Me encontré esta mezcla estudiando unos apuntes de Pedro Alegría , y me he llevado una grata sorpresa al profundizar en ella y ver sus pr...

La mezcla Monge (esa gran desconocida)


Me encontré esta mezcla estudiando unos apuntes de Pedro Alegría, y me he llevado una grata sorpresa al profundizar en ella y ver sus propiedades. Esta mezcla fue estudiada por el matemático Gaspard Monge allá por 1773, pero realmente no conozco muchas aplicaciones en efectos de cartomagia.



La mezcla Monge consiste en lo siguiente:

1) Con el paquete de cartas en la mano izquierda, empujar la primera carta a la mano derecha.
2) La segunda carta del paquete de cartas de la mano izquierda, empujarla a la mano derecha para colocarla encima de la que ya tiene.
3) La tercera carta del paquete de la mano izquierda, se empuja y se coloca debajo de las cartas de la mano derecha.
4) La siguiente carta del paquete de la mano izquierda, se empuja y se coloca encima de las cartas de la mano derecha.
5) Así se sigue el proceso, alternando "encima y debajo" hasta acabar con todo el paquete de cartas de la mano izquierda.

Como una imagen vale más que mil palabras, aquí tenéis un vídeo demostrativo:


Como veis, es bien sencillo de realizar, y muy engañosa para el espectador.
Esta mezcla es ideal para pocas cartas (menos de 20), ya que con más, se hace muy pesada.

Pero pasemos a sus propiedades, que es lo interesante.

(1) Lo primero que miraremos es ¿cuántas mezclas deben hacerse para restaurar el orden inicial de las cartas? En el siguiente cuadro se muestra:


 Núm. de cartas    2  4  6  8  10  12  14  16  18  20  26  32  52 
Núm. mezclas  2  3  6  4 6  10  14  5 18 10  26  6  12

En la tabla solamente aparecen los resultados para un número par de cartas del paquete, y eso es por la siguiente propiedad:

(2) Sea "n" = número de cartas que contiene el paquete que se quiere mezclar

Si "n" es impar, la mezcla Monge deja la carta de abajo (bottom) en su lugar. Esto indica que para estudiar la mezcla, podemos prescindir de la carta de abajo y la mismas propiedades que tiene para un número par de cartas, servirán para un número impar.
Es decir, si tenemos un paquete de 9 cartas, necesitamos mezclar 4 veces para volver al orden inicial (igual que si tuviéramos 8 cartas, ya que la bottom no se mueve), y así con cualquier número impar de cartas.

(3) Otras propiedades interesantes son las siguientes ("n" par):

- La carta de abajo (bottom) pasa a arriba (top).
- La carta de arriba (top) pasa a la posición "la mitad más uno".
- La penúltima carta (bottom-2) pasa a abajo (bottom).
Esquemáticamente sería:
$$n \rightarrow 1 \\
1 \rightarrow \frac{n}{2}+1 \\
n-1 \rightarrow n$$

En general, se puede demostrar que para un número par de cartas, la mezcla Monge mueve las cartas de la siguiente manera:
$$ x_{0}=posición \ inicial \ de \ la \ carta \\ x_{1}=posición \ final \ de \ la \ carta $$
entonces
$$x_{1}=\frac{n+x_{0}+1}{2} \ Si \ x_{0}=par \\
x_{1}=\frac{n-x_{0}+2}{2} \ Si \ x_{0}=impar$$

Esto nos confirma, que la mezcla Monge, no mezcla las cartas al azar, sino que las cambia de lugar siguiendo un patrón (en matemáticas se llama "permutación").

¡Y ahora viene lo más interesante! En el siguiente cuadro se muestra información sobre la mezcla Monge de pocas cartas:


NÚM. CARTAS PERIODOMOVIMIENTO DE LAS CARTASCARTA QUE  NO SE MUEVE 
2 2 (1 2) -
3 2 (1 2) 3
4 3 (1 3 4) 2
5 3 (1 3 4) 2, 5
6 6 (1 4 2 3 5 6) -
7 6 (1 4 2 3 5 6) 7
8 4 (1 5 7 8) (2 4 3 6) -
9 4 (1 5 7 8) (2 4 3 6) 9
10 6 (1 6 3 7 9 10) (2 5 8) 4
11 6 (1 6 3 7 9 10) (2 5 8) 4, 11
12 10 (1 7 10 2 6 4 5 9 11 12) (3 8)-
13 10 (1 7 10 2 6 4 5 9 11 12) (3 8) 13

"PERIODO" es el número de mezclas que devuelven el orden inicial del paquete de cartas.
"CARTA QUE NO SE MUEVE" son las cartas que no mueven su posición tras realizar la mezcla Monge.
"MOVIMIENTO DE LAS CARTAS" explica cómo varían su posición las cartas tras realizar la mezcla, y se lee de la siguiente forma:

Para un paquete de 10 cartas,
(1 6 3 7 9 10) nos indica que la carta en la posición 1 pasa a la 6, la 6 a la 3, la 3 a la 7, la 7 a la 9, la 9 a la 10 y la 10 a la 1.
(2 5 8) nos indica que la carta en la posición 2 pasa a la 5, la 5 a la 8 y la 8 a la 2.
La carta número 4 no se mueve.
Es decir, en este caso las cartas 2,5,8 sólo se "mezclan" entre sí y no con las otras.

