Hay un pequeño efecto que le tengo especial cariño porque lo llevo presentando en mis charlas hace ya mucho tiempo y lo he utilizado tambi...

Magia en potencia

Hay un pequeño efecto que le tengo especial cariño porque lo llevo presentando en mis charlas hace ya mucho tiempo y lo he utilizado también como recurso didáctico para explicar el concepto matemático que lo hace posible. Quiero compartirlo con vosotros, así como su generalización para ver si os puede servir de utilidad.

Aquí os dejo un par de vídeos con dos versiones del mismo juego, una con 9 cartas (realizado por mi) y otra con 7 cartas (de Fernando Blasco) para qué veáis en qué consiste, y después os explico los detalles y las consideraciones matemáticas del mismo:


      

Bien, es un juego totalmente automático y se basa simplemente en estos principios:

Principio de la potencia I:

Si tenemos $m^k + 1$ cartas y hacemos la acción de [ repartirlas una a una en "$m$" montones sobre la mesa de izquierda a derecha y recoger de izquierda a derecha ]  "$k$" veces, entonces:

- Si $k$ es par , las cartas quedarán en orden, pero invertidas respecto al orden inicial.
- Si $k$ es impar, entonces las cartas quedarán exactamente en el mismo orden inicial.
(salvo, a lo sumo, un corte).

Principio de la potencia II:

Si tenemos $m^k - 1$ cartas y hacemos la acción de [ repartirlas una a una en "$m$" montones sobre la mesa de izquierda a derecha y recoger de derecha a izquierda ]  "$k$" veces, entonces:

- Si $k$ es par , entonces las cartas quedarán exactamente en el mismo orden inicial.
- Si $k$ es impar, las cartas quedarán en orden, pero invertidas respecto al orden inicial.
(salvo, a lo sumo, un corte).

NOTA 1: Antes de cada repartición, se puede realizar los cortes que se quiera al paquetito de cartas, pues esto no las desordena.

NOTA 2: Si $m=2$, se puede repartir y recoger los dos montones en el orden que se quiera (de izquierda a derecha o viceversa); no así en otros casos.

NOTA 3: El paquete inicial de cartas quedará al final con un corte que habrá que deshacer para volver al orden original.

*                             *                        *

Ejemplos:


1) Si tenemos 10 cartas ($3^2+1$), deberíamos repartir en m=3 montones, k=2 veces.

2) Si tenemos 15 cartas podríamos hacer dos cosas:

- Repartir en m=2 montones k=4 veces ($15=2^4-1$)

    o también

- Repartir en m=4 montones k=2 veces ($15=4^2-1$)

3)  En el primer vídeo hay 9 cartas ($2^3+1$) ordenadas de AS a 9 (de top a bottom). En el segundo vídeo hay 7 cartas ($2^3-1$) ordenadas de 7 a AS (de top a bottom). En ambos casos se reparten m=2 montones k=3 veces. Fijaros cómo después de la tercera repartición, hay que hacer un corte para volver al orden inicial.


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Espero que sea de vuestro interés y así dispongáis de una herramienta más para crear vuestros efectos de magia.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Supongamos que tenemos el paquetito de cartas en orden, eso significa que la separación entre dos cartas consecutivas es 1 (es decir, están de 1 en 1). Si ahora las repartimos en $m$ montones y recogemos, entonces las separación será de $m$ (es decir, las cartas están de "m" en "m"). 

Así, cada repartición multiplica la distancia entre las cartas por $m$ y como hacemos $k$ reparticiones de las cartas, la separación al final entre las cartas será de $m·m·m····m = m^k$, pero resulta que tenemos $m^k \pm 1$ cartas, por lo tanto siempre quedarán en el orden inicial (invertido o no dependiendo de $k$) al hacer $k$ reparticiones.

Un detalle a tener en cuenta es que la distancia entre las cartas se debe calcular "circularmente", es decir, como si fuera un reloj con $m^k \pm 1$ números (para los matemáticos, "con aritmética modular").

Con un ejemplo siempre se entiende mejor:

- 10 cartas ($3^2+1$) colocadas en orden $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, están de 1 en 1.
- Repartimos en 3 montones ($m=3$) de izquierda a derecha y recogemos de izquierda a derecha.
- Realizamos la repartición 2 veces ($k=2$)

0) Inicialmente las cartas están en orden, de 1 en 1:

De 1 en 1

1) En la primera repartición las cartas quedarán de 3 en 3, contando circularmente, por eso después del 9 va el 2 (es como si se hiciera en un "reloj" con 10 números):

De 3 en 3

2) En la segunda repartición las cartas quedarán de 9 en 9:

De 9 en 9

... pero como tenemos 10 cartas, evidentemente quedarán en el orden inicial (salvo un corte), en este caso invertido porque hemos hecho $k=2$ (par) reparticiones.

Como ya hemos comentado antes de cada repartición se puede cortar el paquetito las veces que se quiera.

2 comentarios:

  1. Buenas. Tuve el placer de verte en vivo en las jornadas matemáticas en el Teatro Circo de Marte y debo reconocer que me abriste un nuevo horizonte matemático en mis clases y algún truco hemos hecho...Y me encanta tu blog...Un saludo

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    1. Hola Emilio. Sí, tengo un gran recuerdo de aquellas jornadas y del Teatro que es espectacularmente bonito. Muchas gracias por tus palabras y celebro que el material del blog te sea de utilidad. Un abrazo!

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