(Casi) Principio de Peirce

Leyendo el libro "Card Concepts" de Arthur F. MacTier, me encontré con un capítulo titulado "First Peirce's principle" (Primer principio de Peirce) que anuncia lo siguiente:

Charles Sanders Peirce

"Dado un número par de cartas, digamos 12, realizamos lo siguiente: las repartimos una a una de dorso en dos montones A y B (como dos manos de póker) y luego colocamos el montón A sobre el montón B para recomponer las 12 cartas. Si repetimos esto varias veces, resulta que ninguna carta va a su posición inicial hasta repartirlas 12 veces, y además, cada carta pasa por todas las posiciones antes de llegar a la suya." (cabe decir que este modo de repartir cartas, muchos autores y yo mismo, la denominamos "Reverse Dealing")

 Me pareció un principio interesante, pero cuál fue mi sorpresa al comprobar que efectivamente se cumple con 12 cartas, pero no con 8 cartas, ni con 10 cartas...aunque sí con, por ejemplo, 22 cartas.

En definitiva, que el principio no siempre se cumple (de ahí el nombre del post).

Me puse a investigar qué hay detrás de este interesante movimiento que es la Reverse Dealing y porqué y cuándo el principio de Pearce funciona. Ya hice una primera aproximación a esta repartición en este mismo blog AQUÍ, y he aprovechado aquellas fórmulas para hacer este estudio.

Sin entrar en los detalles matemáticos, os resumo mis resultados al respecto:

Si k = número de cartas del paquete

Distinguimos dos casos:

1) k PAR

Si $k = 6i + 2$, con i = 0,1,2,3,4......  , entonces habrá dos cartas del paquete que siempre mantienen su posición, y son $n = \frac{(k+1)}{3}$ y $n =\frac{2·(k+1)}{3}$

2) k IMPAR

Si k no es múltiplo de 3, es decir, $k = 3i + 1$ ó $k = 3i +2$,  entonces habrá una sola carta que mantiene su posición, y es $n = \frac{(k+2)}{3}$  ó  bien $n = \frac{2·(k+1)}{3}$ (la que dé la división exacta).

EJEMPLOS:

· Para k = 8 (= 6·1+2), no se moverán las cartas situadas en las posiciones 3 y 6

· Para k = 13 (= 3·3+2), no se moverá la carta en posición 5
· Para k = 10, ninguna carta quedará en su lugar al hacer la Reverse Dealing y recomponer el paquete.

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NOTAS:

1) Las fórmulas anteriores nos dan qué cartas nunca se mueven, lo que se puede aprovechar para crear algún efecto mágico.

2) Con las fórmulas anteriores tenemos una manera de saber algunos casos en los que es seguro que el principio de Pearce no se cumple, pero no todos.
Por ejemplo para k=10, ninguna carta quedará fija, aunque basta con 5 repartos para volver a la ordenación original, y no 10 como afirmaba Pierce.

3) En algunos casos, sí se cumple el Principio, como por ejemplo k = 12, k = 9 ó k = 22.

4) Hacer la Reverse Dealing y recomponer el paquete con A sobre B, es lo mismo que hacer una mezcla Antifaro, y después invertir el orden de todas las cartas.

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Quizás este post tenga más interés a nivel matemático que a nivel mágico, pero como siempre me queda la ilusión que algún lector se anime a sacarle partido para crear algún efecto. Ya me diréis.

APÉNDICE PARA MATEMÀTICOS

La base matemática en la cual se basan los resultados son las Permutaciones y su descomposición en Ciclos disjuntos, ya que el hecho de repartir y  recomponer, es simplemente una permutación de las cartas.

Así, la cantidad de veces que debemos hacer la repartición y recomposición para volver al orden original es, efectivamente, el orden de la permutación, que es el mínimo común múltiplo del orden de sus ciclos.

Para un número de cartas determinado "k", no he encontrado una manera (fórmula) de saber cuántas veces hay que repartir y recomponer para volver a la ordenación original, es decir, encontrar una relación entre "k" y el orden de la permutación correspondiente. Habría que estudiarlo para cada "k" en particular.

Lo que sí he encontrado son las fórmulas para saber a qué posición va a parar cada carta después del movimiento descrito en este artículo, que he utilizado para hacer las simulaciones en ordenador para diferentes "k" y no tienen, a mi juicio, un interés especial en magia.

De todas formas, y por un interés puramente matemático, aquí os las dejo:

k = número de cartas del paquete
n = posición inicial de la carta

1) k PAR

1.1) "n" par. La carta "n" irá a parar a la posición $\frac{2k-n+2}{2}$

1.2) "n" impar. La carta "n" irá a parar a la posición $\frac{k-n+1}{2}$

2) k IMPAR

2.1) "n" par. La carta "n" irá a parar a la posición $\frac{2k-n+2}{2}$

2.2) "n" impar. La carta "n" irá a parar a la posición $\frac{k-n+2}{2}$