensado por los espectadores.

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APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

La demostración de este principio se basa en las fórmulas de la "Eliminación por Repartición" publicadas en este mismo blog AQUÍ.

AQUÍ os dejo la demostración matemática del principio y aclaraciones sobre las notas.

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A parte del citado juego de Karl Fulves, no he encontrado de momento ningún otro efecto, aunque creo sinceramente que a este principio se le podría sacar mucho provecho, ¿os animáis?

A todos los matemáticos les fascinan los números primos. Yo no soy una excepción, y tengo que reconocer que cuando me encontré con este principio, me provocó una gran emoción. Creo recordar que la primera vez que yo lo leí fue en el recomendadísimo libro "Verbimagia" de Juan Tamariz. Pero, según parece, el origen se le atribuye a George Sands, ya que aparece en un juego publicado en la revista "The Pallbearers Review" (1975) que dirigía el ingenioso Karl Fulves.

Me gustaría compartir con vosotros dicho principio y recoger en esta entrada aquella emoción de entonces.

Coge una baraja y realiza las siguientes acciones:

PRINCIPIO DEL NÚMERO PRIMO

 1- Elige 13 cartas cualesquiera, y colócalas de dorso formando un círculo en la mesa.

2- Elige una carta, mírala, recuérdala y vuelve a dejarla de dorso en su lugar. 

3- Ahora piensa un número cualquiera menor que el 13 (por ejemplo, el 8). 

4- Empezando por la carta siguiente a la que miraste, cuenta en sentido a la agujas del reloj, 8 cartas. 

5- Voltea la carta a la cual has llegado. 

6- A partir de ahí, repite el proceso de contar 8 cartas y voltear a la que se llegue (contando también las que están cara arriba). 

7- Al final te ha quedado una sola carta de dorso... ¡es la carta que elegiste al inicio!

Este principio puede ser muy útil en efectos que requieran forzar una carta, dada la libertad de la elección del número por parte del espectador.

NOTA 1: Este efecto funciona con cualquier número primo de cartas (5, 7, 11, 13, 17 etc...), de ahí el nombre del principio.

NOTA 2: El número pensado para contar no tiene porqué ser menor que el número de cartas, puede ser mayor, tan sólo basta con que el número pensado no sea múltiplo del número de cartas.

Además, conociendo el mecanismo que subyace en el principio, se puede generalizar con la siguiente observación:

La única condición para poder aplicar el principio es que el número de cartas utilizado y el número pensado para contar, deben ser primos entre sí (coprimos), es decir, su Máximo Común Divisor es 1.
De ahí que si el número de cartas es primo, el espectador pueda elegir el número que desee para contar y voltear. Por ejemplo, se podría también realizar el ejemplo anterior con 12 cartas y contando de 5 en 5, ya que MCD(12, 5) = 1, pero no con 14 cartas y contando de 6 en 6.

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Pedro Alegría en su fantástica sección "El rincón matemágico" de la web del Divulgamat nos enseña otra manera de ejecutar este mismo principio con un jueguecito: Prime time

Y aquí otra ligera variación del mismo principio de la página web de "Automagia" del mismo Pedro Alegría y Juan Carlos Ruíz de Arcaute: Con trece cartas

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

...tan sólo hay que aplicar un poquito de aritmética modular, ya que las cartas están en círculo...

Supongamos que:

$n=$número de cartas
$p=$número elegido para contar
$MCD(n, p) = 1$

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la carta elegida por nosotros está situada en la posición $0$. A partir de ella empezaremos a contar.

Al contar $p$ cartas, vamos a parar a la carta número $p$ y la ponemos de cara, si volvemos a contar otras $p$ cartas, vamos a parar a la carta $2p$ y la ponemos de cara, si seguimos contando $p$ cartas, nos vamos parando en las cartas situadas en las posiciones $3p$, $4p$, $5p$, ... Así iríamos dando la vuelta a las cartas situadas en posiciones $p, 2p, 3p, 4p$, etc... . siempre módulo $(n)$ porque las cartas están en círculo.

Como $MCD(n, p) = 1$, si $k<n$, ningún $k·p$ será múltiplo de $n$, por lo tanto, la carta elegida quedará la última de dorso, puesto que le daremos la vuelta sólo cuando hayamos realizado la cuenta $n$ veces, que iremos a parar a la carta $n·p$ que es la posición $0$ en modulo $(n)$, que sería la carta elegida.

