De cuadrados mágicos

En la imagen os dejo, quizás, el cuadrado mágico más famoso de la historia. Es el que aparece en el cuadro de Alberto Durero "Melancolía" pintado en 1514. No menos conocido es el que Salvador Dalí dejó plasmado en la fachada de la Sagrada Familia (ver aquí)

Para los más perdidos, decir que un cuadrado mágico es aquel en que la suma de los números situados en cualquier línea (horizontal, vertical o diagonal) da siempre el mismo resultado, conocido como constante mágica del cuadrado. En el caso del cuadro de Durero, la constante mágica es 34.

Para despertar interés en vosotros al respecto, aquí tenéis un par de efectos fantásticos, donde se utilizan los cuadrados mágicos de una forma verdaderamente mágica y original. A mi juicio dos obras de arte.

"The Grid" del genial Richard Wiseman y "Midoku" de Jandro.

  

(The Grid)

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Pero también os quiero traer en este artículo un cuadrado mágico de un carácter diferente y quizás no tan conocido en el mundo mágico (Pedro Alegría lo llama "cuadrado mágico reversible").

Observa el siguiente cuadrado:

6	9	7	11
3	6	4	8
4	7	5	9
7	10	8	12

1 - Elige un número cualquiera. 

2 - Elimina todos los números que estén en su misma fila (horizontal) y columna (vertical). 

3 - De los números que quedan, elige otro número cualquiera. 

4 - Vuelve a eliminar todos los que estén en su misma fila y columna. 

5 - De los números restantes, elige otro. 

6 - Elimina los de su misma fila y columna. 

7 - Te ha quedado sin eliminar un único número. Elígelo también. 

8 - Si sumas los cuatro números que has elegido voluntariamente, el resultado es ... ¡29!

NOTA: El resultado no depende de los números elegidos, lo cual resulta sorprendente y mágico, ¿no?

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A continuación os explico cómo montar un cuadrado como el anterior, del tamaño que se quiera y de forma que los números elegidos por el espectador sumen lo que nosotros queramos:

Supongamos que queremos que la suma sea 29 y queremos montar, como en el ejemplo anterior, un cuadrado 4x4 (4 filas y 4 columnas). Entonces debemos hacer lo siguiente:

1 - Descomponemos el número 29 en 8 sumandos porque queremos 4 filas y 4 columnas, que pueden ser repetidos o no: 29 = (2+5+3+7) + (4+1+2+5) 

2 - Ponemos los cuatro primeros sumandos en fila y los siguientes cuatro en columna. Así:

29	2	5	3	7
4
1
2
5

3 - Vamos rellenando cada celda sumando el correspondiente número de su fila y su columna, hasta completar el cuadrado. Así:

29	2	5	3	7
4				11
1		6
2
5	7

NOTA: Si se quiere adaptar a un efecto de cartomagia, se puede formar el cuadrado utilizando cartas en lugar de escribir los números, para luego seguir con el proceso de elección (en este caso de cartas).

Espero, con este pequeño aporte, generar en vosotros nuevas ideas para montar efectos nuevos.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Si cogemos el ejemplo del cuadrado (matriz) 4x4, y quisiéramos obtener la suma
$$S=(a+b+c+d)+(e+f+g+h)$$ el cuadrado quedaría de la siguiente forma:

	a	b	c	d
e	a+e	b+e	c+e	d+e
f	a+f	b+f	c+f	d+f
g	a+g	b+g	c+g	d+g
h	a+h	b+h	c+h	d+h

Al elegir un elemento de cada fila y columna, tenemos cada sumando una sola vez y la Propiedad Conmutativa de la suma hace el resto. Así elijamos las casillas que elijamos, siempre sumarán $a+b+c+d+e+f+g+h=S$

NOTA para profes: He utilizado este tipo de cuadrado para montar efectos de predicción con alumnos y explicar la propiedad conmutativa, tanto con la suma como con la multiplicación de números enteros y/o racionales. Tengo que decir que ha tenido muy buena acogida y es un buen tipo de ejercicio.

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

Para un trato mucho más extenso y riguroso sobre los cuadrados mágicos, os remito al estudio de Pedro Alegría publicado en 2009 en la revista SIGMA: AQUÍ.

También hay una interesante entrada respecto a los cuadrados mágicos del mismo Pedro Alegría en su blog: AQUÍ

Pero sin duda, si os interesa el tema y queréis ver todas las posibilidades que ofrecen los cuadrados mágicos, os remito a un especialista: Mark S. Farrar. En el siguiente enlace podréis encontrar prácticamente todo lo relacionado con los cuadrados mágicos:

http://markfarrar.co.uk/msfmsq01.htm