Esta fantástica propiedad de la mezcla, permite tener "controladas" algunas cartas, con lo que se puede montar efectos muy buenos, como, por ejemplo, el siguiente:
1) De un paquete de 10 cartas, colocar primero en las posiciones 2, 4, 5 y 8 (desde los dorsos), cuatro cartas rojas y las seis restantes de color negro.
2) Realizar la mezcla Monge tantas veces como se desee, incluso, dejar que el espectador lo haga.
3) Con el paquetito de dorso en manos del espectador, anuncia que vas a tratar de adivinar el color de cada carta antes de que el espectador la muestre. Dado que sigue siendo cierto que la segunda, la cuarta, quinta y octava son rojas, puedes adivinar la carta antes que el espectador la voltee encima de la mesa. Es divertido dejar que el espectador intente adivinar también, ya que al fallar se demuestra la dificultad de las predicciones.
Este efecto mejora mucho si las cuatro cartas rojas utilizadas corresponden a figuras y se le añade una historia adecuada.
Espero que con este pequeño efecto y las propiedades de esta fantástica mezcla, tengáis un instrumento más para montar vuestros juegos.

Aquí os dejo algunos juegos más:

...y un efecto de Aldo Colombini donde utiliza esta mezcla:
http://www.youtube.com/watch?v=VBKRJfGK0Do

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

El matemático belga Maurice Kraitchik, demostró que para un paquete de "2p" cartas, se puede establecer una fórmula que determine la posición final de una carta, después de realizar "m" mezclas Monge. Es la siguiente:

$$x_{0}=posición \ inicial \ de \ la \ carta \\ x_{m}=posición \ final \ de \ la \ carta \ después \ de \ "m" \ mezclas$$
$$ 2^{m+1}·x_{m}=(4p+1)·[2^{m-1}+(-1)^{m-1}·(2^{m-2}+ \ldots +2+1)]+ \\ (-1)^{m-1}·2·x_{0}+2^{m}+(-1)^{m-1}$$

Si queréis profundizar más (matemáticamente) en esta mezcla, os recomiendo los siguientes enlaces:


3 comentarios:

  1. Hola, interesante artículo.
    Se podría agregar que el resultado de una mezcla monje es equivalente a hacer una antifaro y luego invertir la mitad superior de la baraja (para que la antifaro sea out al hacer la mezcla monje la segunda carta debe pasarme debajo y no encima).
    También es la mezcla inversa a la mezcla alfa: si con una baraja se realiza una mezcla alfa y luego una mezcla monje (pasando la segunda carta debajo al realizarla) todas las cartas quedan en el orden inicial, ya que, como dije, son operaciones inversas.
    Mezcla monje (out) = antifaro out + inversión de mitad superior.
    Mezcla alfa = inversión de la mitad superior + faro out

    Saludos.

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  2. Gran comentario Sebastián. Gracias por tu observación. Lo que comentas de la mezcla alfa lo tengo explicado en otro post. Lo puedes encontrar aquí: http://magiaymatematicas.blogspot.com.es/2013/07/la-mezcla-alfa-klondike-o-milk-shuffle.html

    Gracias por leerme.

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  3. He encontrado tu blog mientras gogleaba buscando ideas para un pequeño ensayo que estoy escribiendo sobre pensamiento heurístico, donde como herramienta pretendo hacer «descubrir» demostraciones más o menos matemáticas, basadas siempre en principios elementales, pero de una cierta complejidad en el procedimiento. En estos momentos ya llevo 23 problemillas o «teoremas» seleccionados, y en esta entrada, he visto instantáneamente otra idea para añadir.
    No tenía ni idea de que esta manera de mezclar las cartas la hubiera estudiado Monge, cada día se aprende algo, tampoco se me hubiera ocurrido usarla en un truco de magia, entre otras cosas porqué soy muy patoso manipulando; pero he recordado claramente mi primer contacto con el problema.
    Debía tener unos 12 años, ya hace 52 de ello, y estaba de vacaciones en un pueblo, sin nadie de mi edad y ni siquiera mis libros salvo media docena. Y me entretenía jugando con cartas. Más que pasarlas de mano a mano hacía un par de montones en la mesa que luego juntaba, con el mismo efecto. Y recuerdo que con un mazo entero —ponía las cartas boca arriba para ir viendo los resultados de las manipulaciones— llegué a la posición inicial. Fue una sorpresa enorme.
    Luego, con papel y lápiz, hice un diagrama de los movimientos de cada una de las cartas, y rápidamente vi que había subconjuntos del mazo que se movían cícilcamente. Todas las cartas pertenecían a uno de estos subconjuntos, y también los había de una sola carta. Supongo que ya tenía la mente bastante abstracta porqué pensé: «el mínimo común múltiplo».
    Por cierto, que cuando apareció el cubo de Rubik, me di cuenta de que la repetición de una determinada manipulación, era equivalente a una mezcla como la de Monge —que no sabía como se llamaba— de un mazo, y que al cabo de relativamente pocas repeticiones siempre se volvía al estado inicial.
    Ya tengo la idea para el problema 24.
    Gracias

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