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Espero, como siempre, que este sencillo, pero potente principio os traiga más de una alegría y os haya apreciar aún más si cabe a los números primos.

Leyendo la obra maestra "Verbimagia" del gran Juan Tamariz, donde el mago realiza, tan sólo con su voz, efectos realmente mágicos; me encontré al final del libro con unas cuantas ideas que Juan Tamariz nos regala para utilizar en nuestros efectos.

Os cuento una que me llamó especialmente la atención, debido a que es una aplicación práctica de una entrada de este blog: Mezclas en espejo

Juan da esta idea para forzar a un espectador la elección del número 13:

Si tienes 12 cartas ordenadas del As a la Q (Dama), se pide a un espectador que reparta cartas, de una en una, en 2, 3, 4 ó 6 montones y que recoja de derecha a izquierda o al contrario (se puede hacer este reparto tantas veces se desee).
Ahora las parejas formadas por la carta de encima y la de abajo (la Top y Bottom), es decir, 6 parejas, suman todas 13. El espectador puede elegir la pareja que quiera y sumar sus valores. Forzamos así el número 13.

Juan comenta que también se pueden hacer mezclas faro o antifaro y las parejas seguirán sumando 13.

La explicación de este hecho es sencilla si se entiende que las 12 cartas ordenadas están en espejo, ya que la suma entre dos cartas equidistantes respecto del centro, es 13 y esta propiedad (como ya se explicó en la entrada Mezclas en espejo de este blog) se mantiene para mezclas faro, antifaro o repartición en montones.

Me gustaría aportar mi granito de arena a la idea de Juan (¡cuánta osadía la mía!) y generalizarla. Ahí va:

No sólo podemos utilizar éste método para forzar el número 13, sino que, entendido ya porqué funciona, podemos partir de un paquete cuyas parejas equidistantes sumen el número que queramos, y así forzar ese número.

Por ejemplo, si quisiéramos forzar el número 10, podemos coger un paquete formado por las siguientes cartas: 

3, 5, As, 2, 6, 3, 7, 4, 8, 9, 5, 7 

Observa cómo las parejas de cartas equidistantes suman 10.

Al utilizar el método de Juan anteriormente descrito, forzaríamos el número 10. 

Con esta sencilla idea, podemos forzar el número que queramos, utilizando parejas que sumen dicho número.

NOTA 1: Podemos utilizar tantas parejas como queramos (repetidas o no), ya que el número total de cartas del paquete no importa.

NOTA 2: Pásate por la entrada ya mencionada Mezclas en espejo para completar esta idea y/o inventar otras nuevas.


Como regalo, os dejo con algunos efectos del citado libro "Verbimagia", en la propia voz de Juan. Mi recomendación es que los sigáis con las cartas en la mano...y que disfrutéis del genio y el ingenio del siempre magnífico Juan Tamariz:

http://www.ivoox.com/podcast-por-arte-verbimagia_sq_f1142818_1.html

Querid@s lector@s, espero que le saquéis partido a esta genial idea, y... ¡a ingeniar malvedades!

En la imagen os dejo, quizás, el cuadrado mágico más famoso de la historia. Es el que aparece en el cuadro de Alberto Durero "Melancolía" pintado en 1514. No menos conocido es el que Salvador Dalí dejó plasmado en la fachada de la Sagrada Familia (ver aquí)

Para los más perdidos, decir que un cuadrado mágico es aquel en que la suma de los números situados en cualquier línea (horizontal, vertical o diagonal) da siempre el mismo resultado, conocido como constante mágica del cuadrado. En el caso del cuadro de Durero, la constante mágica es 34.

Para despertar interés en vosotros al respecto, aquí tenéis un par de efectos fantásticos, donde se utilizan los cuadrados mágicos de una forma verdaderamente mágica y original. A mi juicio dos obras de arte.

"The Grid" del genial Richard Wiseman y "Midoku" de Jandro.

  

(The Grid)

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Pero también os quiero traer en este artículo un cuadrado mágico de un carácter diferente y quizás no tan conocido en el mundo mágico (Pedro Alegría lo llama "cuadrado mágico reversible").

Observa el siguiente cuadrado:

6	9	7	11
3	6	4	8
4	7	5	9
7	10	8	12

1 - Elige un número cualquiera. 

