Esta cuenta fue descubierta por el físico y matemático Martin David Kruskal, pero fue Martin Gadner el que la difundió entre el mundo mágico, haciéndola aparecer en "Games Magazine" en un puzzle con las primeras frases de la "Declaración de independencia de los EEUU".

El puzzle lo tenéis aquí (en inglés, claro)

La cuenta se realiza de la siguiente forma:

1) Un espectador piensa un número entre 1 y 10.
2) El mago, con el paquete de cartas de dorso, va mostrando las cartas una a una al espectador.
3) El espectador se fija en la carta que ocupa la posición del número que pensó, y, a partir de ella, cuenta tantas cartas como indique su índice.
4) Llegará a otra carta, donde se procede de igual manera, se fija en el índice de la nueva carta y cuenta tantas cartas como indique éste.
5) Así se sigue hasta agotar el paquete de 52 cartas y no se puede seguir contando. El espectador ha llegado, al final, a una carta.
6) Independientemente del número inicial pensado, siempre se llega a la misma carta (con una probabilidad muy alta). 

Como idea os digo que si varios espectadores hicieran el proceso, acabarían en la misma carta o si previamente el mago ha hecho la cuenta, ya tendrá una predicción...

NOTA 1: El valor que se le da a las figuras para la cuenta es un factor clave en la probabilidad de esta cuenta. Cuanto menor sea ese valor, más probabilidad de acertar tendremos.
Algunos ejemplos son (para un paquete de 52 cartas y empezando a contar desde una de las diez primeras cartas):

J=11, Q=12, K=13 $\rightarrow$ La probabilidad es del 70% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K = 10  $\rightarrow$ La probabilidad es del 74% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =5  $\rightarrow$ La probabilidad es del 85% de efectividad en la coincidencia
J, Q, K =1  $\rightarrow$ La probabilidad es prácticamente del 100% de efectividad en la coincidencia

NOTA 2: Otra versión consistiría en deletrear cada carta en lugar de elegir su valor para contar (esto asciende la probabilidad de coincidencia al 95%)

NOTA 3: También influye el número de cartas del paquete. Es evidente que a más cartas, más probabilidad de coincidencia.

Para que compruebes esta cuenta, puedes hacer una prueba de la cuenta online en este enlace (a las figuras se les ha dado el valor 5):

http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal.html

El hecho es que es un lema probabilístico, es decir, no funciona absolutamente siempre, pero, como hemos visto, con alguna pequeña variación podemos conseguir una altísima probabilidad, e incluso llegar a que funcione siempre si utilizamos una baraja previamente preparada o mnemónica (como maravilloso ejemplo os remito al juego de Juan Tamariz, "Predicción a lo Kruskal", que aparece en su libro "Sinfonía en mnemónica mayor" pág. 93).

Buscando algún efecto mágico donde poder aplicar esta cuenta, me encontré con esta "joya" de David Copperfield que seguro que recordáis y disfrutaréis:

EXPLICACIÓN Y CONSIDERACIONES MATEMÁTICAS

El hecho fundamental radica en que, independientemente de la carta de partida, llegará un punto en el que se coincide en la misma carta, y a partir de ahí, ya siempre se coincide. Quizás con un dibujo se entienda mejor (aquí a las figuras se les ha dado el valor 1):



Como curiosidad  matemática, se tiene que la probabilidad de coincidencia se puede calcular (muy aproximadamente) con la fórmula:
$$P(coincidencia)=1-\left( \frac{x^2-1}{x^2} \right)^N$$
...donde
x = La media de los valores de las cartas que forman el paquete
N = Número de cartas que forman el paquete

Os pongo a continuación un vídeo donde se ejemplifica y se explica de forma muy didáctica esta curiosa cuenta:

Aquí os dejo con un estudio muy exhaustivo, matemáticamente hablando, de esta cuenta (está en inglés):

http://ijpam.eu/contents/2013-85-6/1/1.pdf

Más información, estudio, demostraciones y detalles varios en:

• http://www.singingbanana.com/Kruskal.pdf
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen.html
• http://headinside.blogspot.com.es/2010/12/last-to-be-chosen-ii.html
• http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/09/kruskal-con-mnemonicas-como-no.html?q=kruskal

Ya os expliqué en qué consiste este principio en su versión original en el post anterior. Pero quizás es si se utiliza de una manera imaginativa cuando adquiere realmente potencia y utilidad este principio matemático.