2 - Elimina todos los números que estén en su misma fila (horizontal) y columna (vertical). 

3 - De los números que quedan, elige otro número cualquiera. 

4 - Vuelve a eliminar todos los que estén en su misma fila y columna. 

5 - De los números restantes, elige otro. 

6 - Elimina los de su misma fila y columna. 

7 - Te ha quedado sin eliminar un único número. Elígelo también. 

8 - Si sumas los cuatro números que has elegido voluntariamente, el resultado es ... ¡29!

NOTA: El resultado no depende de los números elegidos, lo cual resulta sorprendente y mágico, ¿no?

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A continuación os explico cómo montar un cuadrado como el anterior, del tamaño que se quiera y de forma que los números elegidos por el espectador sumen lo que nosotros queramos:

Supongamos que queremos que la suma sea 29 y queremos montar, como en el ejemplo anterior, un cuadrado 4x4 (4 filas y 4 columnas). Entonces debemos hacer lo siguiente:

1 - Descomponemos el número 29 en 8 sumandos porque queremos 4 filas y 4 columnas, que pueden ser repetidos o no: 29 = (2+5+3+7) + (4+1+2+5) 

2 - Ponemos los cuatro primeros sumandos en fila y los siguientes cuatro en columna. Así:

29	2	5	3	7
4
1
2
5

3 - Vamos rellenando cada celda sumando el correspondiente número de su fila y su columna, hasta completar el cuadrado. Así:

29	2	5	3	7
4				11
1		6
2
5	7

NOTA: Si se quiere adaptar a un efecto de cartomagia, se puede formar el cuadrado utilizando cartas en lugar de escribir los números, para luego seguir con el proceso de elección (en este caso de cartas).

Espero, con este pequeño aporte, generar en vosotros nuevas ideas para montar efectos nuevos.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Si cogemos el ejemplo del cuadrado (matriz) 4x4, y quisiéramos obtener la suma
$$S=(a+b+c+d)+(e+f+g+h)$$ el cuadrado quedaría de la siguiente forma:

	a	b	c	d
e	a+e	b+e	c+e	d+e
f	a+f	b+f	c+f	d+f
g	a+g	b+g	c+g	d+g
h	a+h	b+h	c+h	d+h

Al elegir un elemento de cada fila y columna, tenemos cada sumando una sola vez y la Propiedad Conmutativa de la suma hace el resto. Así elijamos las casillas que elijamos, siempre sumarán $a+b+c+d+e+f+g+h=S$

NOTA para profes: He utilizado este tipo de cuadrado para montar efectos de predicción con alumnos y explicar la propiedad conmutativa, tanto con la suma como con la multiplicación de números enteros y/o racionales. Tengo que decir que ha tenido muy buena acogida y es un buen tipo de ejercicio.

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

Para un trato mucho más extenso y riguroso sobre los cuadrados mágicos, os remito al estudio de Pedro Alegría publicado en 2009 en la revista SIGMA: AQUÍ.

También hay una interesante entrada respecto a los cuadrados mágicos del mismo Pedro Alegría en su blog: AQUÍ

Pero sin duda, si os interesa el tema y queréis ver todas las posibilidades que ofrecen los cuadrados mágicos, os remito a un especialista: Mark S. Farrar. En el siguiente enlace podréis encontrar prácticamente todo lo relacionado con los cuadrados mágicos:

http://markfarrar.co.uk/msfmsq01.htm

La primera vez que me topé con este curioso principio fue leyendo un artículo de Venancio Álvarez, Pablo Fernández y M. Auxiliadora Márquez, "Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos" publicado en "La gaceta de la RSME". Aparece en un efecto que ellos llaman "La carta del día" y me pareció realmente mágico.

Os paso a detallar la realización del principio:

1- Coge de una baraja mezclada, dos paquetes de 13 cartas cada uno. Y deja el resto del mazo aparte.

2- De ese mazo restante, mira y recuerda la carta situada la segunda desde dorsos (la top-2).

3- Ahora coge el primer paquete de 13 cartas, y con el paquete de dorso, realiza una cuenta atrás del 13 al 1 con las cartas, volteándolas una a una sobre la mesa. En el momento en el que el índice de la carta coincida con el número que cuentas (para ello, J = 11, Q = 12 y K = 13), detente y deja las cartas que sobran encima del mazo aparte . Supongamos que te paras en el 8. En el caso que no haya coincidencia, coge las 13 cartas, mézclalas y vuelve a hacer la cuenta atrás.....así hasta que haya una coincidencia. No desesperes, no tendrás que realizarlo más de 2 o 3 veces (*).