Os propongo dos maneras de utilizar este principio, realmente maravillosas. La primera es un control de la posición de una carta "pensada" por un espectador. La segunda es un forzaje de una carta situada en una posición determinada.

Primera versión (control):

1) Da a mezclar una baraja y di al espectador que corte un paquetito de cartas (no importa cuantas).
2) A continuación, le diremos que las cuente en secreto y recuerde ese número.
3) Con el resto del mazo de dorso, iremos repartiendo cartas una a una sobre la mesa (invirtiéndolas y contándolas) y enseñándoselas al espectador para que recuerde la carta que esté situada en el lugar que corresponde al número de cartas de su paquetito (que nosotros desconocemos).
4) Seguimos repartiendo cartas y contando hasta llegar al número que nos interese (pongamos 22 cartas).
5) Recogemos las cartas repartidas, las colocamos sobre el mazo, y encima, el paquetito que cogió el espectador.
6) Automáticamente la carta del espectador quedará situada una más de las que hayamos repartido en la mesa (en nuestro caso la 23). De esta manera podemos situar una "carta pensada" por un espectador en la posición que nosotros deseemos de una forma totalmente indetectable.

En resumen, el proceso sería:
1) Retirar $x$ cartas.
2) Repartir $n$ cartas en la mesa. Se recuerda la carta situada en posición $x$.
3) Devolver las $n$ cartas encima del mazo.
4) Devolver las $x$ cartas encima del mazo.
5) La carta del espectador queda situada en posición $(n+1)$.

Una aplicación realmente espectacular de esta versión lo encontramos en "Un juego matemático ($ \omega = \alpha , \alpha \rightarrow 52$)" pág 51 del libro "A la carta" del gran Woody Aragón. Aquí os lo dejo:

Otro juego increíble que se basa en esta versión es "Telepatía para tres", pág 69 del libro "La magia pensada" del magnífico Ramón Riobóo.

Segunda versión (forzaje):

Te recomiendo que sigas las instrucciones con la baraja en la mano, porque, ciertamente, parece imposible...
Forzaremos la carta situada en la posición $n$ (pongamos la posición 17).

1) El espectador coge un paquetito de cartas (menos de 16) y las cuenta en secreto.
2) Con el resto del mazo de dorso, repartimos en mesa (invirtiendo) 16 cartas.
3) De ese montoncito de la mesa, le diremos al espectador que busque y coja la carta situada en la posición (desde dorsos) que coincide con el número de cartas que contiene su paquetito.
4) Hemos forzado la carta situada en la posición 17.

En resumen, el proceso sería (si queremos forzar la carta en posición $n$ desde dorsos):
1) Retirar $x$ cartas.
2) Repartimos en mesa invirtiendo $(n-1)$ cartas.
3) El espectador coge de ese paquetito la carta situada en la posición $x$ desde dorsos.
4) Hemos forzado la carta en posición $n$.

...y ahora, ¡a preparar algún juego!

Sencillamente genial.

TRADUCCIÓN Y EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Es un interesante ejercicio didáctico, traducir algebraicamente estas versiones, para comprobar el principio en el que se basan (a modo de problema matemático):

Primera versión:

1) El espectador coge $x$ cartas.
2) Mago invierte $n$ cartas ($n>x$) repartiendo en la mesa. El espectador recuerda la carta que pasamos en posición $x$
3) La carta pensada por el espectador está en la posición $(n+1-x)$ del paquete de la mesa (ya que hemos invertido)
4) Se devuelve al mazo este paquete y el espectador devuelve su montón. Así la carta del espectador quedará en la posición $$x+(n+1-x)=n+1$$

Segunda versión:

Queremos forzar la carta en posición $n$:
1) El espectador coge $x$ cartas ($x<n$). La carta a forzar quedará en posición $(n-x)$ desde dorsos.
2) Se dan en mesa (invirtiendo) $(n-1)$ cartas. Así la carta a forzar quedará en la posición:
 $(n-1)+1-(n-x)=x=$ número de cartas de su paquete.

Me quedé realmente asombrado al descubrirlo en el libro "La magia pensada" de Ramón Riobóo (pág 28), pero cuando realmente descubrí la fuerza que tiene fue al leer "Un juego matemático ($ \omega = \alpha , \alpha \rightarrow 52$)" pág 51 del libro "A la carta" del gran Woody Aragón.

Es utilizado frecuentemente por magos, aunque muchas veces sin saberlo, ya que su versatilidad hace que se pueda utilizar para controlar la posición de una carta, forzarla, adivinarla, etc. En su versión original sería así...

Coge la baraja bien mezclada y haz lo siguiente:

1) Reparte dos montones con el mismo número de cartas (no importa cuantas).

2) El resto del mazo lo dejas aparte de dorso. Mira y recuerda la carta que ha quedado arriba de este mazo restante.

3) Deja encima de este mazo uno de los dos montones iniciales.

4) Ahora reparte sobre la mesa una a una, invirtiéndolas, tantas cartas como quieras (siempre que sean más que los montones iniciales). Pongamos "n".

5) Recoge este paquete de "n" cartas y vuelve a dejarlo sobre el mazo restante, y a continuación el segundo paquetito inicial sobre todo el mazo.

6) La carta que miraste queda situada exactamente en la posición "n" (contando desde arriba) independientemente del número de cartas que componen los paquetes iguales iniciales.

A este principio se le conoce como el "Principio de los paquetes iguales".

A primera vista no parece un principio "muy aplicable" ya que se retiran y ponen cartas sin un porqué claro, pero son múltiples las utilidades de este principio, que aplicado de manera imaginativa, es capaz de engañar al más astuto de los espectadores. No lo desdeñes.

En la segunda parte de este artículo, AQUÍ, expongo un par de versiones muy prácticas de este principio tan interesante.

EXPLICACIÓN Y TRADUCCIÓN MATEMÁTICA

Es un interesante ejercicio, traducir algebraicamente los pasos seguidos para probar que el principio realmente funciona. Para ello repitamos el proceso que hemos seguido, traduciendo cada paso a lenguaje algebraico:

1) Repartir dos montones iguales: Cada montón tendrá $x$ cartas.
2) Recordamos la primera carta del mazo restante.
3) Dejamos sobre el mazo, uno de los montones. La carta vista estará en posición $(x+1)$ desde dorsos.
4) Damos $n$ cartas (con $n>x$) en la mesa invirtiéndolas. Así la carta vista quedará en la posición (desde dorsos): $$(n+1)-(x+1)=n-x$$.
5) Recogemos este paquete y lo ponemos sobre el mazo, y encima de todo el otro montón inicial. Así la carta vista quedará en la posición (siempre desde dorsos): $$(n-x)+x=n$$ ...independientemente de $x$, como formula el principio.

La mezcla Alfa, mezcla Klondike o "milk shuffle" en inglés (que alguien me debería explicar el porqué de la traducción) es un tipo de mezcla matemático poco utilizada por magos en sus juegos. Muy poca información hay al respecto, que supongo deriva del poco interés que suscita en la comunidad mágica. De todas formas, he querido darle un poco de eco, por si en el futuro alguien descubre alguna aplicación interesante de la misma.


 Para los que no sepan en qué consiste, aquí la explicación:

1 - Con la baraja de dorso en la mano izquierda, se pelan la carta de arriba (top) y de abajo (bottom), para juntarlas y depositarlas en la mesa de dorso.

2 - Del resto de cartas, se vuelve a pelar la top y bottom, y se depositan juntas sobre las que ya están en la mesa, siempre de dorso.