3- Realiza del mismo modo la cuenta atrás con el otro paquete de 13 cartas. Supongamos que ahora te paras en la J = 11. Devuelve las cartas que sobran encima del mazo aparte.

4- Ahora tienes en la mesa dos montoncitos de cartas: uno tiene un 8 en la cara y el otro una J. Suma esos valores, que surgieron del azar (8 + 11 = 19).

5- Del mazo que tienes aparte, cuenta 19 cartas (desde dorsos). La carta que hace la 19 será la carta que memorizaste al comienzo. ¡Increíble!

NOTA: El proceso anterior NO depende del número de cartas que contengan los paquetes iniciales: siempre "forzamos" a coger la top-2 del mazo que apartamos.

En el ejemplo está hecho con dos paquetes de 13 cartas, ya que hay 13 dígitos en la baraja de póker (del "A" al "K"), y así se aumentan las probabilidades de coincidencia al hacer la cuenta atrás. Es obvio que no tiene sentido hacerlo con paquetes de más de 13 cartas...

La carta que forzamos depende del número de paquetes que hagamos, así podemos generalizar el principio para cualquier número de paquetes:

PRINCIPIO DE LA CUENTA ATRÁS

1- De una baraja cogemos "n" paquetes de "x" cartas cada uno. Dejamos el mazo restante aparte.

2- Hacemos el proceso de cuenta atrás descrito anteriormente para cada paquete, devolviendo las cartas sobrantes de cada paquete al mazo restante.

3- Sumamos los índices de las cartas donde nos hemos detenido de cada paquete. La suma será "S"

Entonces, la carta situada en posición "S" desde dorsos del mazo actual, es la que inicialmente estaba en posición "n" desde dorsos (top-n) del mazo que apartamos inicialmente.

ASÍ:
Con un solo paquete, estaríamos forzando la carta top del mazo restante.
Con dos paquetes, forzamos la top-2
Con tres paquetes, forzamos la top-3
Con cuatro paquetes, forzamos la top-4.
Etc...

Para disfrutar la potencia de este principio os remito al juego "La cuenta atrás" del archiconocido "Cartomagia fundamental" del gran Vicente Canuto, aunque personalmente me encanta la versión del genial Gabi Pareras de "La carta del día" citado anteriormente .

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Aquí os dejo un efecto donde se utiliza este polivalente principio. No hay presentación, sólo el efecto; pero a modo de ejemplo me ha parecido oportuno incluirlo aquí. El vídeo corresponde al juego "La cuenta atrás" que os he comentado anteriormente de V. Canuto.

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Os dejo que caviléis nuevas maneras de utilizar este fantástico y utilísmo principio matemágico. Espero que lo disfrutéis.


EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Demostraremos el ejemplo inicial con 2 paquetes, y de forma trivial, se amplía para un número "n" de paquetes:

- Si en el primer paquete nos detenemos en el número $a$  $\rightarrow$ Devolvemos $(a-1)$ cartas al mazo.

- Si en el segundo paquete nos detenemos en el número $b$  $\rightarrow$ Devolvemos $(b-1)$ cartas al mazo.

En total, devolvemos al mazo $(a-1)+(b-1)=a+b-2$  cartas.

Así, de forma evidente, la carta situada en la posición $(a+b)$ (suma de los índices) del mazo actual, es la que estaba en la top-2 del mazo que dejamos aparte inicialmente; porque contaremos 2 cartas más de las que hemos devuelto al mazo.



APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

(*) Se observa que cuando el número de cartas de cada paquete ("x") aumenta, la probabilidad de coincidencia al hacer la cuenta atrás también aumenta, pero no hasta 1. De hecho, se puede demostrar (tiene relación con el problema de los desbarajustes) que cuando "x" es suficientemente grande, la probabilidad de coincidencia se acerca a $1-e^{-1} \simeq  0,6321$. Así pues, con 13 cartas, más de 1 de cada 2 veces, habrá coincidencia.

Para más detalles sobre este hecho, ver Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos "Truco 1: La carta del día".