3 - Se sigue el proceso hasta que no queda ninguna carta en la mano izquierda, y todas están sobre la mesa.

De un paquete (dorso arriba) de 10 cartas en orden (A,2,3,4,5,6,7,8,9,10), después de una mezcla alfa quedarían así: (5,6,4,7,3,8,2,9,A,10)
Se puede observar que no se puede considerar estrictamente una mezcla, ya que lo único que hacemos es reposicionar las cartas.

Cabe decir que el término "mezcla alfa" se utiliza para el hecho de pelar la top y bottom en una mezcla en las manos, para depositar toda el resto de baraja encima y seguir mezclando por arrastre normalmente. De esta manera, se mantiene la bottom y pasamos la top a bottom-2. En este sentido la nombra Juan Tamariz en su fantástico "Sinfonía en mnemónica mayor". Esta es la razón principal por la que he decidido hacerle un hueco a esta mezcla en este blog.

Persi Diaconis hace alguna indagación más sobre esta mezcla en su libro "Mathematics of perfect shuffles", y explica alguna conexión entre esta mezcla y la mezcla faro exterior (faro-out).
También Pedro Alegría la estudia en su libro "Magia por principios".

Quizás el hecho más remarcable es que esta mezcla Alfa y la mezcla Monge-down (situando la segunda carta debajo de la primera) son inversas. Quiere decir, que realizando una mezcla seguida de la otra se vuelve al orden inicial.

Os muestro aquí un vídeo con una aplicación realmente ingeniosa de esta mezcla para crear un efecto, que a primera vista resulta muy impactante:

Y aquí os dejo un efecto original de Karl Fulves, publicado en el blog de Pedro Alegría "Magia por principios":

Se necesitan nueve cartas de dorso azul y una carta de dorso rojo. Además, una de las cartas de dorso azul es roja, digamos el cinco de rombos. La carta de dorso rojo es negra, por ejemplo el tres de picas. El resto son cartas negras de puntos (no figuras).
Ordena estas diez cartas, caras abajo, con el 5R en la parte superior, seguido por las ocho cartas negras de dorso azul y debajo el 3P de dorso rojo. En una hoja de papel escribe la predicción: “Elegirás la única carta roja”. A continuación, procede como sigue.

1. Con el paquete caras arriba, deja sobre la mesa, una a una y contando en voz alta, las cinco cartas superiores, formando un montón. Gira caras abajo las cinco cartas restantes y las colocas en la mesa sobre las anteriores, también contando una a una invirtiendo así su orden. 

2. Recoge el paquete y realiza una mezcla Klondike. Recuerda: arrastras la carta superior y la inferior juntas y las dejas sobre la mesa, vuelves a repetir la operación con las nuevas cartas superior e inferior y las dejas sobre las anteriores, y así sucesivamente hasta que hayas repartido todas las cartas. De este modo, las dos cartas rojas (la de cara y la de dorso) están en los extremos del paquete. 

3. Recoge de nuevo las cartas de la mesa y pide a un espectador que elija un número entre 1 y 10. Supongamos que dice el cuatro: cuenta las tres cartas superiores y las dejas sobre la mesa, sin invertir su orden, formando un montón; coloca un clip en la cuarta carta y la dejas sobre las cartas de la mesa; deja el resto de cartas sobre las anteriores. 

4. Recoge otra vez las cartas de la mesa y reparte dos columnas de cinco cartas, alternativamente a la izquierda y a la derecha. Explica que la carta que tiene el clip nos indicará la carta seleccionada: será la que esté en su misma fila. Si dicha carta está cara arriba, vuelve cara abajo todas las demás para comprobar que es la única que tiene dorso rojo; si está cara abajo, vuelve cara arriba todas las demás para comprobar que es la única de valor rojo. 

5. Deja leer lo escrito en el papel para mostrar tu predicción.

En el mismo citado blog de Pedro Alegría, describe otro efecto que utiliza esta mezcla:
http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/01/deletreo-lo-klondike.html